空间向量与立体几何测试题及答案.doc

高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题

一、选择题
1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（　　）
Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形
答案：Ａ

2．在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ

3．若为任意向量，，下列等式不一定成立的是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｄ

4．若三点共线，为空间任意一点，且，则的值为（　　）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ

5．设，且，则等于（　　）
Ａ． Ｂ．9 Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ

6．已知非零向量不共线，如果，则四点（　　）
Ａ．一定共圆
Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心
Ｃ．一定共面
Ｄ．肯定不共面
答案：Ｃ

7．如图1，空间四边形的四条边及对
角线长都是，点分别是
的中点，则等于（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ

8．若，，且，则的值分别为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ

9．若向量与的夹角的余弦值为，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．2或
答案：Ｃ

10．已知为平行四边形，且，则顶点的坐标为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ

11．在正方体中，为的交点，则与所成角的（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ

12．给出下列命题：
①已知，则；
②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；
③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若共线，则所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（　　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
答案：Ｃ

二、填空题
13．已知，向量与轴垂直，且满足，则　　．
答案：

14．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　　　．
答案：

15．已知线段面，，，面于点，，且在平面的同侧，若，则的长为　　　　．
答案：

16．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为　　　　　．
答案：

三、解答题
17．设，试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．
答案：解：假设成立．
，
．
解得
所以存在使得．
理由即为解答过程．

18．如图2，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，求与侧面所成的角．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由于是面的法向量，

．
故与侧面所成的角为．

19．如图3，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，求点到平面的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则．
从而．
由，得，
则．

自作面于，并延长交面于，设，
则．
又，．
由得．
又．

20．已知正方体的棱长为2，分别是上的动点，且，确定的位置，使．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，
得，．
那么，
从而，，
由，
即．
故分别为的中点时，．

21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥中，，面，，求面与面所成二面角的正切值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
延长交轴于点，易得，
作于点，连结，

则即为面与面所成二面角的平面角．
又由于且，得，
那么，，
从而，
因此．
故面与面所成二面角的正切值为．

22．平行六面体的底面是菱形，且，试问：当的值为多少时，面？请予以证明．

解：欲使面，只须，且．
欲证，只须证，
即，
也就是，
即．
由于，
显然，当时，上式成立；
同理可得，当时，．
因此，当时，面．

一.选择题：(10小题共40分)
1.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一
定共面的是 ( )
A. B.
C. D.
2.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若 ( )
A. B. C. D.
3.若向量、 ( )
A. B. C. D.以上三种情况都可能
4.以下四个命题中,正确的是 ( )
A.若,则P、Ａ、Ｂ三点共线
B.设向量是空间一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底
C.
D.△ABC是直角三角形的充要条件是
5.对空间任意两个向量的充要条件是 ( )
A B. C. D.
6.已知向量的夹角为 ( )
A.0° B.45° C.90° D.180°
7.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，
则下列向量中与相等的是 ( )
A. B. C. D.-
8.已知 ( )
A. B.5，2 C. D.-5，-2
9.已知 ( )
A.-15 B.-5 C.-3 D.-1
10.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN
所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
二.填空题: (4小题共16分)
11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= .
12.已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若
的坐标为 .
13.已知是空间二向量，若的夹角为 .
14.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若为 .
三.解答题:(10+8+12+14=44分)

15.如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小.

16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.

17.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，如图.

(1)求二面角B—SC—D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小.

18.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；
(1)求
(2)求
(3)
(4)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.

高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案
DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.600 14.3
15.(1)略 (2)450 16.450 17.(1) (2)
18.(1) (2) (3) 略 (4)
18.如图，建立空间直角坐标系O—xyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
图
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.