数学广角——数与形.doc

　 第八单元 数学广角
教材分析与目标定位：
《数与形》是本册教材第八单元《数学广角》的内容。作为教材新增的内容，我们考虑最多的还是目标的定位问题。按照传统的教学，例2以及后面编排的几道习题都属于思考题甚至竞赛题，是供学有余力的学生学习的，对普通学生来说要求偏高。现在教材作为例题编写，在教学中究竟该达到怎样的要求？我们把握不定。尽管在以前的学习中，曾经出现过一些有关数与形的练习，学生结合“形”来分析问题有一定的基础。如在第一学段要求学生通过观察形，发现其中的一些规律，并解决简单的问题。但纵观教材并没有系统的教学数与形结合的内容，所涉及的练习也比较分散。因此，我们理解的这节课的意图是：试图通过一道特殊的分数加法的计算，让学生体会进一步数与形之间的内在联系，借助“形”沟通加法与减法的关系及理解“无限接近1”。并能把数形结合的思想迁移到解决其他一些实际问题，帮助学生积累经验。所以将目标定位如下:
1．让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
2．培养学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。
其中的教学重点是：借助“形”（面积模型、线段图、直角坐标系等）感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。教学难点是：让学生体会极限思想。
　　教学设计的基本思路：
为达到以上目标，我们在具体的教学过程中力求体现以下几点：
1．借助图形沟通关系，体验数形结合的好处
有时，仅仅通过算式本身去发现规律，对于学生来说有一定的困难。因此，我们要给学生提供一种桥梁，而图形正是一种有效的桥梁。例2的教学就是如此，通过图形直观的表征，让学生更加清晰发现“＋＋＋＋”和“1-” 求的都是同一个阴影部分的面积。从而让学生直观地看到了加减法算式之间的联系，接着追问，“如果按照这样的规律继续加下去，会怎样？”然后就引出“”，再引导学生通过观察、猜想、操作、验证等继续借助直观帮助学生理解1— 越来越接近1，感悟极限思想。  
2．重视利用图形来分析题意，理清思路，提高解决问题的能力
在本课的配套的练习中，题目中蕴含的信息量较大，直接让学生来读懂题意有一定的难度。因此在教学中，我们试图引导学生通过结合图形来分析题目意思，理清数量之间的关系，提高解决问题的能力。如：练习中第5题的教学，就直接出示题目，先让学生自己自由读题，然后出示图形引导学生从“形”的角度来理解题意。在搜集题目中的关键信息来解释图形的过程中，培养学生利用图形来分析问题、解决问题的意识和能力。
3．精选学习材料，适度处理和拓展教材内容
与例2配套的几道练习题，我们曾对两个班66人进行了前测，在教师不作任何提示
的情况下，独立作业40分钟时间，结果如下：

正确人数
错误人数
正确率（百分比）
第4题
18
48
27.5%
第5题
60
6
90.9%
第6题
34
32
51.5%
第7题
19
47
28.8%
　　之所以出现这样的情况，我们认为，是因为这些题目与例2的结构相差较大，题目信息量丰富，给学生审题带来较大的困难，所以我们就补充了一题与例2关联度和结构相匹配的题目“0.9+0.09+0.009+…”作为补充练习，同时把以前学过的“乘法分配律公式”和以后要学的“完全平方公式”作为课的拓展延伸，让学生再次感受“数形结合”的思想。
教学过程预设：　　　
一、教学例2
（一）沟通分数加减法的联系。
1．谈话逐步板书：＋＋＋＋
这个算式的结果是多少？算算看。你是怎么想的?还有不同的想法吗？引出1-。
2．借助图形感受加法与减法的联系。

师：这个算式在图中表示什什么？（要求的结果就是涂色部分的面积）
“1”和“”在图中表示什么？
要求涂色部分的面积就是：1-=。
（二）渗透极限思想。
如果不停地加下去，课件呈现：

1．猜一猜“和”是多少？（预设1—；1—；）。
2．请用“形”来解释这个结果。
学生操作。展示。
3．反馈：（看大屏幕）
减去的是什么呢？（剩下的空白部分。）
如果不停地加下去，空白部分会怎么样？（理解无穷小。）
那的结果怎么样？（无限接近1。）

（三）练习。
“0.9+0.09+0.009+…”
结果是多少？能用“形”来解释这个结果吗？
小结：数与形的联系非常的紧密！其实生活中我们有很多问题通过画图来解决会更直观！
二、教学“运行图”
小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。
下面几个图哪个是妈妈离家的时间和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
（一）读题。
看懂了吗？题目主要讲了一个什么事情？
（二）课件呈现一张图：你觉得这幅图表示的是谁走的？（妈妈）
追问：为什么？

（三）课件呈现其余两张。你觉得哪个是小兰，哪个是爸爸？

小结：有时候图可以帮助我们直观地解决问题，有时候也能帮助我们分析问题，理清题目意思。
三、拓展与延伸
（一）想一想：为什么“a×b+a×c=a×(b+c)”？请画图来解释。
1．同桌交流。
2．独立完成，反馈。
（二）如下图，正方形的边长是a，如果边长增加b，使它变成一个更大的正方形，现在面积是多少？

四、课堂总结
今天这节课我们主要学习了什么？你有什么收获？
教学反思：

二课时
补充： 数学广角
——鸡兔同笼
教学内容：
教材第七单元《数学广角》。
教学目标：
1、了解“鸡兔同笼”问题，尝试用列举法和假设法解决“鸡兔同笼”问题。
2、在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力，初步理解假设法。
3、感受古代数学问题的趣味性，受到祖国优秀数学文化的熏陶和感染。
教学重点：
用假设法解决“鸡兔同笼”问题。
教学难点：
假设法的理解。
教学过程：
一、创设情境，提出问题

师：我国是一个数学大国，从古至今，产生了许多数学名著和数学趣题。我们先来看一个短片介绍。
（多媒体出示：在我国古代，流传着许多有趣的数学问题，如“韩信点兵”、“三女归家”、“求碗问题”、“三阶幻方”等，这些问题，有的成为经典，有的为世界数学的发展起到了巨大的贡献。“鸡兔同笼”就是其中之一。早在1500年前，数学名著《孙子算经》中就记载了“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”）
师：谁能试着解释一下这道题的意思？（学生解释）对，正如你所说的，这道题的意思就是：
（出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？）
师：有不少的同学在兴趣小组或课外阅读中接触过这类问题，这节课我们继续来研究它。
（板书课题：鸡兔同笼）
二、解决问题，探究新知
（一）明确方法
师：这道题中的数据比较大，我们可以把数据改小，先从简单的问题入手。把35个头改为8个头，把94只脚改为26只脚。
（出示例1：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？）
师：请大家默读题目，思考一下：从上面数，有8个头是什么意思？从下面数，有26只脚又表示什么？
师：解决这道题都有哪些方法呢？小组内讨论一下。
（学生可能出现的方法有：a.画图法；b.列表法；c.假设法；d.方程解法……教师板书这些方法）
（二）探讨方法
1．画图法
师：对于画图法，需要完整地画出鸡头、兔脚吗？可以怎样做？（用○表示头，用︱表示脚）
①

②

2、列举法

鸡/只
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔/只
0
1
2
3
4
5
6
7
8
脚/只
16
18
20
22
24
26
28
30
32
师：在表格中我们可以找到答案（有3只鸡，5只兔）。请你仔细观察表格，从中你能发现什么吗？
学生可能回答：
（1） 鸡和兔的总只数没有变化，都是8只；
（2） 从左往右看鸡每减少一只，兔就增加一只，总脚数增加两只；
（3） 从右往左看，鸡每增加一只，兔就减少一只，总脚数减少两只。
教师引导学生发现并说出以上规律，明确增加兔与减少兔对于总脚数的影响。
师：看来采用这种列表的方法将所有可能的结果都列举出来，是可以找到答案的。你能用这两种方法解决刚才的“鸡兔同笼”问题吗？（再次出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？）
学生回答，说明自己的感受和想法。
3、假设法
师：我们来大胆猜测一下这道题的结果吧。老师先猜一个，鸡16只，兔19只，谁也愿意来猜一猜？
（相机板书：鸡16只兔19只；鸡30只，兔5只）
师：老师猜对了吗？怎样来验证？（列式：16×2＋19×4=108） 算出来是108只脚，脚多了说明了什么？
如果要你们在这个基础上接着猜，你们会怎样猜呢？ （指2—3名学生回答）为什么你们都减少兔增加鸡呢？
学生回答后，小结：因为一只兔比一只鸡多两只脚，所以脚多了的时候应该减少兔增加鸡。教师引导学生朝着这个方向再猜，（如：鸡20只，兔15只。列式：20×2＋15×4=100）脚还是多了，还要减少兔增加鸡。
师：看来，只要找对了方向，像这样继续猜下去，我们也可以找到答案。接下来请大家象刚才这样验证第二组，如果不对，请试着进行调整并找到答案，数一数，你做了几次调整。

（学生活动，教师巡视，参与讨论并及时给予辅导）
指名学生展示自己的猜测过程，教师引导其他学生及时作出评议。
师：刚才老师发现有的同学调整了5次找到答案，有的同学只调整了2次就找出答案了。想一想，能一次就调整出答案吗？
（学生回答，教师引导学生进一步明确增加a只兔，就减少a只鸡，相应的就增加2a只脚；反之，增加a只鸡，就减少a只兔，相应的就减少2a只脚；）
师：多么有智慧的调整啊！这个调整的过程怎样用算式表示呢？
学生思考后，让学生上台板演： 鸡30只，兔5只
30×2＋5×4=80（只）
94－80=14（只）
14÷（4-2）=7（只）
30－7=23（只）……鸡
5＋7=12（只）……兔
学生列式后，引导其他学生评议并提出问题，明确“4-2”表示什么，求出的“7”又表示什么？教师再将前面的“鸡30只，兔5只”改为“假设鸡有30只，兔有5只”
师：其实，我们也可以首先猜假设鸡是0只，兔是35只，也就是假设笼子里全是兔；或者首先假设鸡35只，兔是0只，也就是假设笼子里全是鸡。请你选择一种，列出算式，解决问题。
指名板书计算过程： 假设笼子里全是鸡。
35×2＋0×4=70（只） （红色表示可以省略的）
94－70=24（只）
24÷（4-2）=12（只）
0＋12=12（只）……鸡
35－12=23（只）……兔
师：象这样首先假设一种情况，再根据题目中的条件进行分析调整，直到找出答案的方法就是假设法。比较这两种假设方法，你认为哪种更简便？（学生自由评议）所以在解答类似的问题时，我们一般都采用后面的这种假设情况。
（三）延伸方法
师：刚才我们用自己的方法解决了这道历史名题，那么在《孙子算经》中又是怎样解决这个问题的呢？
（出示：教材第114页的阅读资料。）
师：这道数学历史名题，引起了世界上许多数学家的兴趣。我国著名的数学家张景中院士提出了很奇妙的解法。
出示：假设鸡的两只翅膀也变成两只脚，那么一共有35×4=140（只）脚，这样就多出了140－94=46（只脚，这多出来的46只脚其实是鸡的翅膀。一只鸡是两只翅膀，所以有46÷2=23（只）鸡，从而求出兔是35－23=12（只）。
师：看来我们在解决问题的时候也需要有点数学家奇思妙想的本领。
一、 建立模型，推广应用
师：“鸡兔同笼”问题后来传到日本，在日本称为“龟鹤算”，题目也发生了变化。
（出示：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟和鹤各有几只？）
师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？看来这类问题不仅可以叫鸡兔同笼问题，也能叫龟鹤问题了。
师：在我们的生活中，类似鸡兔同笼的问题也是很多的，那就让我们带着数学的眼光到生活中去找一找。
（多媒体出示：全班一共有58人，共租了12条船。每条大船坐6人，每条小船坐4人，恰好全都坐满。大小船各租了几条？）
师：这道题还能用“鸡兔同笼”问题的方法来解答吗？为什么？看来，“鸡兔同笼”问题不仅仅是单纯是指鸡和兔的问题了，它是一种模型，因此我们可以给课题加上一个引号。
师：请你任选一题，用今天学到的方法快速的解决它吧。
学生独立完成，教师巡视并进行个别辅导。完成后指名说明解题思路及过程，集体评议。
二、反思交流，结束新课
师：今天我们学习了用列举法和假设法来解决“鸡兔同笼”问题，列方程的方法下节课再学习。通过这节课的学习，你有什么感受呢？你还有什么问题吗？
这节课就上到这里，同学们再见。
教学反思