高三数学难题.doc

例3(2012辽宁高考)如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：tt为定值自主解答(1)设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0)(2)证明：设A(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，故xyxy.因为点A，A均在椭圆上，所以b2xb2x.由t1t2，知x1x2，所以xxa2，从而yyb2，因此tta2b2为定值3(2012山东省实验中学模拟)已知抛物线y22px(p0)及定点A(a，b)，B(a,0)，ab0，b22pa，M是抛物线上的点设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_解析：设M，M1，M2，由点A，M，M1共线可知，得y1，同理由点B，M，M2共线得y2.设(x，y)是直线M1M2上的点，则，即y1y2y(y1y2)2px，又y1，y2，则(2pxby)y022pb(ax)y02pa(by2pa)0.当xa，y时上式恒成立，即定点为.6(2013长沙)直线l：xy0与椭圆y21相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_解析：由得3x22，x，A，B，|AB|.设点C(cos ，sin )，则点C到AB的距离dsin()，SABC|AB|d.答案：8(2012黄冈质检)已知椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B点，使得|AC|BC|？并说明理由解：(1)，b1，椭圆的方程为y21.(2)由(1)得F(1,0)，0m1.假设存在满足题意的直线l，设l的方程为yk(x1)，代入y21中，得(2k21)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x22).设AB的中点为M，则M.|AC|BC|，CMAB，即kCMkAB1，k1，即(12m)k2m.当0m时，k ，即存在满足题意的直线l；当m1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l.2(2012郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0)，m3，半径为，圆C与离心率e的椭圆E：1(ab0)的其中一个公共点为A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点(1)求圆C的标准方程；(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线PF1与椭圆E相交于D，B两点，求DBF2的面积；若不能，请说明理由解：(1)由已知可设圆C的方程为(xm)2y25(m3)，将点A的坐标代入圆C的方程中，得(3m)215，即(3m)24，解得m1，或m5.m3，m1.圆C的标准方程为(x1)2y25.(2)直线PF1能与圆C相切，依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为yk(x4)4，即kxy4k40，若直线PF1与圆C相切，则.4k224k110，解得k或k.当k时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点的横坐标为4，c4，F1(4,0)，F2(4,0)由椭圆的定义得：2a|AF1|AF2|56.a3，即a218，e，满足题意故直线PF1能与圆C相切直线PF1的方程为x2y40，椭圆E的方程为1.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得，13y216y20，由根与系数的关系得y1y2，y1y2，故SDBF24|y1y2|4.3(2012深圳模拟)如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求,的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值解：(1)依题意，得a2，e，c，b1.故椭圆C的方程为y21.(2)易知点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10.由于点M在椭圆C上，y1.(*)由已知T(2,0)，则,(x12，y1)，,(x12，y1)，,(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)2x4x132.由于2x12，故当x1时，,取得最小值.把x1代入(*)式，得y1，故M，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2.故圆T的方程为(x2)2y2.(3)设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：yy0(xx0)，令y0，得xR，同理：xS，故xRxS.(*)又点M与点P在椭圆上，故x4(1y)，x4(1y)，代入(*)式，得xRxS44.所以|OR|OS|xR|xS|xRxS|4为定值5(2012郑州模拟)若双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成73的两段，则此双曲线的离心率为()解析：依题意得，c2c，即bc(其中c是双曲线的半焦距)，ac，则，因此该双曲线的离心率等于.6设双曲线的左，右焦点为F1，F2，左，右顶点为M，N，若PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是()A在线段MN的内部B在线段F1M的内部或NF2内部C点N或点MD以上三种情况都有可能解析：选C若P在右支上，并设内切圆与PF1，PF2的切点分别为A，B，则|NF1|NF2|PF1|PF2|(|PA|AF1|)(|PB|BF2|)|AF1|BF2|.所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点10(2012南昌模拟)已知ABC外接圆半径R，且ABC120，BC10，边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，则过点A且以B，C为焦点的双曲线方程为()解析：sinBAC，cosBAC，|AC|2RsinABC214，sinACBsin(60BAC)sin 60cosBACcos 60sinBAC，|AB|2RsinACB26，2a|AC|AB|1468，a4，又c5，b2c2a225169，所求双曲线方程为1.11(2012乌鲁木齐模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()解析：依题意得F，设P，Q(y1y2)由抛物线定义及|PF|QF|，得，所以yy，所以y1y2.又|PQ|2，因此|y1|y2|1，点P.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|2，由此解得p2.14已知F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，O是坐标原点，OPAB，PF1x轴，|F1A|，则此椭圆的方程是_解析：由于直线AB的斜率为，故直线OP的斜率为，直线OP的方程为yx.与椭圆方程联立得1，解得xa.根据PF1x轴，取xa，从而ac，即ac.又|F1A|ac，故 cc，解得c，从而a.所以所求的椭圆方程为1.答案：118(12分)(2012南昌模拟)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由解：设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)，由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因为点P的横坐标x1一定是该方程的解，故可得xA.同理可得xB，所以kAB1kOP，所以，直线AB和OP一定平行20(12分)(2012河南模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：ykx与椭圆相交于不同的两点A，B.(1)若|AB|，求k的值；(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：(1)由题意知，b1.由a2b2c2可得cb1，a，椭圆的方程为y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x1x2|，化简得23k413k2100，即(k21)(23k210)0，解得k1.(2),(x1，y11)，,(x2，y21)，,x1x2(y11)(y21)，(1k2)x1x2k(x1x2)0.不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.21 (2012广州模拟)设椭圆M：1(a)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若,2,0(其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求,的最大值解：(1)由题设知，A，F1(，0)，由,2,0，得2，解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)设圆N：x2(y2)21的圆心为N，则,(,)(,)(,)(,),2,2,21.从而将求,的最大值转化为求NP,2的最大值因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，所以1，即x63y.因为点N(0,2)，所以,2x(y02)22(y01)212.因为y0， ，所以当y01时，,2取得最大值12.所以,的最大值为11.22 (2012湖北模拟)如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且AF2F1为钝角，若|AF1|，|AF2|.(1)求曲线C1和C2的方程；(2)设点C是C2上一点，若|CF1| |CF2|，求CF1F2的面积解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，则2a|AF1|AF2|6，得a3.设A(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(xc)2y22，(xc)2y22，两式相减得xc.由抛物线的定义可知|AF2|xc，则c1，x或x1，c.又AF2F1为钝角，则x1，c不合题意，舍去当c1时，b2，所以曲线C1的方程为1，曲线C2的方程为y24x.(2)过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作CC1l于点C1，依题意知|CC1|CF2|.在RtCC1F1中，|CF1| |CF2|CC1|，所以C1CF145，所以CF1F2C1CF145.在CF1F2中，设|CF2|r，则|CF1|r，|F1F2|2.由余弦定理得22(r)222rcos 45r2，解得r2，所以CF1F2的面积SCF1F2|F1F2|CF1|sin 4522sin 452.