数列通项公式的求法.doc

数列通项公式的求法集锦
非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。
一、 累加法
形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
例1. 在数列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通项公式。
解：∵
这n-1个等式累加得：=
故 且也满足该式 ∴ ().
例2．在数列{}中，=1， (),求。
解：n=1时, =1以上n-1个等式累加得
==，故 且也满足该式 ∴ ()。
二、 累乘法
形如 (n=23、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
例3．在数列{}中，=1，，求。
解：由已知得 ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故
且=1也适用该式 ∴ ().
例4．已知数列{}满足=，，求。
解：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入
上式得n-1个等式累乘，即=
所以，又因为也满足该式，所以。
三、构造等比数列法
原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。
例5、（06福建理22）已知数列{}满足=1，= ()，求数列{}的通项公式。
解：构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列
即= 整理得：=使之满足= ∴p=1
即是首项为=2，q=2的等比数列∴= =
例6、（07全国理21）设数列{}的首项，=，n=2、3、4……
（）求{}的通项公式。
解：构造新数列，使之成为的等比数列
即= 整理得：=满足=
得 = ∴p=-1 即新数列首项为，的
等比数列 ∴= 故 =+1
例7、（07全国理22）已知数列{}中，=2，=
（）求{}的通项公式。
解：构造新数列，使之成为的等比数列
= 整理得：=+
使之满足已知条件 =+2∴解得 ∴是首项为 的等比数列，由此得
= ∴=
例8、已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。
分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含是变量，而不是常量了。故应构造新数列，其中为常数，使之为公比是的系数2的等比数列。
解：构造数列，为不为0的常数，使之成为q=2的等比数列
即= 整理得：=
满足 = 得 ∴新数列是首项为=，q=2的等比数列 ∴= ∴=
例9、（07天津文20）在数列{}中，=2，= ，求数列的通项。
解：构造新数列，使之成为q=4的等比数列，则=
整理得：=满足=，即得∴新数列的首项为，q=4的等比数列
∴ ∴
四、构造等差数列法
数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出。
例10．（07石家庄一模）数列{}满足且。求、、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由。
解：由==81 得=33；又∵==33得=13；
又∵==13，∴=5
假设存在一个实数，使此数列为等差数列
即= = = 该数为常数
∴= 即为首项，d=1的等差数列
∴=2+=n+1 ∴=
例11、数列{}满足= ()，首项为，求数列{}的通项公式。
解：= 两边同除以得=+1
∴数列是首项为=1，d=1的等差数列∴=1+
故=
例12．数列{}中，=5，且 （n=2、3、4……），试求数列{}的通项公式。
解：构造一个新数列，为常数，使之成为等差数列，即
整理得+3l，让该式满足∴取，得，d=1 ，即是首项为，公差d=1的等差数列。
故 ∴=
例13、（07天津理21）在数列{}中，=2，且 （）其中＞0，求数列{}的通项公式。
解：的底数与的系数相同，则两边除以得
即∴是首项为，公差d=1的等差数
列。 ∴ ∴。
五、 取倒数法
有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出。
例14、已知数列{}，= ， ，求=？
解：把原式变形得 两边同除以得
∴是首项为，d=的等差数列故∴。
例15、（06江西理22）已知数列{}满足，且（）求数列{}的通项公式。
解：把原式变形成 两边同除以得
即 …… ⑴构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列
即整理得： 满足⑴式使 ∴
∴数列是首项为，q= 的等比数列
∴ ∴。
例16．（06江西文22）已知各项均为正数的数列{}满足：，且 求数列{}的通项公式。
解：把原式变形为
两边同除以得 移项得：
所以新数列是首项为 q=2的等比数列。
故 解关于的方程得。
六．利用公式求通项
有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出。
例17.(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6=
n∈ 求{}的通项公式。
解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得
=0 ∵＞0 ∴
从而{}是首项为2，公差为3的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.
例18.(07陕西理22)已知各项全不为0的数列{}的前k项和为，且=(k∈)其中=1，求数列{}的通项公式。
解：当k=1时，=及=1得=2； 当k≥2时，
由==得=2∵≠0∴=2
从而=1+(m-1)2=2m-1 =2+(m-1)2=2m (m∈) 故=k (k∈).
例19.(07福建文21)数列{}的前n项和为，=1， ( n∈),求{}的通项公式。
解：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故= (n≥2),而=1不满足该式
所以=。
例20.(06全国Ⅰ理22)该数列{}的前n项和 (n=1、2、3……) 求{}的通项公式
解：由 (n=1、2、3……)…①得=
所以=2 再= （n=2、3…）…②
将①和②相减得：==
整理得 （n=2、3…）因而数列{}是首项为,q=4
的等比数列。即==，因而。
七．重新构造新方程组求通项法
有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和。
例21.（07辽宁第21题）：已知数列{}，{}满足=2，=1且（）,求数列{}，{}的通项公式。
解析：两式相加得 则{}是首项为，d=2的等差数列，故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)
而两式相减得== 则{}是首项为=1，q=的等比数列故=…………(2)
联立(1)、(2)得 由此得，。
[分析]该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出{}、{}的通项公式。若改变一下数据，又该怎样解决呢？下面给出一种通法。
例22.在数列{}、{}中=2，=1，且（n∈）求数列{}和{}的通项公式。
解析：显然再把与做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列{}其中为的常数。则==+=令得=2或=3 则{}为首项，q=+2的等比数列。
即=2时，{}是首项为4，q=4的等比数列，故=4×=；
=3时，{}是首项为5，q=5的等比数列，故=5×=
联立二式解得，。
注：该法也可适用于例21，下面给出例21的该种解法
解：构造新数列{}，则
=++=
令得=1或=即=1时，新数列{}中，=
∴（） 新数列{}是首项为，d=2的等差数列 ∴==………(1)
当=时，新数列{}是首项为=1，q=的等比数列
∴=………(2)
联立(1)、(2) 得 ，。
例23.在数列{}、{}中，，且（n∈），求{}、{}的通项公式。
解：构造新数列{}，则
=+=，令得 =或 =5 {}为首项，q=+5的等比数列
即=-3时，{}是首项为=，q=5+ =2的等比数列，故==；
当 =5时，{}是首项为=6，q=+5=10的等比数列，故=6×
联立二式得，。