常用三角恒等变换技巧(师).doc

常用三角恒等变换技巧解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。下面从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一、“角变换”技巧角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1 已知，求的值。【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接运用相关公式求出和。【简解】因为，所以，又因为，所以，从而，. 原式=.【反思】（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由，运用诱导公式和倍角公式求出。例2 已知，其中，求证：【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是与，将三个角比较分析发现，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。【简证】【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出与的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有： ，等.二、“名变换”技巧名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式，平方关系也能进行名变换。例1 已知向量，求的定义域和值域；【分析】易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【简解】 由得， 所以，.的定义域是，值域是.【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.例2 已知都是锐角，且，求的值。 【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.【简解1】显然时，因为都是锐角，所以，所以，.【简解2】由得，设，则，所以，即.【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.三、“常数变换”技巧在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 ，等.例1 （1）求证: ；（2）化简：.【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质. 【简解】（1）左边=.（2）原式=【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了，把分式变成了整式.四、 “边角互化”技巧解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例 在中，分别为角的对边，且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC，（1）求角的大小；（2）若，证明是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【简解】（1）（角化边）由正弦定理得， ，整理得，所以，因为，所以.（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得， 即，从而， 又，所以.所以，是等腰三角形.法二：由（1）知，代入得，所以，所以，是等腰三角形.【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.五、“升降幂变换”技巧当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.例1 化简：【分析】含有根号，需“升幂”去根号.【简解】原式= =因为，所以，所以，原式.例2 求函数，的最大值与最小值【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一致.【简解】 又，即，【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.六、 “公式变用”技巧几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧. 例1 求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。【简解】（1）原式。（2）原式。【反思】第（1）小题的一般性结论是： .例2 求证：。【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.【简证】因为， 所以，左边=【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.七、“辅助角变换”技巧通常把叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是把同角的正弦、余弦的代数和化为的形式，来研究其图象与性质. 尤其是当，时，要熟记其变换式，如，等.例 求函数的值域.【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了，然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式.【简解】由得，所以，从而，其中辅助角由，决定. 所以，由解得.【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果. 事实上，=，可设，再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”.八、 “换元变换”技巧有些函数，式子里同时出现（或）与，这时，可设（或），则（或），把三角函数转化为熟悉的函数来求解.例1 求函数的值域【分析】同时出现与时，可用.【简解】设，因为，所以，又由得，所以， 由得，.【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式应用广泛，如在解答命题“已知，是方程的两根，求的值”时，关键步骤是在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。例2 求证：。【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设，因为，所以，变形整理得所以，即，【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐.九、 “万能置换”技巧“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦与正切.例 讨论函数的最大值与最小值.【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与万能置换公式相同，于是问题得到转化.【简解】设，则，当且仅当也就是时，当且仅当也就是时，.【反思】（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置换公式；（2）运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题转化为代数问题，如例11中，可设，则，即，然后可用判别式法求解.最后还要指出，这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法，每一个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用，所以，只有准确理解三角公式的内在关系及其基本功能，善于发现问题中角、名、结构的差异，准确地选择转换策略，化异为同，才能准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题.