小学奥数09数的拆分.doc

1.7数的拆分
1.7.1整数的拆分
　　整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
　　例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
　　分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
　　我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。

　　例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同支付方法？
　　分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
　　当使用3枚5分币时，5×3=1523-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有
　 23=15+（2+2+2+2），
　　23=15+（2+2+2+1+1），
　　23=15+（2+2+1+1+1+1），
　　共3种支付方法。
　　当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有
　　23=20+（2+1），
　　23=20+（1+1+1），
　　共2种支付方法。
　　总共有5种不同的支付方法。

　　例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
解：37=3+5+29=25+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17
=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
说明：本题属于迄今尚无普遍处理办法的问题，只是硬凑。比37小的最大质数是31，但37-31=6，6不能分拆为不同的质数之和，故不取；再下去比37小的质数是29，37-29=8，而8=3+5。其余的分拆考虑与此类似。

　　例4 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
　　解：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。
　　对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为　　45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。
于是495=45+46+…+54。同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。

　　例5 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子。问：一共有多少只盒子？
　　分析与解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，由于小明没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，这只盒子里原来装有（a+1）个小球。
　　同理，现在另有一个盒子里装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球。
　　依此类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。
　　现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？
因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6个6，
从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数。
　　又因42=14×3，故可将42写成13+14+15，一共有3个加数。
　　又因42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。
于是原题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。

　　例6 机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：
　　凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色不符合上述要求的自然数染成黄色（比如23可表示为两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色）。问：被染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少？请说明理由。
　　解：显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色，
　　3=1+2，
　　4=1+3=2+2，
　　5=1+4=2+3，
　　6=1+5=2+4=3+3，
　　7=1+6=2+5=3+4，
　　8=1+7=2+6=3+5=4+4，
　　9=1+8=2+7=3+6=4+5，
　　11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。
　　可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染黄色。
　　下面说明其它自然数n都要染红色。
　　（1）当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2（k-2）。由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）与4均为合数，且不相等。也就是说，大于等于10的偶数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。（1）当n为大于等于13的奇数时，
　　n=2k+1=9+2（k-4）。由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）与9均为合数，且不相等。也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。
　　综上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第k+10）个自然数（k≥2）。
　　所以第2000个染为红色的数是2000+10=2010。

　　例7 把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？
　　分析与解：把12分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6六种方法。它们的乘积分别是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。
显然，把12分拆成6+6时，有最大的积6×6=36。

　　例8 把11分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？
　　分析与解：把11分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五种方法。它们的乘积分别是1×10=10，2×9=18，3×8=24， 4×7=28，5×6=30。
显然，把11分拆成5+6时，有最大的积5×6=30。

说明：由上面的两个例子可以看出，在自然数n的所有二项分拆中，当n是偶数2m时，以分成m+m时乘积最大；当n是奇数2m+1时，以分成m+（m+1）时乘积最大。换句话说，把自然数S（S＞1）分拆为两个自然数m与n的和，使其积mn最大的条件是：m=n，或m=n+1。
在具体分拆时，当S为偶数时，当S为奇数时，m、n分别为。

　　例9 试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
　　分析：反复使用上述结论，可知要使分拆成的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1。
　　解：因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。
说明：一般地，把自然数S=pq+r（0≤r＜p，p与q是自然数）分拆为p个自然数的和，使其乘积M为最大，则M为qp-r×（q+1）r。

　　例10 把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积是多少？
　　分析与解：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
　　首先，分成的数中不能有1，这是显然的。
　　其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。
　　再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。
　　注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值3×3×3×3×2=162。
说明：一般地，把自然数S（S＞1）分拆为若干个自然数的和：S=a1+a2+…+an，则当a1，a2，…，an中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积m=a1a2…an有最大值。

　　例11 把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
　　解：由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法，使得这些自然数的乘积最大。若1作因数，则显然乘积不会最大。把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，因数个数越多，乘积越大。为了使因数个数尽可能地多，我们把1993分成2+3…+n直到和大于等于1993。若和比1993大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大，应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。若和比1993大k（k≠1），则去掉等于k的那个数，便可使乘积最大。

　　所以n=63。因为2015-1993=22，所以应去掉22，把1993分成（2+3+…+21）+（23+24+…+63）这一形式时，这些数的乘积最大，其积为2×3×…×21×23×24×…×63。

　　例12 将1995表示为两个或两个以上连续自然数的和，共有多少种不同的方法？
　　分析与解：为了解决这个问题，我们设1995可以表示为以a为首项的k(k＞1）个连续自然数之和。首项是a，项数为k，末项就是a+k-1，由等差数列求和公式，得到化简为(2a+k1）×k=3990。
　　注意，上式等号左边的两个因数中，第一个因数2a+k-1大于第二个因数k，并且两个因数必为一奇一偶。因此，3990有多少个大于1的奇约数，3990就有多少种形如（*）式的分解式，也就是说，1995就有多少种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。因为1995与3990的奇约数完全相同，所以上述说法可以简化为，1995有多少个大于1的奇约数，1995就有多少种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。1995=3×5×7×19，共有15个大于1的奇约数，所以本题的答案是15种。
　　说明：一般地，若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。知道了有多少种表示方法后，很自然就会想到，如何找出这些不同的表示方法呢？从上面的结论可以看出，每一个大于1的奇约数对应一种表示方法，我们就从1995的大于1的奇约数开始。1995的大于1的奇约数有3，5，7，15，19，21，35，57，95，105，133，285，399，665，1995。
　　例如，对于奇约数35，由 (2a+k-1）×k=3990，得3990=35×114，
　　因为114＞35，所以 k=35，2a+k-1=114，解得a=40。推知35对应的表示方法是首项为40的连续35个自然数之和，即1995=40+41+42+…+73+74。
　　再如，对于奇约数399，由(2a+k-1）×k=3990，得3990=399×10，因为399＞10，所以k=10，2a+k-1=399，解得a=195。推知399对应的表示方法是首项为195的连续10个自然数之和，即1995=195+196+197+…+204。
　　对于1995的15个大于1的奇约数，依次利用(2a+k-1）×k=3990，即可求出15种不同的表示方法。
1.7.2分数的拆分
1.7.2.1将一个单位分数分解为两个单位分数的和的方法
①分解：将单位分数的分母A分成质因数的积，从中求出这分母的任意两个约数a1，a2；
②扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），得
③拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来用，拆成两个同分母的分数相加，得
④约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。
例如，将拆成两个单位分数的和。

注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。
例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例的，所以的不同拆法只有四种。
（1） 若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。

1.7.2.2将一个单位分数拆成n个单位分数的和的方法
将一个单位分数拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1+a2+…+an）。
例1 将拆成四个单位分数的和。
解∵15=3×5 ∴15的约数有1，3，5，15。

注意：如果要求拆分的分母必须互不相同，那么最多能拆分的分数个数n等于A的约数的个数。如果允许拆分后的分母相同，那么可拆成任何有限个分数的和的形式。

例2 将拆成7个单位分数的和。
解：若所求的单位分数的个数，多于原分数分母约数的个数，取新分数继续分解。
①把等分成两个分数，再把新分数连续依次等分，最后两个用例1的方法解。

②也可先将拆成两个单位分数的和，再把新分数分母加一倍，使分数值缩小一半。再加上的，使等于三个单位分数的和。

例3 分别将、、表示为三、四、五个单位分数的和。
解：因为任何数乘1都等于它本身，而

（这些算式的分母从2起往后只有一个不是翻番关系，而是前一个加数分母的1.5倍，这个加数是倒数第二个。）
所以=×（++）=++
=×（+++）=+++

例4 将表示为三个相同的单位分数的和。
解：假设右边各项一样，则有
所以