数学模型建模引言.ppt

预备知识预备知识高等数学高等数学线性代数线性代数概率论与数理统计概率论与数理统计运筹学运筹学大学计算机基础大学计算机基础教材和参考资料教材和参考资料高等教育出版社高等教育出版社数学模型数学模型姜启源姜启源 编编浙江大学出版社浙江大学出版社数学模型数学模型杨启帆杨启帆 编编湖南教育出版社湖南教育出版社大学生数学建模竞赛辅导大学生数学建模竞赛辅导教材教材叶其孝叶其孝 编编工科数学杂志社工科数学杂志社数学建模教育与国际数学数学建模教育与国际数学建模竞赛建模竞赛叶其孝叶其孝 编编江苏教育出版社江苏教育出版社数学建模竞赛教程数学建模竞赛教程李尚李尚志主编志主编运筹学运筹学任何一本本科教材任何一本本科教材计算机革命时代计算机革命时代（Computer Revolution Computer Revolution EraEra）oror 信息时代信息时代（Information TimesInformation Times）我们处在：我们处在：时代特点时代特点计算机的迅速发展计算机的迅速发展高速、智能、高速、智能、小型、价廉；小型、价廉；数学的应用向一切领域渗透数学的应用向一切领域渗透各行各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化；益数学化；数学的日益重要性远远没有取得共识。数学的日益重要性远远没有取得共识。甚至出现了甚至出现了“数学无用论数学无用论”的观点的观点 为什么会出现为什么会出现“数学无用论数学无用论”？数学的语言比较抽象，不容易掌握；数学的语言比较抽象，不容易掌握；数数学学教教育育上上的的不不适适当当：形形式式化化、抽抽象象，只只见见定定义义、定定理理、推推倒倒、证证明明、计计算算，很很少少讲讲与与我我们们周周围围的的世世界界以以致致日日常常生生活活的密切联系。的密切联系。数学建模的重要性数学建模的重要性 数数学学建建模模不不是是新新东东西西（比比如如欧欧式式几几何何、微积分都是很好的数学模型！）微积分都是很好的数学模型！）用用数数学学去去解解决决实实际际问问题题就就一一定定要要用用数数学学的的语语言言、方方法法去去近近似似刻刻划划该该实实际际问问题题。这这种种刻刻划划的的数数学学表表述述就就是是一一个个数数学学模模型型。其其过程就是过程就是数学建模数学建模的过程。的过程。数学建模的重要性数学建模的重要性问问题题出出在在：当当一一个个数数学学模模型型表表达达出出来来后后，就就要要用用一一定定的的技技术术手手段段（如如推推导导、计计算算）求求解解该该数数学学问问题题，并并用用实实际际情情形形来来验验证证；若若需需要要就就要要修修改改数数学学模模型型并并重重复复上上述述过过程程，如如果果有有一一步步完完不不成成，意意义义就就不不大大了了。在在以以前前，大大量量的的计计算算令令人人生生畏畏（在在建建模模过过程程中中往往往往遇遇到到），现现如如今今高高性性能能的的计计算算机机的的出出现现，使使数数学学建建模模又又掀起了一个高潮。掀起了一个高潮。数学建模的重要性数学建模的重要性从从科科学学、工工程程、经经济济和和管管理理等等角角度度看看：数数学学建建模模就就是是用用数数学学的的语语言言和和方方法法，通通过过抽抽象象、简简化化，建建立立能能近近似似刻刻画画并并“解解决决”实际问题的实际问题的一种强有力的数学工具。一种强有力的数学工具。数学建模最重要的特点是接受实践的数学建模最重要的特点是接受实践的检验，多次修改模型，渐趋完善（的过检验，多次修改模型，渐趋完善（的过程）。程）。数学建模步骤数学建模步骤了解问题的实际背景，明确建模的目的，了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料（掌握必要的数据资料（建模准备建模准备）；）；抓住主要矛盾，对问题作必要的抓住主要矛盾，对问题作必要的 简化，简化，提出几条恰当的假设（提出几条恰当的假设（提出假设提出假设）；）；利用适当的数学工具刻划各变量之间的关利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（系，建立相应的数学结构（建立模型建立模型）;数学建模步骤数学建模步骤模型的求解和检验模型的求解和检验。建立数学模型是为。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然，因此建模了解释自然现象和改造自然，因此建模本身不是最终目的，还应当考虑对模型本身不是最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等），将所得定理证明、稳定性讨论等等），将所得结果与实际情况作比较，以验证模型的结果与实际情况作比较，以验证模型的正确性，如果检验结果与事实不符或部正确性，如果检验结果与事实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复，即修分不符，就应当将上述步骤重复，即修改假设，重新建模。改假设，重新建模。数学建模步骤框图数学建模步骤框图实际问题抽象、简化、假设确定变量参数建立数学模型并数学、数值地求解用实际问题的实测数据来检验该数学模型支付使用，从而可产生经济、社会效益符合实际不符合实际例例1 1：万有引力定律的发现：万有引力定律的发现 万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡献之一重要贡献之一,牛顿在研究力学的过程中牛顿在研究力学的过程中发明了微积分发明了微积分,又成功地在又成功地在开普勒三定律开普勒三定律的基础上的基础上运用微积分运用微积分推出了万有引力定律推出了万有引力定律这一创造性的成就可以看作是历史上最这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学建模案例之一著名的数学建模案例之一万有引力定律的发现万有引力定律的发现 背景：十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊背景：十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的世界的日心说日心说，这是科学上的一大革命。，这是科学上的一大革命。当然由于历史和科学水平的限制，他的学当然由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也说免不了也包含了一些缺陷包含了一些缺陷（地球围绕太（地球围绕太阳作圆周运动）。阳作圆周运动）。此后，丹麦天文学家第谷此后，丹麦天文学家第谷布拉赫进行了布拉赫进行了二十年的观测并记录下十分丰富而又准确二十年的观测并记录下十分丰富而又准确的资料。的资料。万有引力定律的发现万有引力定律的发现第谷第谷布拉赫的学生开普勒（布拉赫的学生开普勒（KeplerKepler）对）对这些资料进行了九年时间的分析计算后发这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上周期上有有8 8度的误差度的误差，这使他对哥白尼的圆，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据，提出了天文学上至今仍然十分著名依据，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设的三条假设KeplerKepler三定律。三定律。万有引力定律的发现万有引力定律的发现（1 1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上；的一个焦点上；（2 2）行星在单位时间内扫过的面积）行星在单位时间内扫过的面积A A不变；不变；（3 3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变。三次方，比例系数不随行星而改变。万有引力定律的发现万有引力定律的发现假设：假设：（1 1）行星轨道方程：椭圆极坐标方程）行星轨道方程：椭圆极坐标方程 其中其中a a长半轴，长半轴，b b短半轴，短半轴，e e离心率；离心率；万有引力定律的发现万有引力定律的发现（2 2）（3 3）k k为比例系数，为比例系数，T T为周期为周期 （4 4）牛顿第二定律：）牛顿第二定律：万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现万有引力定律的发现结论结论：作用于任一行星上的力，方向在太：作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出来的？），其大小与两者之间的距离平方来的？），其大小与两者之间的距离平方成反比，比例系数通过实验给出。成反比，比例系数通过实验给出。例例2 2：传染病模型：传染病模型 背背景景：传传染染病病是是威威胁胁人人类类健健康康和和生生命命的的一一类类疾疾病病，如如何何有有效效地地预预防防和和控控制制传传染染病病对对人人类类的的侵侵害害，是是一一项项相相当当重重要要的的课课题题，其其中中有有效效预预测测某某个个时时刻刻得得病病人人数数也也是是相相当当重要的指标。重要的指标。传染病模型传染病模型符号假设：符号假设：t t 时刻病人数为时刻病人数为i i(t t)模模型型一一：设设单单位位时时间间内内一一个个病病人人能能传传染染的的人数（传染率）为人数（传染率）为k k0 0 求解并分析求解并分析传染病模型传染病模型哪里出错了？哪里出错了？传染病模型传染病模型模型二：模型二：设人群分为两类：设人群分为两类：已感染者（已感染者（InfectiveInfective）i i(t t)易感染者（易感染者（Susceptible)Susceptible)s s(t t)所考察地区的总人数为所考察地区的总人数为n n，i i(t t)+)+s s(t t)n n，易见传染率应该和易见传染率应该和s s(t t)成单增关系，为方便，成单增关系，为方便，设为正比例关系，比例系数用设为正比例关系，比例系数用表示（称为表示（称为传染系数或日接触率），则方程变为传染系数或日接触率），则方程变为 传染病模型传染病模型传染病模型传染病模型模型三：模型三：假设假设（1 1）人人群群分分为为三三类类:已已感感染染者者i i(t t),),易易感感染染者者s s(t t),),免免疫疫移移出出者者（含含死死亡亡）r r(t t),),则则 i i(t t)+)+s s(t t)+)+r r(t t)n n（2 2）传传染染率率和和s s(t t)成成正正比比,比比例例系系数数用用表表示示;（3 3）单单位位时时间间内内病病愈愈免免疫疫的的人人数数与与当当时时的的病病人人数成正比，比例系数用数成正比，比例系数用 l l 表示表示.传染病模型传染病模型传染病模型传染病模型THANK YOUSUCCESS2024/4/21 周日30可编辑模型分类模型分类 依据变量的特征：确定型和随机依据变量的特征：确定型和随机依据变量的取值：连续型和离散型依据变量的取值：连续型和离散型依据数学式子：线性和非线性依据数学式子：线性和非线性依据物理状态：静态和动态依据物理状态：静态和动态依依据据对对问问题题的的认认识识程程度度：白白箱箱、灰灰箱箱和和黑黑箱箱模型模型依依据据数数学学方方法法：初初等等，方方程程，优优化化，控控制制论论等等等等依依据据实实际际范范畴畴：人人口口，交交通通，经经济济，生生态态等等等等搜集建模案例搜集建模案例搜搜集集一一个个与与自自己己专专业业有有关关的的建建模模问问题题，读读懂懂并并把把它它复复述述出出来来（写写到到1616开开的的纸纸上上，在在3 35 5页之间，手写）页之间，手写）将姓名、学号和班级写在第将姓名、学号和班级写在第1 1页的第页的第1 1行行正正文文内内容容至至少少包包含含：问问题题的的提提出出（或或描描述述、引引言言）；建建模模（包包括括假假设设、符符号号、模模型型建建立立和和求求解解过过程程等等）；检检验验（或或分分析、验证、讨论）。析、验证、讨论）。某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模例例1 1：（物物体体冷冷却却过过程程）将将某某物物体体放放置置于于空空气气中中，在在时时刻刻t=0t=0时时，测测量量得得它它的的温温度度为为u u0 0=150=1500 0C C，1010分分钟钟后后测测量量得得温温度度为为u u1 1=100=1000 0C C，求求物物体体的的温温度度u u和和时时间间t t的的关关系系,假假定定空空气气的温度始终保持在的温度始终保持在u ua a=24=240 0C C，热热力力学学的的一一些些基基本本规规律律：热热量量总总是是从从温温度度高高的的物物体体向向温温度度低低的的物物体体传传导导的的；一一个个物物体的温度变化速度与温度差成比例。体的温度变化速度与温度差成比例。某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模设设物物体体在在时时刻刻t t的的温温度度为为u=u(t)u=u(t)，则则温温度度的的变变化化速速度度可可表表示示为为du/dtdu/dt，由由刚刚才才的的物物理理知知识得如下等式（识得如下等式（k k为比例常数）：为比例常数）：某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模求解并分析求解并分析将已知数据代入求得本题的将已知数据代入求得本题的u(t)u(t)某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模例例2 2：（R-LR-L电电路路）如如图图的的R-LR-L电电路路，它它包包含含电电感感L L，电电阻阻R R和和电电源源E E（均均设设为为常常数数）.设设t=0t=0时时，电电路路中中没没有有电电流流.建建立立：当当开开关关K K合上后，电流合上后，电流I I应该满足的微分方程应该满足的微分方程.某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模基基尔尔霍霍夫夫(Kirchhoff)(Kirchhoff)第第二二定定律律：在在闭闭合合回回路路中，所有支路上的电压的代数和等于零。中，所有支路上的电压的代数和等于零。分分析析：经经过过电电阻阻R R的的电电压压降降为为RIRI，经经过过电电感感L L的电压降是的电压降是LdI/dtLdI/dt，由上述定律得，由上述定律得，某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模假假设设电电源源电电动动势势为为 ，则方程解为，则方程解为第一项叫第一项叫暂态电流暂态电流，随，随t t的增大逐渐衰减趋于零的增大逐渐衰减趋于零第二项叫第二项叫稳态电流稳态电流，是个正弦函数，是个正弦函数.某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模例例3 3：（R-L-CR-L-C电电路路）如如图图的的R-L-CR-L-C电电路路，它它包包含含电电感感L L，电电阻阻R R和和电电容容C(C(均均为为常常数数).).电电源源e(t)e(t)是是时时间间t t的的已已知知函函数数.建建立立：当当开开关关K K合上后，电流合上后，电流I I应该满足的微分方程应该满足的微分方程.某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模分分析析：经经过过电电阻阻R R的的电电压压降降为为RIRI，经经过过电电感感L L的的电电压压降降是是LdI/dtLdI/dt，经经过过电电容容C C的的电电压压降降是是Q/CQ/C，由基尔霍夫第二定律得，由基尔霍夫第二定律得，某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模例例4 4：(电电容容器器的的充充电电和和放放电电)如如图图所所示示的的R-CR-C电电路路，请请找找出出充充、放放电电过过程程中中，电电容容C C两两端端的的电压电压u u随时间随时间t t的变化规律。的变化规律。某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 开开始始时时电电容容C C上上没没有有电电荷荷，电电容容两两端端的的电电压压为为零零.我我们们把把开开关关K K合合上上“1 1”后后，电电池池E E就就对对电电容容C C充充电电，电电容容C C两两端端的的电电压压u u逐逐渐渐升升高高.经经过过相相当当时时间间后后，电电容容充充电电完完毕毕，我我们们再再把把开开关关合合上上“2 2”，这时电容就开始了放电过程，这时电容就开始了放电过程.某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模充电过程时，有充电过程时，有电容上的电量电容上的电量Q=CQ=Cu u 逐渐增多，且逐渐增多，且某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模例例6 6：(探探照照灯灯反反射射镜镜面面的的形形状状)在在制制造造探探照照灯灯的的反反射射镜镜面面时时，总总是是要要求求将将点点光光源源射射出出的的光光线线平平行行地地反反射射出出去去，以以保保证证探探照照灯灯有有良良好好的的方向性，请问反射镜面的几何形状？方向性，请问反射镜面的几何形状？建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系xoyxoy ，取取光光源源所所在在处处为为坐坐标标原原点点，而而x x轴轴平平行行于于光光的的反反射射方方向向.设设该该镜镜面面(曲曲面面)由由xoyxoy坐坐标标面面上上的的曲曲线线y y=f f(x x)绕绕x x轴旋转而成轴旋转而成.如图如图某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模光的反射定律：入射角光的反射定律：入射角=反射角反射角某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模根据光的反射定律：入射角根据光的反射定律：入射角=反射角，可得反射角，可得旋转抛物面旋转抛物面经济学中的数学经济学中的数学几个常见的经济函数几个常见的经济函数1.1.单单利利：设设初初始始本本金金为为p p元元，银银行行年年利利率率为为r r，则第，则第n n年末本利和为年末本利和为 S Sn n=p(1+nr)=p(1+nr)2.2.复复利利：设设初初始始本本金金为为p p元元，银银行行年年利利率率为为r r，则第，则第n n年末本利和为年末本利和为 S Sn n=p(1+r)=p(1+r)n n经济学中的数学经济学中的数学3.3.贴贴现现：票票据据的的持持有有人人，为为在在票票据据到到期期以以前前获获得得资资金金，从从票票面面金金额额中中扣扣除除未未到到期期期期间间的的利利息息后后，得得到到剩剩余余金金额额的的现现金金称称为为贴贴现现。第第n n年后价值为年后价值为R R元钱的现值为元钱的现值为其其中中：R R表表示示第第n n年年后后到到期期的的票票面面(据据)金金额额 ，r r表表示示贴贴现现率率，p p表表示示现现在在进进行行票票据据转转让让时时银行付给的贴现金额。银行付给的贴现金额。经济学中的数学经济学中的数学4.4.需需求求函函数数：商商品品的的需需求求量量Q Q可可以以看看成成是是商商品品价格价格p p的函数的函数需求函数，记作需求函数，记作 Q Q=f f(p)(p),p0,p0需需求求函函数数一一般般是是单单调调减减少少的的，其其图图像像称称为为需需求曲线，其反函数称为价格函数。求曲线，其反函数称为价格函数。需需求求函函数数一一般般有有线线性性函函数数，二二次次函函数数，指指数数函数，幂函数。函数，幂函数。经济学中的数学经济学中的数学5.5.供供给给函函数数：商商品品的的供供给给量量S S可可以以看看成成是是商商品品价格价格p p的函数的函数供给函数，记作供给函数，记作 S S=f f(p)(p),p0,p0供供给给函函数数一一般般是是单单调调增增加加的的，其其图图像像称称为为供供给曲线。给曲线。如如果果需需求求量量等等于于供供给给量量，则则这这种种商商品品就就达达到到了了市场均衡市场均衡。经济学中的数学经济学中的数学6.6.成成本本函函数数：费费用用总总额额与与产产量量(销销量量)之之间间的的关系，记作关系，记作 C=C=C C(x x)=C)=C1 1+C+C2 2(x x)C C1 1 称为固定成本，称为固定成本，C C2 2(x x)称为可变成本。称为可变成本。CC(x x)称称为为边边际际成成本本，它它描描述述了了从从生生产产第第x x个个到到生生产产第第x x+1+1个个单单位位的的产产品品时时，总总成成本本的的近近似似增值。增值。经济学中的数学经济学中的数学7.7.收收益益函函数数：生生产产者者出出售售产产品品的的全全部部收收入入与与产品的销量之间的关系，记作产品的销量之间的关系，记作 R=R=R R(x x)RR(x x)称称为为边边际际收收益益，它它描描述述了了当当销销售售量量为为x x单单位位时时，再再增增加加1 1个个单单位位的的销销售售量量，总总收收入入的的近似增值。近似增值。经济学中的数学经济学中的数学8.8.利利润润函函数数：收收益益函函数数与与成成本本函函数数之之差差，记记作作 L=L=L L(x x)LL(x x)称称为为边边际际利利润润，它它描描述述了了当当销销售售量量为为x x单单位位时时，再再增增加加1 1个个单单位位的的销销售售量量，利利润润的的近近似增值。似增值。经济学中的数学经济学中的数学9.9.需需求求弹弹性性：设设某某商商品品需需求求函函数数Q Q=f f(p p)在在p p处处可可导导，称称 为为该该商商品品在在p p与与p p+p p两点间的需求弹性。两点间的需求弹性。称下式为该商品在称下式为该商品在p p处的需求弹性。处的需求弹性。经经济济意意义义为为：在在价价格格为为p p时时,价价格格每每变变动动1%1%，需求量变化的百分比为需求量变化的百分比为%某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模设设有有一一个个弹弹簧簧，它它的的上上端端固固定定，下下端端挂挂一一个个质质量量为为m m的的物物体体.如如果果使使物物体体具具有有一一个个初初始始速速度度，那那么么物物体体便便离离开开平平衡衡位位置置，并并在在平平衡衡位位置置附附近近作作上上下下振振动动，如如果果不不考考虑虑阻阻力力和和外外加加力力，物物体体的的位位置置 x x 随随时时间间 t t 的的变变化化规规律律x x=x x(t t)，根根据据力力学学知知识识可可得得（无无阻尼自由振动方程阻尼自由振动方程 ）某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模如如果果考考虑虑受受到到阻阻尼尼介介质质的的阻阻力力，假假定定大大小小与运动速度成正比，可得与运动速度成正比，可得自由振动方程自由振动方程 如果还考虑受到铅直干扰力如果还考虑受到铅直干扰力 的作用可得的作用，可得强迫振动方程强迫振动方程 某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模下下面面我我们们对对上上述述方方程程进进行行求求解解并并分分析析其其物物理意义理意义可见无阻尼自由振动就是可见无阻尼自由振动就是简谐振动！简谐振动！参数参数k k称为称为固有频率固有频率某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模有阻尼的有阻尼的自由振动方程自由振动方程 （1 1）小阻尼情形：）小阻尼情形：n n k k 方程解为方程解为可可见见振振幅幅随随时时间间t t的的增增大大而而减减小小，趋趋于于零零.因此物体随时间因此物体随时间t t的增大而的增大而趋于平衡位置趋于平衡位置！THANK YOUSUCCESS2024/4/21 周日59可编辑