立体几何中的向量法--夹角问题.ppt

3.2 立体几何中的向量法(3)第三章 空间向量与立体几何空空间向量与空向量与空间角角1.本节课主要学习利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.以学生探究为主，探讨如何利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.讲解二面角的平面角与两个半平面的法向量之间的关系，突破难点。通过例1和例2巩固掌握二面角的求法，证明线面平行，线面垂直的方法。例3是证明线面平行及求异面直线所成的角，本题可以作为一道备用题，如果时间不许可，可以直接点击链接“课堂检测”，进入课堂检测部分。运用转化思想，将立体几何中的线线角、线面角、二面角转化为空间向量所成的角，再用数量积的定义求相应的角。2.http:/ OA AB B.6.7.异面直异面直线所成的角所成的角lmlm若两直若两直线 所成的角所成的角为 ,则8.线面角面角ll9.DClBA 二面角二面角10.注意法向量的方向：同注意法向量的方向：同进同出，同出，二面角等于法向量二面角等于法向量夹角的角的补角；角；一一进一出，二面角等于法向量一出，二面角等于法向量夹角角l11.二面角的范二面角的范围：12.13.14.题型一求异面直型一求异面直线的的夹角角 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分分别是是A1D1、A1C1的中点，求异面直的中点，求异面直线AE与与CF所成角的余弦所成角的余弦值【例例1】解解不妨不妨设正方体棱正方体棱长为2，分，分别取取DA、DC、DD1所在直所在直线为x轴、y轴、z轴建立如建立如图所示空所示空间直角坐直角坐标系，系，则15.规律方法律方法 在解决立体几何中两异面直在解决立体几何中两异面直线所成角所成角问题时，若能，若能构建空构建空间直角坐直角坐标系，系，则建立空建立空间直角坐直角坐标系，利用向量法系，利用向量法求解但求解但应用向量法用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区所成角的区别16.例例2、在直三棱柱、在直三棱柱ABCA1B1C1中中,AC=3,BC=AA1=4,AB=5,D是是AB的中点。的中点。(1)求求证：AC1/面面CB1D(2)求求AC1与与B1C所成角的余弦所成角的余弦值。c1ABCA1B1D17.四棱四棱锥PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA与平面与平面ABCD所成的角所成的角为60，在四，在四边形形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐建立适当的坐标系，并写出点系，并写出点B、P的坐的坐标；(2)求异面直求异面直线PA与与BC所成的角的余弦所成的角的余弦值【变式式1】解解(1)如如图，建立空，建立空间直角坐直角坐标系系ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)由由PD平面平面ABCD，得，得18.19.题型二求型二求线面角面角20.【变式式2】21.(12分分)如如图所示，正三棱柱所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱的所有棱长都都为2，D为CC1的中的中点，求二面角点，求二面角AA1DB的余弦的余弦值题型三二面角的求法型三二面角的求法【例例3】22.规范解答范解答如如图所示，取所示，取BC中点中点O，连结AO.因因为ABC是正三角形，所以是正三角形，所以AOBC，因，因为在正三棱柱在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所，所以以AO平面平面BCC1B1.23.24.【题后反思后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是是该方法的一大方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，的平面角，只需求出平面的法向量，转化化为两直两直线(或两向量或两向量)所成的角，通所成的角，通过向量的数量向量的数量积运算即可运算即可获解，体解，体现了空了空间向量向量的巨大的巨大优越性越性25.(1)证明：直明：直线MN平面平面OCD；(2)求异面直求异面直线AB与与MD所成角的大小所成角的大小思路分析思路分析 建系建系求相关点坐求相关点坐标求相关向量坐求相关向量坐标向量运向量运算算结论解解作作APCD于点于点P，分，分别以以AB，AP，AO所在的直所在的直线为x，y，z轴建立空建立空间直角坐直角坐标系系Axyz，如，如图所示，所示，【示示例例】26.27.28.例例3.3.长方体中，方体中，AB=2AB=2，BC=BBBC=BB1 1=1=1，E E为中点中点（1 1）求）求证：面：面EBDEBD面面EBCEBC；（2 2）求）求DCDC与面与面EBCEBC所成的角；所成的角；（3 3）求二面角）求二面角C-DE-BC-DE-B。A1C1B1BCD1EAD29.例例6.6.正方体中，正方体中，P P为A A1 1B B1 1中点中点（1 1）求二面角）求二面角A A1 1-AC-AC1 1-B-B1 1（2 2）求二面角）求二面角P-ACP-AC1 1-B-B1 1（3 3）求面）求面PACPAC1 1与面与面ABCDABCD所成的所成的锐二面角。二面角。A1C1B1BCD1ADP30.例例1 1：如如图，甲站在水，甲站在水库底面上的点底面上的点A A处，乙站在水，乙站在水坝斜面上的点斜面上的点B B处。从从A A，B B到直到直线 （库底与水底与水坝的交的交线）的距离）的距离ACAC和和BDBD分分别为 和和 ,CD,CD的的长为 ,AB,AB的的长为 。求。求库底与水底与水坝所成二面角的余弦所成二面角的余弦值。解：解：如如图，化化为向量向量问题根据向量的加法法根据向量的加法法则进行向量运算行向量运算ABCD例例1图典例展示典例展示31.所以所以回到回到图形形问题库底与水底与水坝所成二面角的余弦所成二面角的余弦值为于是，得于是，得设向量向量 与与 的的夹角角为 ，就是就是库底与水底与水坝所成的二面角。所成的二面角。因此因此32.例例2 2 如如图，在四棱，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，是正方形，侧棱棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DC,EPD=DC,E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.(1)(1)求求证：PA/PA/平面平面EDB.EDB.(2)(2)求求证：PBPB平面平面EFD.EFD.A AB BC CD DP PE EF F(3)(3)求二面角求二面角C-PB-DC-PB-D的大小的大小.33.ABCDP PE EF FxyzG解：解：如如图所示建立空所示建立空间直角坐直角坐标系，点系，点D D为坐坐标原点，原点，设DC=1.DC=1.(1)(1)证明：明：连接接AC,ACAC,AC交交BDBD于点于点G,G,连接接EG.EG.34.35.36.(3)(3)37.38.39.(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小 例例3.3.分析：分析：建系建系求相关点坐求相关点坐标求相关向量坐求相关向量坐标向量运向量运算算结论解解作作APAPCDCD于点于点P P，分，分别以以ABAB，APAP，AOAO所在的直所在的直线为x x，y y，z z轴建立空建立空间直角坐直角坐标系系A Axyzxyz，如，如图所示，所示，40.41.42.43.A AA A44.D D 45.面面距离面面距离回回归图形形点面距离点面距离向量的模向量的模二面角二面角平面角平面角向量的向量的夹角角回回归图形形二、利用向量求空二、利用向量求空间角角一、用空一、用空间向量解决立体几何向量解决立体几何问题的的“三步曲三步曲”46.47.课后后练习课后后习题48.49.