高三数学一模试卷.doc

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科（理科） 　 　 2014.1
一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)
1．计算：．
2．函数的最小正周期是_______________．
3．计算：_______________．
4．已知，，则 ．（结果用反三角函数值表示）
5．直线与直线，若的方向向量是
的法向量，则实数 ．
6． 如果（）那么共有 项．
7．若函数的图象经过点，则函数的反函数的图象必经过点_______．
8．某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为__________________．（结论用数值表示）
9．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则____________．
10．在平面直角坐标系中，动点和点、满足，则动点的轨迹方程为__________________．
11．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为．已知这组数据的平均数为
10，方差为2，则的值为___________________．
12．如图所示，已知点是的重心，过作直线与、两边分别交于、两点，且，则的值为_________________．

13．一个五位数则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有______个五位数符合“正弦规律”．

14．定义区间的长度均为.已知实数则满足构成的区间的长度之和为_______．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．直线的倾斜角是 --------------------------------( )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
16．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
-------------------------------------------------------------------------------　）
（A）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（B）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（C）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（D）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
17．函数是奇函数的充要条件是----------------------------------------------（ ）
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）

18．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①； ②}；
③； ④．其中是“垂直对点集”的序号是 （　　）
（A） ①②　 （B） ②③（C）　 ①④ （D） ②④

三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
19．（本题满分12分）
在中，，是方程的两个根，且。
求的面积及的长．

20．（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）求的最大值．

21．（本题满分14分；第（1）小题5分，第（2）小题9分）
某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限（单位：年）
满足如下的函数关系：．（设该生物出生时）
（1） 需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2） 设出生后第年内，该生物长得最快，求的值．

22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴
随圆”，已知椭圆的两个焦点分别是．
（1）若椭圆上一动点满足，求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点作直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得弦长为，求点的坐标；
（3）已知，是否存在，使椭圆的“伴随圆”上的点到过两点的直线的最短距离．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）
称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②．
（1）若等比数列为 ()阶“期待数列”，求公比及的通项公式；
（2）若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列”的前项和为：
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若存在使，试问数列能否为阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．

流水号

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
（数学理科）答题卷 2014.1

题号
一
二
19
20
21
22
23
总分
满分
56
20
12
14
14
16
18
150

得分

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1． 2． 3．
4． __ 5． _ 6．
7． __ 8． _ 9．
10． 11． 12．
1３． 1４．
二、选择题（本大题共4题，满分20分。本大题必须使用2B铅笔填涂）
15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
17．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

三、解答题（本大题共5题，满分74分）
19．[解]

20．[解]

21．[解]

22．[解]

23．[解]