高考数学四海八荒易错集专题17排列组合二项式定理理.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 17 排列、组合、二项式定理1某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4 个广告，其中2 个不同的商业广告和2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且 2 个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A8 种 B16 种 C18 种 D24 种答案A 解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有 A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A22种根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有 A12A12A228(种)故选 A.2为配合足球国家战略，教育部特派6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为()A60 B120 C240 D360 答案D 分配方案3设(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则代数式a12a23a34a45a5 6a67a7的值为()A 14 B 7 C7 D14 答案A 解析对已知等式的两边求导，得14(1 2x)6a12a2x3a3x24a4x35a5x4 6a6x57a7x6，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令x1，有a1 2a23a34a45a56a6 7a7 14.故选 A.4某天连续有7 节课其中语文、英语、物理、化学、生物5 科各 1 节，数学 2 节在排课时，要求生物课不排第1 节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为()A408 B480 C552 D816 答案A 5用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60 D72 答案D 解析由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4 个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13A4472(个)选 D.6如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B 18 C12 D9 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案B 解析从E到F的最短路径有6 条，从F到G的最短路径有3 条，所以从E到G的最短路径为6318(条)，故选 B.7(2xx)5的展开式中，x3的系数是 _(用数字填写答案)答案10 解析(2xx)5展开式的通项公式5552155C(2)()C 2,kkkkkkkTxxxk0,1,2,3,4,5，令 5k23，解得k4，得4545 43255C 210,Txxx3的系数是10.4在(3x2x)n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_答案112 解析2n256，n8，通项88 433882C()C(2),kkkkkkxxx取k2，常数项为C28(2)2112.8(1 2x)10的展开式中系数最大的项是_答案15360 x79用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为_答案260 解析如图所示，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学将 4 个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2 种颜色，则只能是第1,4 个小方格涂一种，第2,3 个小方格涂一种，方法种数是C25A2220；如果使用3 种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4 个小方格只能和第 1 个小方格相同，方法种数是C35A3360，若第 1,2,3个小方格只用2 种颜色，则第4 个方格只能用第 3 种颜色，方法种数是C3532 60；如果使用4 种颜色，方法种数是C45A44120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是206060120260.10 (ax)(1 x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3 解析设(ax)(1 x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x 1，得 0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以 8(a1)32，解得a 3.11已知等式x4a1x3a2x2a3xa4(x1)4b1(x1)3b2(x1)2b3(x1)b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)(b1，b2，b3，b4)，则f(4,3,2,1)_.答案(0，3,4，1)易错起源1、两个计数原理例 1、(1)如图所示，用4 种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A72 种B48 种C24 种D12 种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204 C729 D920 答案(1)A(2)A 当中间数为3 时，有 236(个)；当中间数为4 时，有 34 12(个)；当中间数为5 时，有 45 20(个)；当中间数为6 时，有 56 30(个)；当中间数为7 时，有 67 42(个)；当中间数为8 时，有 78 56(个)；当中间数为9 时，有 89 72(个)故共有 26122030425672240(个)【变式探究】(1)将 1,2,3，9这九个数字填在如图所示的9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A6 种B12 种小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学C18 种D24 种(2)在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有_种(用数字作答)答案(1)A(2)10 解析(1)分为三个步骤：1 2 3 4 9 第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1 种方法所以共有10 种不同的传递方法【名师点睛】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化【锦囊妙计，战胜自我】分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学易错起源2、排列与组合例 2、(1)某次联欢会要安排3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D168(2)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求取出的卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，则不同的取法共有()A232 种B252 种C472 种D484 种答案(1)B(2)C【变式探究】(1)在某真人秀活动中，村长给6 位“萌娃”布置了一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以她要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的“萌娃”须均分成两组，一组去远处，一组去近处，则不同的搜寻方案有()A40 种B70 种C80 种D100 种(2)2名男生和5 名女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法种数为()A480 B720 C960 D1440 答案(1)A(2)C 解析(1)Grace不参与该项任务，有C15C24C2230(种)方案，Grace 参与该项任务，有C25C3310(种)方案，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学故共有 3010 40(种)不同的搜寻方案故选A.(2)把 2 名男生看成1 个元素，和5 名女生共6 个元素进行全排列，又2 名男生的顺序可调整，故共有A66A22种方法，其中男生在两端的情形共2A55A22种，故总的方法种数为A66A22 2A55A22960.故选 C.【名师点睛】求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”【锦囊妙计，战胜自我】名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同易错起源3、二项式定理例 3、(1)设223cos dnx x则二项式2x13xn的展开式中x2的系数为()A80 B90 C120 D160(2)x21x8的展开式中x7的系数为 _(用数字作答)答案(1)D(2)56 解析(1)因为223sin|3(3)6,nx所以(2x13x)6的展开式的通项466316C 2,kkkkTx小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令 64k32，得k3，所以x2的系数为C3623160.(2)x21x8的通项Tk1Ck8(x2)8k1xk(1)kCk8x163k，当 163k7 时，k3，则x7的系数为(1)3C38 56.【变式探究】(1)(3x13x)10的展开式中系数为正数的有理项有)A1 项B2 项C3 项D4 项(2)设A37C2735C4733C673，BC1736C3734C57321，则AB _.答案(1)B(2)128【名师点睛】(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；Tk 1是展开式中的第k1 项，而不是第k项；公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法【锦囊妙计，战胜自我】(ab)n C0nanC1nan1b Cknankbk Cnnbn，其中各项的系数就是组合数Ckn(k0,1，n)叫做二项式系数；展开式中共有n1 项，其中第k1 项Tk1Cknan kbk(其中 0kn，kN，nN*)称为二项展开式的通项公式小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1从 8 名女生和4 名男生中，抽取3 名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A224 B112 C56 D28 答案B 解析根据分层抽样，从8 名女生中抽取2 人，从 4 名男生中抽取1 人，所以抽取2 名女生 1 名男生的方法数为C28C14112.25 人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有()A12 种B24 种C48 种D60 种答案C 解析可先排甲、乙两人，有A222(种)排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有A4424(种)排法，由分步乘法计数原理，得一共有224 48(种)排法，故选C.3设 i 为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A 15x4B15x4C 20ix4D20ix4答案A 解析由题可知，含x4的项为 C26x4i2 15x4.故选 A.4在二项式(x21x)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B 32 C0 D1 答案C 5已知(1 x)(1 x)2(1 x)3(1 x)na0a1xa2x2anxn，且a0a1a2an126，那么(x1x)n的展开式中的常数项为()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A 15B15C20D 20 答案D 解析令x1 得a0a1a2an222 2n22n121 2n 12126?2n 1128?2n127?n 6，又Tk1Ck6(x)6k(1x)kCk6(1)kx3k，所以由 3k0 得常数项为C36 20.故选 D.6已知等比数列an的第 5 项是二项式(x1x)4展开式中的常数项，则a3a7_.答案36 7冬季供暖时，供热公司将5 名水暖工分配到3 个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有_种答案150 解析将 5 名水暖工分成2,2,1或 3,1,1三组，共有C25C23A22C3525(种)分法，将这三组水暖工分配到3个小区共有A336(种)分法，由分步乘法计数原理得分配方案共有256 150(种)8某大学的8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4 名同学(乘同一辆车的4 名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4 名同学中恰有2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_种答案24 解析分类讨论，有2 种情形孪生姐妹乘坐甲车，则有C23C12C1212(种)乘车方式；孪生姐妹不乘坐甲车，则有C13C12C1212(种)乘车方式根据分类加法计数原理得，共有24 种乘车方式9已知(1 2x)6a0a1xa2x2a6x6，则|a0|a1|a2|a6|_(用数字作答)答案729 解析|a0|a1|a2|a6|相当于(1 2x)6的展开式中各项系数绝对值的和，令x1，得|a0|a1|a2|a6|36729.10若(1 2x)2016a0a1xa2016x2016，则a12a222a201622016的值为 _小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学答案1