1、 二次函数的定义二次函数的定义知识点归纳:二次函数的定义:一般地,如果是常数,那么叫做的二次cbacbxaxy,(2)0ayx函数.二次函数具备三个条件,缺一不可二次函数具备三个条件,缺一不可:(1)是整式方程;(2)是一个自变量的二次式;(3)二次项系数不为 0考点:二次函数的二次项系数不为考点:二次函数的二次项系数不为 0 0,且二次函数的表达式必须为整式,且二次函数的表达式必须为整式例 1、函数 y=(m2)x22m2x1 是二次函数,则 m=例 2、下列函数中是二次函数的有()y=xx1;y=3(x1)22;y=(x3)22x2;y=21xxA1 个 B2 个 C3 个 D4 个训练题
2、训练题:1、已知函数 y=ax2bxc(其中 a,b,c 是常数),当 a 时,是二次函数;当 a ,b 时,是一次函数;当 a ,b ,c 时,是正比例函数2、若函数 y=(m2+2m7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数,则 m 的取值范围为 。3、已知函数 y=(m1)x2m+1+5x3 是二次函数,求 m 的值。4下列不是二次函数的是()Ay=3x24 By=31x2 Cy=52x Dy=(x1)(x2)5函数 y=(mn)x2mxn 是二次函数的条件是()Am、n 为常数,且 m0Bm、n 为常数,且 mnCm、n 为常数,且 n0Dm、n 可以为任何常数6如图,校园要建苗圃,其
3、形状如直角梯形,有两边借用夹角为 135的两面墙,另外两边是总长为 30 米的铁栅栏(1)求梯形的面积 y 与高 x 的表达式;(2)求 x 的取值范围7已知:如图,在 RtABC 中,C=90,BC=4,AC=8点 D 在斜边 AB 上,分别作 DEAC,DFBC,垂足分别为 E、F,得四边形 DECF设 DE=x,DF=y(1)AE 用含 y 的代数式表示为:AE=;(2)求 y 与 x 之间的函数表达式,并求出 x 的取值范围;(3)设四边形 DECF 的面积为 S,求 S 与 x 之间的函数表达式 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质知识点归纳:1、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1
4、)公式法:,abacabxacbxaxy442222顶点是顶点是,对称轴是直线对称轴是直线.),(abacab4422abx2(2)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.2、二次函数的图象及性质:(1)二次函数 y=ax2(a0)的图象是一条一条抛物线,其顶点是原点,对称轴是 y 轴;当 a0 时,抛物线开口向上,顶点是最低点顶点是最低点;当 a0 时,抛物线开口向下,顶点是最高点,顶点是最高点;a 越小,抛物线开口越大(2)二次函数的图象是一条对称轴平行对称轴平行 y y 轴或者与轴或者与
5、y y 轴重合的抛物线轴重合的抛物线要会根据对称轴和图像cbxaxy2判断二次函数的增减情况。例 1、已知直线 y=2x3 与抛物线 y=ax2相交于 A、B 两点,且 A 点坐标为(3,m)(1)求 a、m 的值;(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标;(3)x 取何值时,二次函数 y=ax2中的 y 随 x 的增大而减小;(4)求 A、B 两点及二次函数 y=ax2的顶点构成的三角形的面积例 2、求符合下列条件的抛物线 y=ax2的表达式:(1)y=ax2经过(1,2);(2)y=ax2与 y=21x2的开口大小相等,开口方向相反;(3)y=ax2与直线 y=21x3 交于点(2,m)
6、例 3、抛物线 y=ax2bxc 如图所示,则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是 例 4、已知二次函数 y=(m2)x2(m3)xm2 的图象过点(0,5)(1)求 m 的值,并写出二次函数的表达式;(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴例 5、二次函数 y=a(xh)2的图象如图:已知 a=,OAOC,试求该抛物线的解析式。12例 6、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位,在向下平移 2 个单位,所得图象的解析式是y=x23x+5,试求 b、c 的值。训练题训练题:1抛物线 y=4x24 的开口向 ,当 x=时,y 有最 值,y=2当 m=时,y=(m1)xmm 23
7、m 是关于 x 的二次函数3抛物线 y=3x2上两点 A(x,27),B(2,y),则 x=,y=4当 m=时,抛物线 y=(m1)xmm 29 开口向下,对称轴是 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而 ;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而 5抛物线 y=3x2与直线 y=kx3 的交点为(2,b),则 k=,b=6已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,且经过点(1,2),则抛物线的表达式为7在同一坐标系中,图象与 y=2x2的图象关于 x 轴对称的是()Ay=21x2By=21x2Cy=2x2Dy=x28抛物线,y=4x2,y=2x2的图象,开口最大的是()Ay=41x2By=4x2Cy=
8、2x2D无法确定9对于抛物线 y=31x2和 y=31x2在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是()A两条抛物线关于 x 轴对称B两条抛物线关于原点对称C两条抛物线关于 y 轴对称D两条抛物线的交点为原点10二次函数 y=ax2与一次函数 y=axa 在同一坐标系中的图象大致为()11已知函数 y=ax2的图象与直线 y=x4 在第一象限内的交点和它与直线 y=x 在第一象限内的交点相同,则a 的值为()A4B2C21D4112.已知二次函数 y=41x225x6,当 x=时,y最小=;当 x 时,y 随 x 的增大而减小13抛物线 y=2x2向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,得到
9、的抛物线表达式 为14若二次函数 y=3x2+mx3 的对称轴是直线 x1,则 m 。15当 n_,m_时,函数 y(mn)xn(mn)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口_.16已知二次函数 y=x22ax+2a+3,当 a=时,该函数 y 的最小值为 0.17.二次函数 y=3x26x+5,当 x1 时,y 随 x 的增大而 ;当 x0,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,b0,c 0Bb-2a Ca-b+c 0Dc0;a+b+c 0a-b+c 0b2-4ac0abc 0 ;其中正确的为()ABCD4.当 bbc,且 abc0,则它的图象可能是图所示的()6二次函
10、数 yax2bxc 的图象如图 5 所示,那么 abc,b24ac,2ab,abc 四个代数式中,值为正数的有()A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个7.二次函数 y=ax2bxc 与一次函数 y=axc 在同一坐标系中的图象大致是图中的()8、在同一坐标系中,函数 y=ax2bx 与 y=xb的图象大致是图中的()9.已知抛物线 yax2bxc(a0)的图象如图所示,则下列结论:a,b 同号;当 x1 和 x3 时,函数值相同;4ab0;当 y2 时,x 的值只能取 0;其中正确的个数是()A1 B2 C3D411.已知二次函数 yax2bxc 经过一、三、四象限(不经过原点和第二
11、象限)则直线yaxbc 不经过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限12、二次函数的图象如图,下列判断错误的是())0(2acbxaxyABCD0a0b0c042 acb13、二次函数cbxaxy2的图象如图所示,则下列关系式中错误的是()Aa0 Bc0 Cacb420 Dcba0二次函数的交点问题二次函数的交点问题知识点:二次函数与二次函数与 x x 轴、轴、y y 轴的交点的求法:分别令轴的交点的求法:分别令 y=0,x=0y=0,x=0;二次函数与一次及反比例函数等的相交:联立;二次函数与一次及反比例函数等的相交:联立两个函数表达式,解方程两个函数表达式,解方程.例例 1 1
12、、已知抛物线 yx2-2x-8,(1)求证:该抛物线与 x 轴一定有两个交点,并求出这两个交点的坐标。(2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,且它的顶点为 P,求ABP 的面积1xAyO1xByO1xCyO1xDyO第 13 题图 yxO11例 3、如图,直线 经过 A(3,0),B(0,3)两点,且与二次函数 y=x21 的图象,在第 一象限内相交于点 C求:(1)AOC 的面积;(2)二次函数图象顶点与点 A、B 组成的三角形的面积例 3、.如图,抛物线经过直线与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与轴的另一个交2yxbxc3yxx点为 C,抛物线顶点为 D.(1)求此抛物线的解析式
13、;(2)点 P 为抛物线上的一个动点,求使:5:4 的点 P 的坐标。APCSACDS例 4、已知抛物线 y=x2+x-1252(1)求它的顶点坐标和对称轴(2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,求线段 AB 的长例 5、已知抛物线 y=mx2(32m)xm2(m0)与 x 轴有两个不同的交点(1)求 m 的取值范围;(2)判断点 P(1,1)是否在抛物线上;(3)当 m=1 时,求抛物线的顶点 Q 及 P 点关于抛物线的对称轴对称的点 P的坐标,并过 P、Q、P 三点,例 6已知二次函数 y=x2(m3)xm 的图象是抛物线,如图 2-8-10(1)试求 m 为何值时,抛物线与 x
14、轴的两个交点间的距离是 3?(2)当 m 为何值时,方程 x2(m3)xm=0 的两个根均为负数?(3)设抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点 P、Q,求当 PQ 最短时MPQ 的面积 训练题1抛物线 y=a(x2)(x5)与 x 轴的交点坐标为2已知抛物线的对称轴是 x=1,它与 x 轴交点的距离等于 4,它在 y 轴上的截距是6,则它的表达式为3若 a0,b0,c0,0,那么抛物线 y=ax2bxc 经过象限4抛物线 y=x22x3 的顶点坐标是5若抛物线 y=2x2(m3)xm7 的对称轴是 x=1,则 m=6抛物线 y=2x28xm 与 x 轴只有一个交点,则 m=7已知抛物线 y=a
15、x2bxc 的系数有 abc=0,则这条抛物线经过点8二次函数 y=kx23x4 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围9抛物线 y=x22axa2的顶点在直线 y=2 上,则 a 的值是10抛物线 y=3x25x 与两坐标轴交点的个数为()A3 个B2 个C1 个D无11如图 1 所示,函数 y=ax2bxc 的图象过(1,0),则bacacbcba的值是()A3B3C21D2112已知二次函数 y=ax2bxc 的图象如图 2 所示,则下列关系正确的是()A0ab21 B0ab22 C1ab22 Dab2=113已知二次函数 y=x2mxm2求证:无论 m 取何实数,抛物线总与 x
16、 轴有两个交点14已知二次函数 y=x22kxk2k2(1)当实数 k 为何值时,图象经过原点?(2)当实数 k 在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内?函数解析式的求法函数解析式的求法例一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式例一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c,然后解三元方程组求解;,然后解三元方程组求解;1已知二次函数的图象经过 A(0,3)、B(1,3)、C(1,1)三点,求该二次函数的解析式。2已知抛物线过 A(1,0)和 B(4,0)两点,交 y 轴于 C 点且 BC5,求该二次函数的解析式。例例 2 2、已知抛
17、物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式y=a(xy=a(xh)h)2 2+k+k 求解求解。3已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,6),且经过点(2,8),求该二次函数的解析式。4已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,3),且经过点 P(2,0)点,求二次函数的解析式。例三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式 y=a(xy=a(xx x1 1)(x)(xx x2 2)。5二次函数的图象经过 A(1,0
18、),B(3,0),函数有最小值8,求该二次函数的解析式。6抛物线 y=2x2+bx+c 与 x 轴交于(2,0)、(3,0),则该二次函数的解析式 。7一次函数 y=2x3,与二次函数 y=ax2bxc 的图象交于 A(m,5)和 B(3,n)两点,且当 x=3 时,抛物线取得最值为 9(1)求二次函数的表达式;(2)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随 x 的增大而增大(3)当 x 为何值时,一次函数值大于二次函数值?训练题1若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为(1,3),且与 y=2x2的开口大小相同,方向相反,则该二次函数的解析式 。2抛物线 y=2x2+bx+
19、c 与 x 轴交于(1,0)、(3,0),则 b ,c .3若抛物线与 x 轴交于(2,0)、(3,0),与 y 轴交于(0,4),则该二次函数的解析式 。4根据下列条件求关于 x 的二次函数的解析式(1)当 x=3 时,y最小值=1,且图象过(0,7)(2)图象过点(0,2)(1,2)且对称轴为直线 x=32(3)图象经过(0,1)(1,0)(3,0)(4)当 x=1 时,y=0;x=0 时,y=2,x=2 时,y=3(5)抛物线顶点坐标为(1,2)且通过点(1,10)5当二次函数图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1=3,x2=1 时,且与 y 轴交点为(0,2),求这个二次函数的解析式6
20、已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于(2,0)、(4,0),顶点到 x 轴的距离为 3,求函数的解析式。7知二次函数图象顶点坐标(3,)且图象过点(2,),求二次函数解析式及图象与 y 轴的交点坐标。121128已知二次函数图象与 x 轴交点(2,0),(1,0)与 y 轴交点是(0,1)求解析式及顶点坐标。9若二次函数 y=ax2+bx+c 经过(1,0)且图象关于直线 x=对称,那么图象还必定经过哪一点?1210y=x2+2(k1)x+2kk2,它的图象经过原点,求解析式 与 x 轴交点 O、A 及顶点 C 组成的OAC 面积。11抛物线 y=(k22)x2+m4kx
21、的对称轴是直线 x=2,且它的最低点在直线 y=x+2 上,求函数解析式。12 一元二次函数的应用一元二次函数的应用例 1、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施经调查发现,如果每件衬衫每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2件(1)若商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元?(2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?例 2、.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱 40 元,生产厂家要求每箱售价在 4070 元之间市场调查发现:若每箱以 50 元销售,平均每天可销售 90
22、箱,价格每降低 1 元,平均每天多销售 3 箱,价格每升高 1 元,平均每天少销售 3 箱(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式(注明范围)(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润售价进价)(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求当x40,70 时W的值在坐标系中画出函数图象的草图(4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润为多少?例 3、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD,其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.(1).设矩形的一边 AB=xcm,那么
23、AD 边的长度如何表示?(2).设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少?例 4、某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间关系用图中的抛物线表示(1)写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式 P=f(t),写出图中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g(t);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/102kg,时间单位:天)训练题:1、y=3x2-x2,当 x 时,y 随 x 的增大而减小,当 x 时,
24、y 有最大值2、周长为 60cm 的矩形,设其一边为 xcm,则当 x=_时,矩形面积最大,为_.3、若抛物线的对称轴是 x=3,函数有最小值为 8,且过(0,26),则其解析式为_.4、已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE(如图),其中 AF=2,BF=1试在AB 上求一点 P,使矩形 PNDM 有最大面积5、启明公司生产某种产品,每件产品成本是 3 元,售价是 4 元,年销售量为 10 万件。为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是 x(万元)时,产品的年销售量将是原销售量的 y 倍,且。如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费
25、,试写出年利润 S(万元)与107107102xxy广告费 x(万元)的函数关系式,并计算广告是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是多少万元?6、如图,有长为 24 米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体。(墙体的最大可用长度 a=10 米)设 AB=,长方形 ABCD 的面积为xm2s m(1)求 S 与 x 的函数关系式;(2)如果要围成面积为 45 平方米更大的花圃,AB 的长是多少米?(3)能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由。7、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品,已知
26、每件产品的进价 40 元,每年销售该产品的总开支(不含进价)总计 120 万元,在销售过程中发现,年销售量 y(万件)与销售单价 x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系。(1)求 y 关于 x 的函数关系式;(2)试写出该公司销售该种产品的年获利 z(万元)关于销售单价 x(元)的函数关系式(年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支),当销售单价 x 为何值时,年获利最大?并求这个最大值;(3)若公司希望这种产品一年的销售获利不低于 40 万元,借助(2)中函数的图像,请你帮助该公司确定销售单价的范围,在此情况下,要使产品销售量最大你认为销售单价应定为多少元?DCBFEA8、如图所示,在
27、直角梯形 ABCD 中,A=D=90,截取 AE=BF=DG=x.已知 AB=6,CD=3,AD=4.求(1)四边形 CGEF的面积 S 关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围.(2)当 x 取何值时,四边形 CGEF 的面积 S 取得最小值 9、已知:如图,在 RtABC中,C=90,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DEAC,DFBC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.(1)用含y的代数式表示AE.(2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围.(3)设四边形DECF的面积为S,求出S的最大值.基础练习一一、填空题:1.二次函数 y=x-2x+1 的
28、对称轴方程是 x=_.2、对于二次函数,当 x=_ 时,y 有最小值,其值是 _。3、把抛物线 向左平移 3 个单位,再向下平移 4 个单位,所得到的抛物线的解析式为_。4、抛物线 的开口向 _,对称轴是 x=_ ,当 x_ 时,y 随 x 的增大而减小。5、抛物线 的对称轴是直线,则 a=_。6、抛物线 的顶点是(),则 a=_,c=_ 。7、已知二次函数 的最小值为 1,那么 m 的值为_ .xxBFACDEx G8、已知二次函数,当 x5 时,y 随 x 增大而增大;当 x0 b-4ac0 B.a0 b-4ac0 C.a0 b-4ac0 D.a0 b-4ac024、已知抛物线 与 x 轴
29、的两个交点在原点两侧,则实数 m 的取值范围是()A.m1 B.m1 D.1m0,c0,那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象大致是()27、若一次函数 yaxb 的图象经过二、三、四象限,则二次函数 yax2bx 的图象只可能是()B、C、D、OA、xyOxyOxyOxy28已知抛物线的对称轴为 x=1,与 x 轴、y 轴的三个交点构成的三角形的面积为 6,且与 y 轴的交点到原点的距离为 3,则此二次函数的解析式为()A.或 B.或322xxy322xxy322xxy322xxy C.或 D.或322xxy322xxy332xxy322xxy三、解答题:1、(1)抛物线怎样平移得到的?
30、(2)若抛物线 向左平移 3 个单位,再向下平移 5 个单位,求所得抛物线的解析式。2、已知二次函数 的最小值是,a:b:c=2:3:4,(1)求 a、b、c 的值;(2)当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大?当 x 取何值时,y 随 x 的增大而减小?3、解答下列各题:(1)已知抛物线 中,最高点坐标是(),求 a、b、c。(2)已知抛物线 的对称轴是 x=2,求 b 的值。(3)已知二次函数 的最大值是 4,求 c 的值。4、已知抛物线 的对称轴为 x=1,最高点在直线 y=2x+4 上,求 a 和 b的值,并求出抛物线与 直线 y=2x+4 的交点坐标。5、已知抛物线 ()当 m
31、取什么值时,抛物线和 x 轴有两个公共点?()当 m 取什么值时,抛物线和 x 轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。()当 m 取什么值时,抛物线和 x轴没有公共点?()当 m 取什么值时,抛物线与直线 y=x2m 只有一个公共点?6、在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上,抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A 和点 B,且 12a+5c=0。()求抛物线的解析式;()如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 移动,同时点 Q 由点 B 开始沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C
32、移动,移动开始后第 t 秒时,设 S=PQ2(cm2)。试写出 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围及 PQ 的最小值。7、已知二次函数 y=x2mx+mm2 的图象顶点为 C,图象与 x 轴有两个交点 A、B,其坐标为 A(X0,0),V(4,0),SABC=8 ()求二次函数的解析式;()在此二次函数的图象上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标;并求出以这些点为顶点的多边形的外接圆的半径。8、抛物线 交 x 轴正半轴于点 A,交 x 轴负半轴于点 B,交 y 轴负半轴于点 C,O 为坐标原点,这条抛物线的对称轴为直线 x=。(1)求 A、B 两点坐标;(2)求证:ACOCBO;
33、(3)在抛物线上是否存在点 P(点 C 除外),使 APB 的面积等于 ABC 的面积?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。9、已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点,P 是抛物线的顶点。(1)当 PAB 的面积为 1/8 时,求抛物线的解析式;(2)是否存在实数 m,使 PAB 是等 边三角形,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由。10、抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点。(1)求 A、B 的坐标;(2)设 P()为抛物线上的一点,且 求 的取值范围;(3)解不等式 11已知二次函数的图象经过点 A(3,6),并与 x 轴交于点 B(1,0)和点 C,顶点为212yxbx
34、c P。(1)求二次函数的解析式;(2)设点 D 为线段 OC 上一点,且DPC=BAC,求点 D 的坐标;12已知抛物线的图象的一部分如图所示,抛物线的顶点在第一象限,且经过点 A(0,-7)2(1)8ya xxb和点 B.(1)求 a 的取值范围;(2)若 OA=2OB,求抛物线的解析式13某商人如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售时,每天可销售 100 件,现在采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件提高 1 元,其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚利润为最大,并求出最大利润?14.已知二次函数的图象经过点 A(2,4),顶点
35、的横坐标为,它的图象与 x 轴交于两点cbxaxy221B(x1,0),C(x2,0),与 y 轴交于点 D,且,试问:y 轴上是否存在点 P,使得POB 与132221 xxDOC 相似(O 为坐标原点)?若存在,请求出过 P,B 两点直线的解析式,若不存在,请说明理由.15.如果抛物线与 x 轴都交于 A,B 两点,且 A 点在 x 轴的正半轴上,B 点在 x 同的1)1(22mxmxy负半轴上,OA 的长是 a,OB 的长是 b.(1)求 m 的取值范围;(2)若 ab=31,求 m 的值,并写出此时抛物线的解析式;(3)设(2)中的抛物线与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点是 M,问:抛
36、物线上是否存在点P,使PAB 的面积等于BCM 面积的 8 倍?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.二次函数测试题二次函数测试题一、选择题:(每题 3 分,共 24 分)1与抛物线的形状大小开口方向相同,只有位置不同的抛物线是()53212xxyABCD2523412xxy87212xxy106212xxy532xxy2二次函数的图象上有两点(3,8)和(5,8),则此拋物线的对称轴是()cbxxy2A4 B.3 C.5 D.1。xxxx3抛物线的图象过原点,则为()122mmxxymA0 B1 C1 D14把二次函数配方成顶点式为()122xxyAB CD2)1(xy2)1(2
37、 xy1)1(2 xy2)1(2 xy5直角坐标平面上将二次函数 y-2(x1)22 的图象向左平移个单位,再向上平移个单位,则其顶点为()A.(0,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,1)6函数的图象与轴有交点,则的取值范围是()362xkxyxkOxy-11ABC D3k03kk且3k03kk且7二次函数的图象如图所示,则,这四个式子中,值为cbxaxy2abcacb42ba 2cba正数的有()A4 个B3 个C2 个D1 个8已知反比例函数的图象如右图所示,则二次函数的图象大致为()xky 222kxkxy二、填空题:(每空 2 分,共 50 分)9已知抛物线,请回答以下问题:3
38、42xxy它的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 ;图象与轴的交点为 ,与轴的交点为 。xy10抛物线过第二、三、四象限,则 0,0,0)0(2acbxaxyabc11抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到2)1(62xy262xy12顶点为(2,5)且过点(1,14)的抛物线的解析式为 13对称轴是轴且过点 A(1,3)、点 B(2,6)的抛物线的解析式为 y14抛物线在轴上截得的线段长度是 1422xxyx15抛物线的顶点在原点,则 4222mxmxym16抛物线,若其顶点在轴上,则 mxxy22xm17.已知二次函数,则当 时,其最大值为 0232)1(2mmxxmym18二次函数的值永
39、远为负值的条件是 0,0cbxaxy2aacb4219如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于 A(1,0)、点 B(3,0)和点C(0,3),一次函数的图象与抛物线交于 B、C 两点。二次函数的解析式为 当自变量 时,两函数的函数值都随增大而增大xx当自变量 时,一次函数值大于二次函数值当自变量 时,两函数的函数值的积小于 0 x20已知抛物线与轴的交点都在原点的右侧,则点 M()在第 象限 cxaxy22xca,21已知抛物线与轴交于点 A,与轴的正半轴交于 B、C 两点,且 BC=2,S SABC=3,则=cbxxy2yxb,=c三、解答题:(每题 13 分,共 26
40、分)22某商人如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现采用提高售出价,减少进货量1133xyOABCyOxyOxyOxyOxyOxA的办法增加利润,已知这种商品每涨价 1 元其销售量就要减少 10 件,问他将售出价定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润23如图,在一块三角形区域 ABC 中,C=90,边 AC=8,BC=6,现要在ABC 内建造一个矩形水池 DEFG,如图的设计方案是使 DE 在 AB 上。求ABC 中 AB 边上的高 h;设 DG=x,当 x 取何值时,水池 DEFG 的面积最大?实际施工时,发现在 AB 上距 B 点 1.85 的 M 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。ABCDEFG
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