数列例题含答案.doc

1设等差数列an的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn的前n项和为Tn且（为常数）令cn=b2n（nN*）求数列cn的前n项和Rn【解答】解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1d+1=0再由S4=4S2，得，即d=2a1联立、得a1=1，d=2所以an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）把an=2n1代入，得，则所以b1=T1=1，当n2时，=所以，Rn=c1+c2+cn=得：=所以；所以数列cn的前n项和2等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+n，求b1+b2+b3+b10的值【解答】解：（）设公差为d，则，解得，所以an=3+（n1）=n+2；（）bn=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=（2+1）+（22+2）+（210+10）=（2+22+210）+（1+2+10）=+=21013已知数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a1=3，a3=9（）求数列an的通项公式；（）证明+1【解答】（I）解：设等差数列log2（an1）的公差为d由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1所以log2（an1）=1+（n1）1=n，即an=2n+1（II）证明：因为=，所以+=+=11，即得证4已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（nN*）在函数y=x2+1的图象上（）求数列an的通项公式；（）若列数bn满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bnbn+2bn+12【解答】解：解法一：（）由已知得an+1=an+1、即an+1an=1，又a1=1，所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列故an=1+（n1）1=n（）由（）知：an=n从而bn+1bn=2nbn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=2n1+2n2+2+1=bnbn+2bn+12=（2n1）（2n+21）（2n+11）2=（22n+22n2n+2+1）（22n+222n+1+1）=2n0bnbn+2bn+12解法二：（）同解法一（）b2=1bnbn+2bn+12=（bn+12n）（bn+1+2n+1）bn+12=2n+1bn+12nbn+12n2n+1=2n（bn+12n+1）=2n（bn+2n2n+1）=2n（bn2n）=2n（b12）=2n0bnbn+2bn+125已知等差数列an满足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列an的公差为da4a3=2，所以d=2a1+a2=10，所以2a1+d=10a1=4，an=4+2（n1）=2n+2（n=1，2，）（II）设等比数列bn的公比为q，b2=a3=8，b3=a7=16，q=2，b1=4=128，而128=2n+2n=63b6与数列an中的第63项相等6设等差数列an的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9（1）求数列an的通项公式及前n项和公式；（2）设数列bn的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m3，mN）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d由已知得即解得故an=2n1，Sn=n2（2）由（1）知要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm，即，（8分）移项得：=，整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列7设an是等差数列，bn=（）an已知b1+b2+b3=，b1b2b3=求等差数列的通项an【解答】解：设等差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）db1b3=b22由b1b2b3=，得b23=，解得b2=代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2a1=1，d=2或a1=3，d=2所以，当a1=1，d=2时an=a1+（n1）d=2n3当a1=3，d=2时an=a1+（n1）d=52n8已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且Sn=1（1）求数列an，bn的通项公式；（2）记cn=anbn，求证cn+1cn【解答】解：（1）a3，a5是方程x214x+45=0的两根，且数列an的公差d0，a3=5，a5=9，公差an=a5+（n5）d=2n1又当n=1时，有b1=S1=1当数列bn是等比数列，（2）由（）知，cn+1cn9已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=35，a5和a7的等差中项为13（）求an及Sn；（）令（nN），求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（） 设等差数列an的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，（2分）解得a1=3，d=2，（4分）所以an=3+2（n1）=2n+1；Sn=3n+2=n2+2n（6分）（） 由（）知an=2n+1，所以bn=（8分）=，（10分）所以Tn=（12分）10已知等差数列an是递增数列，且满足a4a7=15，a3+a8=8（）求数列an的通项公式；（）令bn=（n2），b1=，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）根据题意：a3+a8=8=a4+a7，a4a7=15，知：a4，a7是方程x28x+15=0的两根，且a4a7解得a4=3，a7=5，设数列an的公差为d由故等差数列an的通项公式为：（2）=又=11设f（x）=x3，等差数列an中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=，令bn=anSn，数列的前n项和为Tn（）求an的通项公式和Sn；（）求证：；（）是否存在正整数m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由【解答】解：（）设数列an的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1，d=3an=3n2f（x）=x3Sn=an+1=3n+1（）bn=anSn=（3n2）（3n+1）（）由（2）知，T1，Tm，Tn成等比数列即当m=1时，7=，n=1，不合题意；当m=2时，=，n=16，符合题意；当m=3时，=，n无正整数解；当m=4时，=，n无正整数解；当m=5时，=，n无正整数解；当m=6时，=，n无正整数解；当m7时，m26m1=（m3）2100，则，而，所以，此时不存在正整数m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列综上，存在正整数m=2，n=16，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比数列12已知等差数列an的前n项和为Sn=pn22n+q（p，qR），nN+（）求的q值；（）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn，求数列bn的前n和Tn【解答】解：（）当n=1时，a1=S1=p2+q当n2时，an=SnSn1=pn22n+qp（n1）2+2（n1）q=2pnp2an是等差数列，a1符合n2时，an的形式，p2+q=2pp2，q=0（），由题意得a3=18又a3=6pp2，6pp2=18，解得p=4an=8n6由an=2log2bn，得bn=24n3，即bn是首项为2，公比为16的等比数列数列bn的前n项和13已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a2+a4=14，S7=70（）求数列an的通项公式；（）设bn=，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值【解答】解：（I）设公差为d，则有 （2分）解得 以an=3n2 （4分）（II） （6分）所以=1 （10分）当且仅当，即n=4时取等号，故数列bn的最小项是第4项，该项的值为23 （12分）14己知各项均为正数的数列an满足an+12an+1an2an2=0（nN*），且a3+2是a2，a4的等差中项（1）求数列an的通项公式an；（2）若bn=anan，Sn=b1+b2+bn，求Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值【解答】解：（）an+12an+1an2an2=0，（an+1+an）（an+12an）=0，数列an的各项均为正数，an+1+an0，an+12an=0，即an+1=2an，所以数列an是以2为公比的等比数列a3+2是a2，a4的等差中项，a2+a4=2a3+4，2a1+8a1=8a1+4，a1=2，数列an的通项公式an=2n（）由（）及bn=得，bn=n2n，Sn=b1+b2+bn，Sn=2222323424n2n2Sn=22223324425（n1）2nn2n+1得，Sn=2+22+23+24+25+2nn2n+1=，要使Sn+n2n+150成立，只需2n+1250成立，即2n+152，使Sn+n2n+150成立的正整数n的最小值为515设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列bn满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设，求数列cn的前n项和Tn【解答】解：（）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn1+1（n2），两式相减得an+1an=2an，an+1=3an（n2）又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1故an是首项为1，公比为3的等比数列所以an=3n1由点P（bn，bn+1）在直线xy+2=0上，所以bn+1bn=2则数列bn是首项为1，公差为2的等差数列则bn=1+（n1）2=2n1（）因为，所以则，两式相减得：所以=