1.什么是函数方程解读.doc

1什么是函数方程？我们还是先从方程谈起. 对于方程，大家已经是相当熟悉的了. 开始学习中学数学不久，同学们首先就遇到了最简单的方程一元一次方程. 接着相继学习了二次方程、分式方程、无理方程. 一直到最后，又研究了更为复杂的高次方程、指数方数、对数方程、三角方程等等. 由于方程在实践和理论上的重要性，这部分内容就成了中学数学主要组成部分之一.让我们来回忆一下有关的一些概念：什么是方程？在中学数学里，我们把方程定义为含有未知数的等式. 等式 （1）就是一个关于未知数x的方程.如果任意给予未知数一个值，一般来说，方程两边的表达式的值可能是不相等的. 例如，在方程（1）中，取x=-1，容易计算，方程左边的值是-12，而右边的值为-6，两者就不相等. 但对于未知数的某个（或某些）“特殊”值，方程两边的表达式的值却可能恰好相等. 不难验证，如果x=-3或x=，方程（1）两边的值相等，都等于-8或-. 这种能使方程两边的表达式的值相等的未知数的值，叫做方程的解. x=-3，x=就是方程（1）的两个解. 当然，并不是所有方程都有解. 例如，方程在实数范围内就没有解.如果方程无解，证明它无解；如果方程有解，把这些解找出来，这件工作叫解方程.以上这些，还可以换个说法. 从函数的角度看，一个（一元）方程的两边的未知数的表达式，分别可以看作是同一个自变量的两个函数. 例如，方程（1）的右边是一个一次函数：；左边是一个二次函数：.显然，对于某一个特定的方程，方程两边的函数是确定的. 因而，我们可以把方程看作是含有确定的函数的等式. 所谓方程的解，就是使两边函数的值相等的自变量的值. 解方程的问题，就是要寻求自变量的这样的值，它能使这两个函数的值相等；或者证明自变量的这样的值并不存在.大家熟知的方程的图象解法，就是建立在这种观点之上的. 以上述方程（1）为例，我们在同一坐标系里，分别作出函数和的图象（图1）. 抛物线与直线的交点坐标是和. 这表明，当x=-3或x=时，函数和x-5有相等的值（分别是-8和）.方程（1）的解自然就是x1=-3和x2=了.图1方程的两边除了可以是确定的函数外，还可能是不确定的、未知的函数. 这种方程对于大家来说其实并不十分陌生. 回想一下我们是如何定义偶函数、奇函数、周期函数的：对于自变量x的任何值，满足下述关系的函数分别叫做偶函数、奇函数和周期函数. 但在这里，自变量x应当是取任意的值（当然要在函数的定义域内）都能使方程成立（即能使两个函数的值相等），而不是象在普通方程中那样，只是对于自变量的某个（或某些）特殊的值才能使方程成立. 在这里，未知的不是函数的自变量（因为它可以取定义域中的任意值），未知的是函数本身. 这种含有未知函数的等式，叫函数方程. 方程（2），（3），（4）都是函数方程.函数方程的解的含义也与普通方程不同. 如前所述，普通方程的解，是能使方程两边的函数（这些函数是确定的）值相等的自变量的值，从而它的解是一个或若干个数，而函数方程的解，是指能使方程成立的函数，从而它的解是一个或若干个函数. 例如函数，代入方程（2）的左边，得，右边也是.所以不论对于自变量的任何值，始终有.可见函数f(x)=x2是方程（2）的一个解. 不难验证，函数等等，都是函数方程（2）的解.类似地，也可以举出函数方程（3）的一些解来. 例如，等等都是.函数方程（4）也有许多解. 例如当a=2时，有f (x)=sinx和f (x)=cosx；当a=时，有f (x)=tgx和f (x)=ctgx；当a为任何正数时，有f(x)=K（K是常数）.寻求函数方程的解，或者证明函数方程无解，就叫解函数方程. 由于函数方程的复杂性和多样性，一般地说，解函数方程要比解普通方程困难得多.我们在前边曾列举了三个函数方程. 这些函数方程描述了某类函数的特殊性质（奇偶性，周期性），因而具有很大的理论意义. 但是，这并不是说，只有在函数理论的研究中才会出现函数方程. 正如普通方程一样，很多实际问题都会导致函数方程的建立. 我们通过实例来说明这一点.例1 有一个很古老、很有趣的养兔问题是这样的：假定开始时有一对大兔，一月后生了一对小兔，而这对小兔经过一个月就长成大兔. 此后，每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔经过一个月又长成大兔. 问第n个月，共有多少对大兔？设第n个月共有f (n)对大兔. 我们来计算一下前几个月大兔的对数.为了便于看清楚繁殖关系，在图2中，我们用“”表示大兔，用“”表示小兔，用“=”号表示原来的大兔，用虚箭头表示繁殖，用实箭头表示长大.从图2可以看出：我们来分析一下从第3个月起以后各月份大兔对数的组成. 例如，第6个月的大兔对数是怎样组成的呢？显然，可以分为两类：一类是第图25个月的大兔对数（图2中的A，B，C，D，E），一类是第5个月小兔长大以后的对数（图2中的X、Y，Z），而第5个月的小兔又恰是第4个月的大兔所生的，因而二者的对数相同. 这样一来，可见第6个月大兔的对数等于第4，5两个月大兔对数的和. 对于一般情形，显然有而在上例中，函数方程所涉及的函数是自然数的函数，即函数的定义域是自然数. 但是，在实际问题中，有些函数方程中所涉及的函数要更一般些，即它们是实变数的实函数，也就是说，定义域和值域都是某区间的实数.例2 度量气温常用摄氏（C）和华氏（F）温度计. 我们知道，水的冰点是0C或32F，沸点是100C或212F. 试求由摄氏温度换算为华氏温度的公式.这里，华氏度数是摄氏度数的函数. 设摄氏温度为n，对应的华氏温度为f (n). 于是，当摄氏温度为n+1，n+2时，对应的华氏温度分别是f (n+1)，f (n+2)图3(a). 由于摄氏、华氏温度计的刻度都是均等的，很明显，有下列函数方程：化简后即得而(a) (b)图3更一般些，当摄氏温度为时，对应的华氏温度分别为图3(b). 于是，就得到相当于（7）的函数方程：当然，同样还有条件解出函数方程（7）或（9），也就找到了这两种温度制间的换算公式.例3 大家知道，远在欧几里德时代，几何学就开始初步使用公理化方法了. 这种方法是把为数不多的、最基本、最简单的几何事实作为公理. 公理是毋需证明的命题. 但要确认其他几何命题的成立，就必须从选定的公理出发逻辑地推导出来.公理化方法后来也为别的一些学科所使用. 静力学（研究力平衡的学科）就是这样的. 它选定这样一个事实作为其公理之一：设有作用于一点O的两个大小相等的力OP1、OP2：|OP1|=|OP2|=p，夹角为2x. 这两个力就产生一个合力OR；合力OR的方向是分力夹角的平分线（图4）.当分力OP的大小一定时，合力OR的大小是角x的函数f (x). 静力学的公理说：乍看起来，这一公理的提出似乎带有很大的主观人为性质.其实以后我们将会看到，这个公理是符合实验结果的.归根结底，公理要受实践的检验.现在，我们来分析一下这里的函数f (x)究竟有什么性质，满足什么方程.设有四个力OP1，OP2，OP3，OP4同作用于O点的（图5），其大小相等：设夹角.我们从两种不同的途径来讨论这四个力的合力.一种途径是：将力OP1和OP2，OP3和OP4分别相加，相应地得到合力OQ1和OQ2. 这两个合力分别是的平分线；而根据静力学公理，即公式（11），它们的大小为.再将力OQ1和OQ2相加，就得到合力OR. 显然，这个合力的方向是的平分线，其大小为 （12）另一办法是：先将分力OP1和OP4相加，得合力OR1，其方向与OR重合，而大小为. (13)再将OP2和OP3相加，又得合力OR2，而OR2也和OR重合，大小为. （14）因为OR1，OR2，OR在同一条直线上，方向相同，所以有|OR|=|OR1|+|OR2|.把（12），（13）（14）分别代入上式，并约去2p，就得函数方程. （15）例4 在化学元素里，有一类叫放射性元素. 这些放射性元素由于不断地发出放射性辐射而自行衰变. 衰变后就形成其他元素. 实验证明，任何放射性物质在相等的时间内衰变（缩减）同样的倍数.例如，放射性元素镭每经过1600年，由于衰变而使其质量消失原来的一半（物理学上称为半衰期）. 这样，假设有1克某种放射性物质，经过x年缩减到f(x)克，再经过y年就缩减到f(x)f(y)克. 而1克这种物质在x+y年内应缩减到f (x+y)克. 于是就得函数方程 （16）求出函数f (x)，就得到了放射性物质衰变的规律.关于函数方程的实例，我们就举到这里. 事实上，在许多理论与实际问题的研究中，函数方程被广泛地应用. 限于篇幅，也因为许多问题要牵涉到一些专门知识，我们不可能在这里多作介绍了.以下，我们转入一些函数方程解法的讨论.