高一数学复合函数讲解.doc

　1、复合函数的概念
　　如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。
　　例如：函数是由复合而成立。
　　 函数是由复合而成立。
　　a是中间变量。
2、复合函数单调性
　　由引例 对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
　　对任意，
　　当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
　　∵当a＞1时，
　　∵y=f（u）是上的递减函数 ∴
　　∴
　　∴是单调递减函数
类似地，　当0＜a＜1时，
是单调递增函数
　　一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
　　有以下四种情况：
　　（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；
　　（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
　　（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
　　（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性
（1）（2）

　　又是减函数
　　∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
　　②x∈（-1，3）
　　令
　　∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。
　　∵是增函数
　　∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
　　注意：要求定义域

　　练习：求下列函数的单调区间。
　　1、（1）减区间，增区间；
　　（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；
　　（3）减区间，增区间；
（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
　　提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）
　　的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。

　　例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）
　　（1）y=f（x）的表达式及定义域；
　　（2）求y=f（x）的值域；
　　（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。
　　答案：（1）x∈（0，3）
　　（2）（0，]
　　（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数
　　当x∈时，；
　　当x∈时，。
　　 例3、确定函数的单调区间
　提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。
　函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）
　函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。　
1、求下列函数的单调区间。
（1）（2）（3）
2、求函数的递减区间。
3、求函数的递增区间。
4、讨论下列函数的单调性。
（1）（2）
答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）
2、[，2] 3、（-∞，-2）
4、（1）在上是增函数，在上是减函数；
（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
用待定系数法求函数解析式
一、填空题：
1、已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m＝ 。
2、抛物线过点(1，0)，与x轴两交点间距离3，则b＝ ，c＝ 。
3、抛物线与x轴只有一个交点，则b＝ 。
4、抛物线的顶点是C(2，)，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程的两个根，则AB＝ ，S△ABC＝ 。
5、如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，当线段AB最短时，线段OC的长是 。
6、若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 。
7、抛物线与x轴有 个交点。
二、选择题 1、抛物线与y轴的交点坐标是( )
(A)(0，－5)； (B) (0，13)； (C) (0，4)； (D) (3，－5)
2、抛物线的顶点坐标为( )
(A) (B) (C) (D) (－1，0)
3、若抛物线的顶点在y轴上，则m的值为( )
(A)－3 (B)3 (C)－2 (D) 2
4、若抛物线的顶点在x轴上，则c的值为( )
(A) ； (B) ； (C) (D)
5、函数图象可能为( )

6、若(2，5)，(4，5)是抛物线上的两点，那么它的对称轴为直线( )
(A) (B) (C) (D)
7、抛物线与x轴的交点个数是( )
(A)0； (B)1； (C)2； (D)无数个。
三、求符合下列条件的二次函数式图象：
1、过点(0，1)，(1，1)，(－1，－1)； 2、对称轴是x＝2，经过(1，4)和(5，0)两点。
3、抛物线与x轴的一个交点(6，0)，顶点是(4，－8)
4、当x＝3时，y有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3)。
5、抛物线以点(－1，－8)为顶点，且与y轴交点纵坐标为－6。
6、顶点在x轴上，对称轴方程x＝－3，且经过点(－1，4)。
7、求二次函数的图象与x轴两交点间的距离的最小值，此时m的值是多少？
8、二次函数图象经过A(0，2)和B(5，7)两点，且它的顶点在直线y＝－x上。