1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8,*,中心力场,中心力场的一般性质,4/5/2026,1,8,经典力学中的角动量,中心力场问题在粒子运动问题中占有特别重要的地位。,当粒子在中心力场中运动时，角动量守恒有重要作用。,假定质量为 的粒子在中心力场 中运动：,粒子在中心力场中运动时，对力心的角动量保持不变。,由于角动量与径矢和动量构成的平面垂直，角动量守恒带来的结果是，运动轨道必定是有确定法线方向的平面曲线，轨道平面的法线方向指向角动量的方向。,4/5/2026,2,8,量子力学中的角动量,在量子力学中，用另一种方法可以证明粒子在中心力场中运
2、动时角动量也是一个守恒量。,重复的指标表示对指标求和。,角动量算符只与角度有关，而势能只是径向坐标的函数,4/5/2026,3,8,球坐标系中的薛定谔方程,由于势能具有球对称性，采用球坐标系是方便的。,径向动能,离心势能,角动量的分量是守恒量，必有共同本征函数。,角动量的平方是守恒量，并且与各分量对易，,必有共同本征函数。,角动量的分量互不对易，不同分量的本征函数可能有相同的角动量和能量。因此，能级一般都有简并。,习惯上选,为守恒量完全集，,共同本征函数是：,4/5/2026,4,8,径向方程,做如下变换,在不同的中心力场中，粒子的定态波函数的差别仅在径向部分，它们由中心势的性质决定。,径向方
3、程中不出现磁量子数，这导致能量本征值与,m,无关，能级是,2,l,+1,重简并的。,4/5/2026,5,8,径向波函数的渐近行为,假定势能在原点附近的行为满足,这时，径向方程渐近地表示成,原点是方程的正则奇点，解必取以下形式,波函数的统计诠释要求在任何体积元内找到粒子的概率有限，因此负幂,l,+1 1.5,，这只当,l,=0,时才成立。,当,l,=0,时，将这个解代入径向方程，,这给出恒为零的无物理意义的解。,物理上可接受的解满足：,4/5/2026,6,8,两体问题,考虑由两个粒子相互作用构成的两体系统：,引入质心坐标和相对坐标：,系统的总质量,4/5/2026,7,8,两体系统的薛定谔方程,由此得到两体系统在质心系中的薛定谔方程：,分离变量：,描写质心的自由运动，与系统的内部结构无关,描写粒子的相对运动，与单体方程形式相同,质心运动方程反映系统整体的外部形态，相对运动方程则反映系统的内部结构，是中心力场的主要问题。,如果其中一个粒子的质量很大，则在质心系中可以近似看作静止，相对运动方程近似描写较轻粒子的运动。,4/5/2026,8,8,
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