高二数学《不等式》讲义.doc

高二数学《不等式》讲义
【学习目标】
1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.
2．会用差值法比较两实数的大小；
3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；

②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；

③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
　　要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
　　(1) 对称性：
　　(2) 传递性：
　　(3) 可加性： (c∈R)
　　(4) 可乘性：a>b，
　　运算性质有：
　 (1) 可加法则：
(2) 可乘法则：
(3) 可乘方性：
(4) 可开方性：
要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
要点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③。
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
利用函数的单调性比较大小
若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.
作差比较法的步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；
最后下结论。
要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。
【典型例题】
类型一：用不等式表示不等关系
例1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，
可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：
（1） 总费用不超过8000元
（2） 总面积不超过；
（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.
即有：
即
此即为所求满足题意的不等式组
【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.
举一反三：
【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

类型二：不等式性质的应用
例2．对于实数a,b,c判断以下命题的真假
（１）若a>b, 则acbc2，则a>b;
（３）若aab>b2;
（４）若a|b|;
（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．
【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。
【解析】
（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。
２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。
（３）因为，所以a2>ab ①
又，所以ab>b2 ②
综合①②得a2>ab>b2 ，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（５）因为 ，所以
所以 ，从而ab<0
又因a>b，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．
【总结升华】不等式的性质应用要注意使用的条件，正确变形.
举一反三：
【变式1】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；
(2) ；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞bd－c)中能成立
的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C；
【变式2】若av>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间
平均速度，
　 　∵ ，
∴

　 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。
【总结升华】 本例利用了做差比较大小的方法，注意符号的判断方法.
　　举一反三：
【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地.
【答案】甲车先到达B地；
【解析】设从A到B的路程为S，甲车用的时间为，乙车用的时间为，
则

所以，甲车先到达B地。
类型三：作差比较大小
例4. 已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．
【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。
【解析】∵
=，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【总结升华】
用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；
第三步：得出结论。
举一反三：
【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：
(1) ；
（2） ；
（3） ；
（4）当时， .
【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜
【变式2】比较下列两代数式的大小：
（1）与；（2）与.
【答案】
（1）
（2）

，
∴.
例5.已知(), 试比较和的大小。
【解析】，
∵即，
∴当时，；
当时，.

【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论
举一反三：
【变式】已知，比较的大小
【答案】

类型四：作商比较大小
例6．已知：、, 且,比较的大小.
【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.
【解析】 ∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立；
(2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立。
综上，总成立。
【总结升华】
1、作商比较法的基本步骤是:
判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。
2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.
举一反三：
【变式】已知为互不相等的正数，求证：
【答案】为不等正数，不失一般性，设
这时，，则有：

由指数函数的性质可知：
，即.