1、第7讲 平均数
一组数的和除以这组数的个数，称为这组数的平均数。
例1、5个连续自然数的中间一个数是45，这5个数的和是多少？
分析5个连续自然数的第3个数是45，第2个（44）与第4个（46）相加是两个45，第1个（43）与第5个（47）相加是两个45。
解 和是 45×5=225
随堂练习1
计算56+57+58+59+60+61+62+63+64
一般地，奇数个连续自然数的和等于中间一项乘以项数。
换句话说，奇数个连续自然数的平均数就是中间的那个数。
高斯求和方法的实质就是
和=平均数×项数
偶数个连续自然数的平均数不是整数，我们现在尚未学到。所以先将第一
2、项加最后一项，第二项加倒数第二项……直至中间两项相加，这些和都相等。而个数是项数的一半，所以偶数个连续自然数的和等于中间两项的和（也即首末两项的和）乘以项数除以2.
例2、8个连续自然数的和是108，写出这8个数。
分析 因为中间两个数相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中间两项的和可以求出来。
解 中间两项的和是108÷（8÷2）=27
又 27=13+14
所以中间两项是13、14.这8个数是
10、11、12、13、14、15、16、17.
（由13往前数4个数到10，由14往后数4个数到17）
答：这8个连续的自然数是10、11
3、12、13、14、15、16、17.
随堂练习2
6个连续自然数的和是273，这6个数中的第一个数是多少？
例3、求出以下28个数的平均数:
12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.
分析与解 这28个数的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35
求出和再除以28就得到平均数，但比较麻烦。如果注意到25个连续自然数11、12、13，……，35的平均数是23（中间一项），那么就比较容易。
因为 13+16+16+35
4、11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）
=11+23+23+23
所以原来的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，
原来28个数的平均数正好是23.
随堂练习3
求28个数：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均数。
例4、求数列
1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53 （1）
的规律，并求这组数的和与平均数。
分析 数列的奇数项数的项组成等差数列（公差是3）
5、
1、4、7，……，49、52. （2）
数列的偶数项数的项组成等差数列（公差也是3）
2、5、8，……，50、53. （3）
分别求出数列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均数。但更为简单的办法是直接运用高斯的思想。注意：
1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28 （4）
解 1与53的平均数是27，也就是1+53可以换成2个27相加。
同样，2+52,4+50，……，26+28都可以换成27+27.
因此（1）的和是27×36=972.
从例4可以看出，如果一组数可以分成许多小组，各小组的
6、平均数都相等，那么这个相等的数就是这组数的平均数（例4中，每个小组2个数的和是54，每个小组的平均数是27）。
随堂练习4
寻找数列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的规律，并求这数列的和。
练习题：
（1） 求1至100内能被4整除余1的所有数的和。
（2） 求1至100内既是3的倍数又是5的倍数的所有数的和。
（3） 有10只盒子，44只乒乓球。把这44只乒乓球放到盒子中，每个盒子中至少要放一个球，能不能使每个盒中的球数都不相同？
（4） 影剧院共有25排座位，第一排有20个座位，以后每排比前一排多2个座位，问：影剧院共有多少个座位？
（5） 时钟在每个整点时敲这钟点数，每半点钟时敲1下，问：一昼夜该时钟总共敲多少下？
（6） 求所有三位数的和。
（7） 求1至100（包括100在内）的所有5的倍数的和。
（8） 50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，试多少次就足够了？
（9） 已知数列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。这个数列的第30项是哪个数？到第25项止，这些数的和是多少？
（10） 24个连续自然数12―35，再添上一个35，一个13，两个16.这28个数的平均值是多少？
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