高二数学《不等式》讲义.doc

高二数学不等式讲义【学习目标】1了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.2会用差值法比较两实数的大小；3掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.【要点梳理】要点一、符号法则与比较大小 实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；两个同号实数相乘，积是正数符号语言：；两个异号实数相乘，积是负数符号语言：任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、；. 对于任意实数、,三种关系有且只有一种成立。要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (cR)(4) 可乘性：ab，运算性质有： (1) 可加法则：(2) 可乘法则：(3) 可乘方性：(4) 可开方性：要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.要点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。；。作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。；.中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.作差比较法的步骤：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；最后下结论。要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。【典型例题】类型一：用不等式表示不等关系例1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元（2） 总面积不超过；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.即有： 即此即为所求满足题意的不等式组【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.举一反三：【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【答案】设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式类型二：不等式性质的应用例2对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （）若ab, 则acbc2，则ab; （）若ababb2; （）若ab|b|; （）若ab, , 则a0, bbc2, 所以c0, 从而c20，故原命题为真命题。（）因为，所以a2ab 又，所以abb2 综合得a2abb2 ，故原命题为真命题（）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题（）因为 ，所以 所以 ，从而abb，所以a0, b0，故原命题为真命题【总结升华】不等式的性质应用要注意使用的条件，正确变形.举一反三：【变式1】若a0ba，cd0，则下列命题：(1)adbc；(2) ；(3)acbd；(4)a(dc)b(dc)中能成立的个数是()A1 B2 C3 D4【答案】C；【变式2】若abv0)，则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间平均速度， ， 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。【总结升华】 本例利用了做差比较大小的方法，注意符号的判断方法.举一反三：【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地.【答案】甲车先到达B地；【解析】设从A到B的路程为S，甲车用的时间为，乙车用的时间为，则所以，甲车先到达B地。类型三：作差比较大小例4. 已知a，b，c是实数，试比较a2b2c2与abbcca的大小【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。【解析】=， 当且仅当abc时取等号a2b2c2abbcca.【总结升华】用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；第三步：得出结论。举一反三：【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ； （2） ；（3） ； （4）当时， .【答案】(1)； （2） ； （3）； （4）【变式2】比较下列两代数式的大小：（1）与；（2）与.【答案】（1）（2），.例5.已知(), 试比较和的大小。【解析】， 即，当时，；当时，.【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论举一反三：【变式】已知，比较的大小【答案】类型四：作商比较大小例6已知：、, 且,比较的大小.【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.【解析】 、 ，作商： （*）(1)若ab0, 则，a-b0, , 此时成立；(2)若ba0, 则, a-b0，, 此时成立。综上，总成立。【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.举一反三：【变式】已知为互不相等的正数，求证：【答案】为不等正数，不失一般性，设这时，则有： 由指数函数的性质可知：，即.