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一次函数的教学分析
一、知识点的地位与作用
一次函数是初中阶段学生所要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础。由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题。
二、教材分析与学情分析
1、教材分析
由于一次函数与现实生活联系密切，在引入一次函数概念时，教材(华东师大版课标教材八年级下册第17章)充分考虑概念的实际背景与形成过程，通过学生较熟悉的实际问题，让学生观察和分析实际问题中变量关系的变化规律，使学生领会和理解函数的基本概念及其思想方法。同时，淡化对函数概念过分形式化的定义，使学生对一次函数的认识从感性认识
上升到理性认识，增强他们对一次函数的应用意识。
研究一次函数离不开对图象特征的研究，数形结合思想是学习一次函数时必须体现的一种重要思想。教材通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，便于学生掌握正确的学习方法，逐步形成解决一次函数问题的技能。
运用一次函数解决实际问题时，考虑的面比较广，需要结合一次函数的解析式、图象和性质，有时会遇到比较复杂的问题情境，不但需要结合图象特征，还要进行数学建模，如运用方程、不等式等其他数学模型解决问题。所以，运用一次函数的知识解决复杂的实际问题对部分学生来说有一定的困难，需要选择适当的方法给予引导、突破。
2、学情分析
学习一次函数，意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习，学生的思维方式要随之而变，这是对学生思维能力的考验，也是其数学认识的一次重要飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单问题(如简单地应用待定系数法求一次函数、直接应用图象特征判别问题特征等)往往能根据课堂所学的概念知识，加上参阅书本知识，画出相应的函数图象解决，看不出学生对一次函数的理解程度。但随着时间的推移，随着问题情境复杂化，他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够，停留在感性认识多些，理性认识少些，对一次函数解析式的直接应用多些，对解析式与图象问的内在联系运用薄弱些，需要多练、多探、多问、总结经验。学生在学习中遇到的困难主要表现在以下三个方面：
(1)将复杂问题情境转化为一次函数图象；
(2)结合题意理解一次函数所表达的信息；
(3)结合题意把图象信息转化为数量关系。
三、教学思想与教学突破点
考虑到学生在学习中遇到的困难，一次函数的教学应重点围绕三个方面展开：(1)从数形结合角度理解一次函数的概念，认识一次函数图象；(2)探索一次函数解析式与图象的内在对应关系，做到能够根据一次函数解析式准确画出对应图象，能够根据函数图象提取信息，求得一次函数解析式；(3)在具体问题情境中能运用一次函数的知识和数形结合思想解决有关问题具体教学中，应对(2)、(3)实施重点突破以数形结合的思想使一次函数图象化，让学生能直观地认识一次函数，理解一次函数，运用一次函数。具体可落实以下三个教学突破点。
突破点1：培养学生及时把问题信息转化到函数图象上的能力。
在初学函数的过程中，需要根据题目信息画出函数图象，这是学好函数的一个必要条件，也是学好函数的一个基本技能。
例1星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩。从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回小强离家4小时40分钟后，妈妈开车沿相同路线迎接小强，已知小强骑车的速度为15千米／日寸，妈妈开车的车速为60千米／时。
(1)小强家与游玩地的距离是多少?
(2)妈妈出发多长时问与小强相遇?
【说明】此题是一道普通的行程类题目可以通过列方程解答，也可以转化为函数问题，结合函数图象解决。若采用函数方法解决，则需要画出图象并把问题信息反应到图象上。若纵轴为离家的路程y(千米)横轴为时间x(时)，建立坐标系，则图象为如图1所示。学生能够从问题情境中提取信息并构画出函数图象需要一个能力培养的过程，需要通过多次训练才能养成这种能力习惯突破点2：培养学生从图象中获取有效信息并将其与实际情境相结合的能力。

根据图象信息联想问题情境，并进行有效处理，有助于培养学生的想象力和推理能力，大多数学生正是由于缺乏这方面的能力，导致在处理动态的空间图形变化时，总是得不出其中对应量之间的关系。这种能力是教学中创新思维的一个发展点，需要大力提倡培养。
例2图2是韩老师早晨出门散步时，离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象。若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )。

【说明】此题只给出一个函数图象，需要学生根据图象中的距离与时间关系想象出问题的实际情境，再通过对每个答案进行对比想象作出正确判断。此题的思想是由图象想象出实际问题情境，使学生能真正做到题目一图象之间的融会贯通。
在对图象的观察、分析及提取信息的过程中，有时由于生活经验等原因造成从图象中获得的信息看似不合题意，需要根据题意综合思考，这有助于对问题的深入理解，也有助于提高学生的综合思维能力。
例3小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校。已知小明在整个上学途中，他出发t分钟后所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象如图3中的折线段OA-AB所示。

(1)试求折线段OA-AB所对应的函数关系式；
(2)请解释图中线段A日的实际意义；
(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离s(千米)与小明出发后的时问t(分)之间函数关系的图象。
【说明】此题中对干线段AB的实际意义，从图象角度往往可理解成：小明在学校等妈妈把课本送来，也可理解成小明绕着以他家为圆心、1千米为半径的圆弧形道路匀速步行了8分钟。但由干平时训练资料中较少有类似题型，学生可能一下子找不到对应模型，既然题意已说明小明还没到校，那么可以肯定小明是在去学校的路上。此题不怛要求从图象中获取正确的信息，同时还要求考虑题中的问题情境，这类问题对学生综合思考能力的提高有一定的帮助。
突破点3：培养学生在分析和解决问题的过程中运用数学思想的能力。
在解决数学问题的过程中，经常会遇到复杂情境，需要合理运用数学思想方法才能理清题意以及各量之间的关系，同时也能增加解题说服力。
例4某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完。该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图4中的折线表示的是市场日销售量y与上市时间t的关系；图5中的折线表示的是每件产品A的日销售利润w与上市时间￡的关系。

1)试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大?最大利润是多少?
【说明】在解决第(2)小问时，有两种方法。(D用分类思想，考虑到不同时间段曰销售量与每件产品的销售利润有所差异，因此要分时间段考虑确定最大日销售利润；总共有三个时间段，0～20天、20～30天、30～40天，可分别计算这三个时问段中的最大日销售利润，最后取三个时间段中的最大值即可。②根据图象提取信息直接解答，由图4可知，在第30天时，曰销售量最大，由图5可知，在20～40天中每件产品的销售利润最大，因此可得在第30天时日销售利润最大，最大值为60×60=3 600(万元)。这两种方法中，运用分类思想的思维要求比较高，很多学生达不到要求，但运用分类思想最大的优点是分析问题时条理比较清楚，把复杂问题拆分成几个简单问题，只需考虑全面即可。这种思想能促进学生全面考虑问题、分解问题能力的提高，促进学生思维能力日趋成熟。
在一次函数的教学过程中，有许多有效的教学方法，只要教师能切实了解学生的思维方式，走进他们的思维，帮助他们寻找解决思维障碍的突破点，那么学好一次函数对于他们来说也就不是困难的事了。