复数与复变函数 一.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,课程名称,复变函数,教 材,复变函数,(,四版,),西安交通大学高等数学教研室 编,总 学 时,32,学时,课程简介,2,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，,具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、,共形映射等。,复数与复变函数、解析函数、,3,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和,方法是实变函数在复数域内的推,广和发展，它们之间有许多相似,之处。但又有不同之处，在学习,中要善于比较、区别、特别要注,意复数域上特有的那些性质与结果。,4,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的,“,虚数,”,。直到十八世纪，,J.D,Alembert(1717-1783),与,L.Euler(1707-1783),等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,5,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。,A.L.Cauchy,（,1789-1866),和,K.Weierstrass(1815-1897),分别应用积分和级数研究复变函数，,G.F.B.Riemann(1826-1866),研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。,二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,6,第一讲复数,7,1,复数及其代数运算,2,复数的表示方法,3,复数的乘幂与方根,8,一、复数的概念,1.,虚数单位,:,对虚数单位的规定,:,9,2.,复数,:,10,两复数相等,当且仅当,它们的实部和虚部分别相等,.,复数,z,等于,0,当且仅当,它的实部和虚部同时等于,0.,说明,两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小,.,11,二、复数的代数运算,1.,两复数的和,:,2.,两复数的积,:,3.,两复数的商,:,12,4.,共轭复数,:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.,例,2,解,13,5.,共轭复数的性质,:,以上各式证明略,.,14,例,解,15,例,解,16,17,1.,点的表示,2.,向量表示法,3.,三角表示法,4指数表示法,2,复数的表示方法,18,1.,点的表示,点的表示：,数,z,与点,z,同义,.,19,2.,向量表示法,o,x,y,(,z,),P(x,y),x,y,称向量的长度为复数,z=x+iy,的,模,或,绝对值,；,以正实轴 为始边,以 为终边的角的,弧度数 称为复数,z=x+iy,的,辐角,.(,z,0,时,),20,辐角无穷多：,Arg,z,=,=,0,+2k,，,kZ,，,把其中满足 的,0,称为辐角,Arg,z,的主值，,记作,0,=,arg,z,。,z=0,时，辐角不确定。,计算,arg,z,(,z,0),的公式,21,当,z,落于一,四象限时，不变。,当,z,落于第二象限时，加 。,当,z,落于第三象限时，减 。,22,4.,利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致,.,23,5.,复数和差的模的性质,24,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,6.,复数的三角表示和指数表示,25,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程,（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方,程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。,例,1,用复数方程表示,:,（,1,）过两点,z,j,=x,j,+iy,j,(,j=,1,2,),的直线；,（,2,）中心在点,(0,-1),半径为,2,的圆。,o,x,y,(,z,),L,z,1,z,2,z,解,（,1,）,z=z,1,+t,(,z,2,-z,1,),（,-,t,+,）,26,x,y,(,z,),O,(0,-1),2,27,例,1,将下列复数化为三角表示式与指数表示式,:,解,故三角表示式为,注意,.,复数的各种表示法可以相互转化,以适应,不同问题的需要,.,28,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,29,二、复球面,1.,南极、北极的定义,30,球面上的点,除去北极,N,外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系,.,我们可以用球面上的点来表示复数,.,我们规定,:,复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作,.,因而球面上的北极,N,就是复数无穷大的几何表示,.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为,复球面,.,2.,复球面的定义,31,3.,扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面,.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面,.,对于复数,来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大,.,复球面的优越处,:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来,.,32,33,1.,复数的,乘积与商,2.,复数的,乘幂,3.,复数的,方根,3,复数的,乘幂,与,方根,34,定理,1,两个复数乘积的模等于它们的模相乘，,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明,设,z,1,=,r,1,(cos,1,+,i,sin,1,)=,r,1,e,i,1,z,2,=,r,2,(cos,2,+,i,sin,2,)=,r,2,e,i,2,则,z,1,z,2,=,r,1,r,2,(cos,1,+,i,sin,1,)(cos,2,+,i,sin,2,),=,r,1,r,2,cos(,1,+,2,)+,i,sin(,1,+,2,),=,r,1,r,2,e,i,(,1+,2),1.,乘积与商,因此,|,z,1,z,2,|=,r,1,r,2,，,Arg(,z,1,z,2,)=Arg,z,1,+Arg,z,2,35,几何意义,将复数,z1,按,逆时针,方向旋转一个角度,Arg,z,2,，,再将其伸缩到,|,z,2,|,倍。,定理,1,可推广到,n,个复数的乘积。,o,x,y,(z,),z,1,z,2,z,2,36,要使上式成立,必须且只需,k=m+n+1.,37,定理,2,两个复数的商的模等于它们的模的商，,两个复数的商的辐角等于被除数与除,数的辐角之差。,证明,Arg,z,=Arg,z,2,-Arg,z,1,即：,由复数除法的定义,z,=,z,2,/,z,1,，即,z,1,z,=,z,2,|,z,|,z,1,|=|,z,2,|,及,Arg,z,1,+Arg,z,=Arg,z,2,（,z,1,0,）,38,设,z=re,i由复数的乘法定理和数学归纳法可证,明,z,n,=r,n,(cos,n+i,sin,n,),=r,n,e,in,。,2.,复数的,乘幂,定义,n,个相同的复数,z,的乘积，称为,z,的,n,次幂，,记作,z,n,，即,z,n,=z,zz,（,共,n,个）。,定义,特别：当,|,z,|=1,时，即：,z,n,=,cos,n+i,sin n,，则有,(cos,+i,sin,),n,=,cos,n+i,sin,n,一棣模佛,(De Moivre),公式。,39,问题,给定复数,z,=,re,i,，求所有的满足,n,=z,的,复数,。,3.,复数的,方根,（开方）,乘方的逆运算,当,z,0,时，有,n,个不同的,值 相对应，每一,个这样的,值都称为,z,的,n,次方根，,40,当,k,=0,，,1,，,，,n,-1,时，可得,n,个不同的根，,而,k,取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上,，的,n,个值是,以原点为中心，为半,径的圆周上,n,个等分点，,即它们是内接于该圆周,的正,n,边形的,n,个顶点。,x,y,o,41,例,1,解,42,例,解,43,44,例,4,解,45,即,46,例,证,利用复数相等可知,:,47,等式得证,.,48,思考题,复数为什么不能比较大小？,49,思考题答案,由此可见,在复数中,无法定义大小关系,.,放映结束，按,Esc,退出,.,