偏微分方程演讲稿.ppt

偏微分方程偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E)演讲人：演讲人：Marky深圳大学材料学院2目目 录录1 偏微分方程的基本概念2 有限差分方法3 常系数扩散方程及初边值问题4 复金兹堡-朗道方程的简单介绍1 偏微分方程的基本概念深圳大学材料学院41.1 偏微分方程定义偏微分方程定义 定义：把含有未知函数把含有未知函数(多元函数多元函数)及其偏导数的函数方程，称及其偏导数的函数方程，称为为偏微分方程。例如：（一维对流方程）（一维常系数扩散方程）（二维常系数扩散方程）深圳大学材料学院5（Navier-Stokes方程组）Navier-Stokes方程组应用实例链接：那是在海湾战争时期，某大国决策者要介入战争，但又担心一旦该地区的数百口油井被人点燃，是否会引起一场巨大的灾难，使全球气候剧烈变化，造成生态系统和经济系统的巨大损失，科学家们设计了一个和Navier-Stokes方程组有关的计算模型，用计算机进行了一系列的模拟实验，得出的结论认为灾难是局部性的，不会对全球产生严重后果，这促使决策者下决心介入战争，到后来油井果然被点燃，事实也证明了的确没有造成全球性的灾难。深圳大学材料学院61.2 偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法 1.2.1 偏微分方程的解 偏微分方程的解：如果给定一个函数，将它及它对自变量的各阶偏导数代入原偏微分方程，能使方程成为恒等式，则称函数是偏微分方程的解。我们知道，一个常微分方程如果有解，就必有无穷多个解，其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解（比如dy/dx=cosx，其通解为y=sinx+C）。于是自然会想到偏微分方程的通解也会含有任意元素。然而，令人感到十分遗憾的是，在偏微分方程中，除了少数几个特别简单的例子以外，求通解是很困难的。而且即使求得了通解，要想利用所给的伴随条件将其表达式中的任意元素确定出来，也是一件不容易的事情，甚至是不可能的。深圳大学材料学院71.2.2 求解偏微分方程的主要方法 有限差分方法（Finite difference method）：有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。有限元方法（Finite element method）：有限元方法是一种高效能、常用的数值计算方法。其基本原理是将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。2 有限差分方法深圳大学材料学院9 2.1 2.1 网格剖分网格剖分 用有限差分方法求解偏微分方程问题必须把连续问题进行离散化。为此首先要对求解区域进行网格剖分，由于求解的问题不相同，因此求解的区域也不尽相同。下面将做简单介绍：例如：某偏微分方程的初值问题，求解区域是 D=(x,t)|-x0)进行讨论，初值条件设置为u(x,0)=g(x),xR假定偏微分方程初值问题的解u(x,t)是充分光滑的。由Taylor级数展开有（对流方程）（扩散方程）(1)(2)(3)深圳大学材料学院12 利用（1）式和（2）有 如果u(x,t)是满足对流方程的光滑解，则 由此可以看出，对流方程在(xj,tn)处可以近似地用下面的方程来代替 上式称作逼近对流方程的有限差分方程。上式可改写成便于计算的形式 j=0,1,2,n=0,1,2,其中=/h,称为网格比。深圳大学材料学院13 前面我们构造了对流方程的有限差分格式，用同样的方法可以构造逼近扩散方程的差分格式。利用（1）式和（3）式有 如果u(x,t)是扩散方程的光滑解，即u(x,t)满足的光滑解，那么易可得逼近扩散方程的有限差分方程如下 上式改写成便于计算的形式 j=0,1,2,n=0,1,2,其中=/h2,亦称网格比。深圳大学材料学院14 用Taylor展开来建立差分格式，实际上也等价于用差商来近似微商得到的差分格式。对于前面构造的差分格式，它们是否都能在实际中应用呢？这是必须考虑的问题，因此我们仍需要分析有限差分格式的相容性、收敛性、以及稳定性。相容性问题：从偏微分方程建立差分方程时，总是要求当0，h0时差分方程能与微分方程充分“接近”。收敛性问题：当时间步长和空间步长h无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解。稳定性问题：由于初始值的不精确或计算过程中的舍入误差等因素，导致误差传播，从而影响差分格式的解的稳定性。3 常系数扩散方程及初边值问题深圳大学材料学院16 例：考虑扩散方程的第一类边值问题 用变量分离法可得上式的解析解为取J=10，空间步长h=0.1,xj=jh(j=0,1,J),为时间步长，=/h2为网格比。现用扩散方程的向前差分格式求解u(0.4,0.4)的近似值 当网格比=0.25时，即得时间步长为=0.0025，u(0.4,0.4)=0.0180544 当=0.5时，=0.005，u(0.4,0.4)=0.0171677 当=1时，=0.01，u(0.4,0.4)=0.278773*1011 当=2时，=0.02，u(0.4,0.4)的值无法计算。从这个例子可以看出，向前差分格式的稳定性0.5。问：1、变量分离法如何得到的解析式？2、第一类边值条件为何可以这样取？3、上例中有限差分方法是如何形象地得到u(0.4,0.4)的值？深圳大学材料学院174 复金兹堡-朗道方程的简单介绍深圳大学材料学院19 复Ginzburg-Landau方程(CGLE)形式如下：其中，A=(x,t)是关于时间t和空间x的复变量；是标度参数，通常情况下，=1；实数,是系统参数。当,/=常数，上方程转变为非线性薛定谔方程。当,0,方程可以化为一个简单的非线性反应扩散方程。在特定条件下，对方程进行数值模拟，可得各种各样的时空斑图，如图 4.1-4.3所示图 4.3图 4.2图 4.1