24-程序编制中的数学处理.pptx

1一、非圆曲线的节点计算任务：用若干段直线段或若干段圆弧段逼近理论曲线，找出直线或圆弧与理论曲线的交点。总体原则是：保成精度；计算简单；程序段少。逼近方法有四：等间距直线逼近法；等弦长直线逼近法；等误差直线逼近法；圆弧逼近法第1页/共12页2（一）等间距直线逼近法已知曲线方程将X坐标按等间距X分开，得出各个节点的X坐标值Xi，代如上式，得出各个节点的Y坐标值Yi，Xi，Yi就是各个节点的坐标。以次来编制直线插补程序。思路：现在的问题是：X取多大合适？X取决于曲线的曲率和允许误差允一般是先凭经验初取X，试算并校验。第2页/共12页3最大逼近误差校验方法逼近精度要求：各段的逼近误差都必须小于等于允许误差X逼近直线A1A2的方程Ax+By+C=0由A1A2两点坐标列出方程：B1B2距直线A1A2等距离的直线B1B2的方程为第3页/共12页4续与联立求解。如果无解，则A1A2与曲线没有交点，表明插补误差小于允许误差；如果只有一个解，则与曲线相切，表明插补误差等于允许误差；如果有两个或两个以上的解，则与曲线相割，表明插补误差大于允许误差；这是应缩小X，重新计算节点和验算逼近误差。直到最大逼近误差小于或等于允许误差为止。不必每段曲线都验算，只需验算逼近误差最大的段，何处逼近误差大，从图上可直观看出来这种方法虽然简单，但因X为定值，当曲线变化较大时，程序段较多。第4页/共12页5（二）等弦长逼近法这种方法，所有逼近线段的长度均相等，这样，只要使曲线曲率最大处不超差，则其余各段均不会超差，所以，首先找出曲线上的最小曲率半径min，何处曲率半径最小，可用直观法判断，也可以用数学法判断。已知零件轮廓曲线的方程为则曲线的曲率半径为取则（1）（2）由（2）式求出X，代入（1）式，便可得到最小曲率半径第5页/共12页6续2.确定允许的步长，3.以曲线起点a为圆心，以步长l 为半径 画弧，交曲线与b点，解出b点坐标；4.顺序以b、c为圆心，重复上步，即可求出其余各节点的坐标值；等步长法对于曲率变化较大的曲线，求得的节点数仍然过多，它适用于曲率变化不大的曲线。第6页/共12页7（三）等误差直线逼近法这种方法使每个直线段的逼近误差都相等，且所以，它比前两种方法都合理，程序段少，占内存少，但计算复杂。大型、复杂的零件轮廓宜采用这种方法。这种方法步骤如下：1。以起点a为圆心，以允许误差为半径画允差圆；2。作允差圆与轮廓曲线的公切线T；3。过a作公切线T的平行线，交轮廓曲线与b点，求出b点的坐标；4。再以b为新的起点，重复上述步骤，便可依次求出各个节点的坐标。第7页/共12页8点b坐标值的求法以a点为圆心的允差圆方程为（1）公切线T的方程为（2）k为公切线的斜率，其值为解以下联立方程曲线方程允差圆方程便可求得，P、T两个切点的坐标值再由斜率方程（3）求出k值。则过a点且平行于T的直线方程为：（3）（4）求方程（4）与轮廓曲线的交点就是节点b。第8页/共12页9（四）圆弧逼近法对于具备圆弧插补功能数控机床，可以用圆弧段逼近工件的轮廓曲线。此时，需求出每段圆弧的起点、终点、圆心坐标以及圆弧半径。第9页/共12页10二、列表曲线的插值与拟合所谓列表曲线，是指已给出曲线上的某些坐标点，但没有给出方程（数学表达式），这时就要先求出这些坐标点的拟合曲线，然后再去逼近，即先拟合，后逼近。数控编程中，常用样条曲线拟合法。最初在造船业中，用一根木料做成的弹性长条，放样员用它通过型值点画出光滑曲线，放样用的弹性长条简称“样条”。弹性长条在力学上叫做弹性梁，“样条”一词在数学上叫“样条函数”，也简称“样条”，是指拟合出的曲线方程，所拟合出的曲线都通过给定的列表点，而且具有连续的曲率。第10页/共12页11二、列表曲线的插值与拟合续1、三次样条曲线拟合如下图所示，使梁通过给定的列表点，并产生弹性弯曲，显然，用这种方法形成的曲线不仅通过给定的列表点，而且光滑，连续。三次样条函数的一阶、二阶导数都连续，整体光滑，应用较广。用这种方法处理小挠度时，拟合精度高。但处理大挠度时，效果较差。第11页/共12页12三、列表曲线的插值与拟合续2、圆弧样条拟合如右图所示，给定一系列的列表点P1、P2、P3、P4过每一点作一圆弧并使相邻两圆弧在相邻两点连线的中垂线上相切。编程时，就按这些圆的参数P3P1P2P4T1T2T3（圆心、曲率半径、节点T）编制圆弧插补程序，整个圆弧的插补程序段数与列表点数相等，如图，列表点数为4，（P1、P2、P3、P4），圆弧段数也为4（P1T1、T1 T2、T2 T3、T3 P4），圆弧样条曲线，总体上说，是一阶导数连续，它将三次样条的两次拟合（求函数、插值加密）合并为一次。并且直接按分段的圆弧编程，省去了逼近过程，所以计算简单，程序段少，又避免了尖角过渡的处理问题，而且拟合精度也达到了一般的要求。第12页/共12页