十字相乘法讲义.doc

9.15 十字相乘法
教学目标:1.理解十字相乘法的概念
2.掌握用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式.
3.通过课堂交流思考,形成从特殊到一般,从具体到抽象的思维品质.
教学重点:用十字相乘的方法,分解二次项系数为1的二次三项式.
教学难点:如何运用十字相乘的方法来因式分解.
教学突破口:从乘法公式中的多项式乘以多项式的公式,利用逆向思维,找出公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab中的a,b,使a+b等于一次项系数,ab等于常数项.
教学过程: 9.15十字相乘法

一、复习导入
：计算口答:1. (x+2)(x+1) 2. (x-2)(x+3)
3. (x-1)(x-5) 4. (x+3)(x-4)
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x－4)
(3) (x－3)(x+4) (4) (x－3)(x－4)
2．问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?
[在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ]
二、探索新知
1、观察与发现:
等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.
反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.
2、体会与尝试：
①试一试 因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2 － 2x －3
将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:
x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
x +3
x +1
3x + x = 4x
②定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：
6= ； 12= ； 24= ；
-6= ； -12= ； -24= .
④练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：
(1) x2 －7x + 12； (2) x2－4x－12； (3) x2 + 8x + 12；
(4) x2 －11x－12； (5) x2 + 13x + 12； (6) x2 －x－12；

一. 复习引入.
回顾一下多项式乘以多项式的乘法公式:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
那么我们说,x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
符号规律:q＞0 时,a,b同号且a,b符号与 q相同.
q＜0时,a,b 异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.
二. 新课探究:
1. 如何将x2+3x+2分解因式?
——(不是完全平方公式,因此不能用完全平方公式来分解.)
小组讨论,进行探究.
如果没有结论,则提示: x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
我们只要使二次三项式中x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
找出规律:只要使二次三项式中常数项q化为ab,即两数之积;把一次项系数p化为(a+b),即两数之和,就可以了.
则x2+3x+2= x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)
我们也可以借助十字交叉线来分解,即把x2分解为x×x,
常数项2分解为1×2.

x2+3x+2=(x+1)(x+2)

x 2
x×1
则x+2x=3x.
定义:利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
2. 体会与尝试.
1).因式分解:x2+4x+3 x2+7x+6
2).试一试:把下列各数表示为两个整数的积的形式(尽可能多的表示出来).
6= ＿＿ -6= ＿＿12= ＿＿-12= ＿＿24= ＿＿ -24= ＿＿
3. 例1.分解因式.
1) x2-7x+12 2). x2-11x-12 3). x2-4x-12 4). x2+8x+12
5). x2+13x+12 6). x2-x-12
(通过对比,找出分解的规律,让学生感受成功的喜悦!)
符号规律:q＞0 时,a,b同号,且a,b符号与 q相同.
q＜0时,a,b 异号,且绝对值大的因数的符号与p相同.
4.例2.分解因式:
1) x2+5xy-24y2 2). x4-5x2-36 3).(2x+y)2+6(2x+y)-27

三.练一练.
1) x2+8x-20 2). x2-5x-24 3). x2+12x+27 4). x2-3x-4
1). x2+6xy-16xy 2).x4+13x2+36 3).(a+b)2-15(a+b)+56 4).(a2+a)2-8(a2+a)+12 5).a x4-14ax2-32a
例题：
1、把m²+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳ 6

所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
2、解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解： 因为 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
练习：
1·把5x²+6x-8分解因式 2·解方程 6x²-5x-25=0

例3·把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,
则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因为 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例4·把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3）
4y -3
7y ╳ -1
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
2 -（7y – 1）
5 ╳ 4y - 3
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为：[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
2 -7y
5 ╳ 4y
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3
2 x -7y 1
5 x +4y ╳ -3
=[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3]
=（2x -7y+1）（5x +4y -3）
说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x +4y）-3].
练习题：
x2＋7x＋6 x2－5x－6 x2－5x＋6 x4＋5x2－6
x2－7x＋6 a2－4a－21 t2－2t－8 m2＋4m－12
x2－13xy－36y2 a2－ab－12b2 m4－6m2＋8 x4＋10x2＋9
把下列多项式分解因式：
（1） （2） （3） （4）
5） （6） （7） （8）
（9） （10） （11） （12）
13） （14） （15） （16）
较难习题：