测量平差基础(修改).ppt

第一章 绪论第一节测量平差的重要性第三节补充知识第二节平差问题产生的原因第一节 测量平差的重要性一、测量平差的定义与任务一、测量平差的定义与任务定义定义1 1、测量数据的处理的理论与方法。、测量数据的处理的理论与方法。定义定义2 2、按数理统计的理论与方法处理测量数据。、按数理统计的理论与方法处理测量数据。理论基础：数理统计理论基础：数理统计 线性代数线性代数 高等数学高等数学 微分微分泰勒级数泰勒级数专业基础：普通测量学专业基础：普通测量学（数字测图）（数字测图）处理工具：计算机编程处理工具：计算机编程二、测量平差的任务：确定未知量的估值并评定其二、测量平差的任务：确定未知量的估值并评定其精度。精度。线性代数微分级数普通测量摄影测量工程测量变形观测地理信息系统测量平差大地控制测量工程控制测量GPS测量计算机编程数理统计三、测量平差的重要性三、测量平差的重要性理论基础数学工具计算工具数据处理理论方法直接处理数据控制测量数据处理第二节 平差问题产生的原因一、实例说明一、实例说明 1 1、边长（距离）测量、边长（距离）测量第一种情况：欲知直线度第一种情况：欲知直线度L L（1 1）进行一次观测便可知）进行一次观测便可知（2 2）进行）进行n n次观测，得次观测，得 L1L1、L2L2、LnLn理论上应：理论上应：L1=L2=LnL1=L2=Ln 但由于有误差，实际上各自并不一定但由于有误差，实际上各自并不一定相等，出现了同一量的不同观测值不相相等，出现了同一量的不同观测值不相等的矛盾。等的矛盾。L1L2Ln n n第二种情况：欲得第二种情况：欲得L1L1、L2L2、L3L3的长的长度度n n（1 1）观测了）观测了L1L1、L2L2，则，则n n L3=L1-L2L3=L1-L2n n（2 2）也可直接观测）也可直接观测L1L1、L2L2、L3L3n n理论上应：理论上应：n n L1=L2+L3L1=L2+L3n n实际上，由于观测值有误差，上式实际上，由于观测值有误差，上式n n不一定成立，而是：不一定成立，而是：n n L1L2+L3L1L2+L3n n于是产生了矛盾。于是产生了矛盾。L1L2L3n n 2 2、三角测量、三角测量:欲知三角形三内角欲知三角形三内角L1L1、n n L2 L2、L3L3的大小的大小n n（1 1）观测了三角形三内角）观测了三角形三内角L1L1、L2L2，则，则n n L3=180 L3=180L1L1L2L2n n（2 2）观测了三角形三内角）观测了三角形三内角L1L1、L2L2、L3L3，由于有误差，一般情况下：由于有误差，一般情况下：n n L1+L2+L3180 L1+L2+L3180n n 存在闭合差（观测值与理论值之差）存在闭合差（观测值与理论值之差）n n w=L1+L2+L3 w=L1+L2+L3180180n n出现了三角形三内角观测值之和不等于出现了三角形三内角观测值之和不等于n n180180 的矛盾。的矛盾。L1L2L3那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何来解决这些矛盾呢？来解决这些矛盾呢？二、测量平差产生的原因二、测量平差产生的原因二、测量平差产生的原因二、测量平差产生的原因1 1、观测值之间的矛盾产生原因、观测值之间的矛盾产生原因（1 1）、观测值存在误差）、观测值存在误差（2 2）、有多余观测）、有多余观测由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理由于观测值之间存在矛盾，故必须进行数据处理测量平差测量平差。注：注：总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用总观测元素：对某个几何模型进行的所有观测，其个数用n n表示。表示。必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用必要元素：确定一个几何模型所必要的元素，其个数用t t表示。表示。多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其多余观测：在一个几何模型中，除必要元素之外的观测元素，其个数用个数用r r表示，表示，r=n-tr=n-t。几何模型：各种控制网的统称。几何模型：各种控制网的统称。n n1 1、示例、示例 n n 设对某三角形三内角进行观测，得观测值：设对某三角形三内角进行观测，得观测值：n n L L1 1=583040=583040，L L2 2=612010=612010，L L3 3=600858=600858n n=（L L1 1+L+L2 2+L+L3 3）-180-1800 0=-12=-12 n n若将若将L L1 1，L L2 2，L L3 3分别加上一个改正数分别加上一个改正数v v1 1,v,v2 2,v,v3 3，使得：，使得：n n(L(L1 1+v+v1 1)+(L)+(L2 2+v+v2 2)+(L)+(L3 3+v+v3 3）=180=1800 0n n即：即：(v(v1 1+v+v2 2+v+v3 3)+(L)+(L1 1+L+L2 2+L+L3 3-180-1800 0)=0)=0n n亦即：亦即：v v1 1+v+v2 2+v+v3 3-12-12=0=0三、测量平差的基本原理三、测量平差的基本原理三、测量平差的基本原理三、测量平差的基本原理 从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差，从前面我们知道，由于观测值之间存在矛盾要进行平差，那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎那么怎样进行平差呢？什么样的平差结果才是最佳估值？怎样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决的问题样评定平差结果的精度呢？这就是测量平差要解决的问题。L1L2L3n n满足方程的满足方程的v1,v2,v3v1,v2,v3有无限多组，那么，按什么准有无限多组，那么，按什么准n n则从无限多解当中选取合理的解呢？则从无限多解当中选取合理的解呢？n n根据最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最根据最优化数学方法，一般按如下准则，也就是最n n小二乘准则来解决该问题。小二乘准则来解决该问题。由此可得唯一最优解：v1=v2=v3=42、平差原则最小二乘原理（2）、不同精度独立观测，改正数v应满足：（1）、同精度独立观测，改正数v应满足：n n测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有测量平差数学模型包括函数模型和随机模型，平差的基本模型有以下四种：以下四种：以下四种：以下四种：3、测量平差数学模型、测量平差数学模型1）、条件平差条件平差数学模型2）、附有参数的条件平差附有参数的条件平差3）间接平差模型（高斯马尔柯夫模型）最基本模型最基本模型1912年，A.A.Markov，对最小二乘原理进行证明，形成数学模型：最小二乘解：4）、）、附有限制条件的间接平差法附有限制条件的间接平差法4 4、测量平差的核心内容、测量平差的核心内容、测量平差的核心内容、测量平差的核心内容起动数据观测值L观测值的权阵P起始数据满足条件VTPV=min线性函数模型观测值的平差值参数的平差值单位权方差估值观测值的平差值协因数阵参数的平差值协因数阵平差结果 由观测值L、观测值的权阵P、起始数据推求观测值的平差值、参数的平差值、观测值的平差值方差、参数的平差值方差。注：函数模型：描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型。停止返回5、测量平差的任务：对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求未知量的最可靠值。评定测量成果的质量由此可见，测量平差即数据调整，也就是依据某种最优准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。6 6、测量平差中要弄清的几个重要问题、测量平差中要弄清的几个重要问题、测量平差中要弄清的几个重要问题、测量平差中要弄清的几个重要问题 n n1 1）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个）、在一个测量平差问题中，怎样计算观测值个数数n,n,必要观测数必要观测数t,t,多余观测数多余观测数r r，这是进行测量平，这是进行测量平差首先要解决的问题。差首先要解决的问题。n n2 2）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎）、各种函数模型的非线性形式及其线性形式怎样表示，怎样建立各种线性函数模型。特别是对样表示，怎样建立各种线性函数模型。特别是对于条件平差模型于条件平差模型,怎样列出各种条件方程，对于间怎样列出各种条件方程，对于间接平差模型，怎样列出误差方程。接平差模型，怎样列出误差方程。n n 3 3）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵）、观测值的权阵怎么确定，权阵与协因数阵有什么关系，权与协因数有什么关系。有什么关系，权与协因数有什么关系。n n4 4）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量）、协方差传播律和协因数传播律是指什么？设向量F F，WW分别是随机向量分别是随机向量X X，Y Y的以下线性函数的以下线性函数:n n F FAX+BYAX+BYn n W WCX+DYCX+DYn n 试求试求F F和和W W 的协方差阵的协方差阵D(XY)D(XY)，并由此导出各种特殊情况，并由此导出各种特殊情况下求方差和协方差的公式。下求方差和协方差的公式。n n5 5）、）、VTPV=min VTPV=min 平差原则是怎样导出来的？按此原则求平差原则是怎样导出来的？按此原则求出的估值出的估值L L，X X有什么优越性？或为什么称有什么优越性？或为什么称 L L，X X为最佳估为最佳估计？什么是最佳估计？怎样证明它们是最佳估计（建议对计？什么是最佳估计？怎样证明它们是最佳估计（建议对各种不同的平差模型进行证明）。各种不同的平差模型进行证明）。n n6 6）、以下单位权方差估值公式：）、以下单位权方差估值公式：n n是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个是怎么求出来的。为什么从观测值方差阵中任意取出一个公因子都是单位权方差。公因子都是单位权方差。n n 7 7）、如何证明以下分布：）、如何证明以下分布：n n n n n n n n n n怎么由它构造怎么由它构造t,Ft,F统计量，它们有什么作用。统计量，它们有什么作用。n n 8 8）、一个点的误差椭圆说明什么，怎么计）、一个点的误差椭圆说明什么，怎么计算误差椭圆的有关参数。算误差椭圆的有关参数。四、测量平差产生的历史最小二乘法产生的背景18世纪末，如何从多于未知参数的观测值集合求出未知数的最佳估值？最小二乘的产生1794年，C.F.GUASS，从概率统计角度，提出了最小二乘，并利用其解决了上述问题。1806年，A.M.Legendre，从代数角度，提出了最小二乘。决定彗星轨道的新方法1809年，C.F.GUASS，天体运动的理论 五、五、测量平差的发展测量平差的发展1 1从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与从单纯偶然误差理论扩展到包含系统误差和粗差的理论与方法。方法。方法。方法。2 2提出了相关平差提出了相关平差提出了相关平差提出了相关平差3 3产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤 波，波，波，波，推估和配置。推估和配置。推估和配置。推估和配置。4 4形成了秩亏自由网平差理论形成了秩亏自由网平差理论形成了秩亏自由网平差理论形成了秩亏自由网平差理论5 5出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理论。出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理论。出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理论。出现后验定权方法，形成了方差协方差估计理论。6 6展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。7 7展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估计方法。方法。方法。方法。六、本课程应掌握的主要内容六、本课程应掌握的主要内容1 1、偶然误差理论：偶然误差的性质、精度指标及其、偶然误差理论：偶然误差的性质、精度指标及其估值、中误差及其估值、误差传播定律、权与定估值、中误差及其估值、误差传播定律、权与定权的方法；权的方法；2 2、测量平差的函数模型和随机模型、最小二乘原理、测量平差的函数模型和随机模型、最小二乘原理及方法；及方法；3 3、测量平差的基本方法：条件平差、间接平差、附、测量平差的基本方法：条件平差、间接平差、附有未知参数的条件平差、附有限制条件的间接平有未知参数的条件平差、附有限制条件的间接平差；差；4 4、误差椭圆。、误差椭圆。七、学习方法七、学习方法n n 1 1、端正学习态度，充分认识学好测量平差对于学好、端正学习态度，充分认识学好测量平差对于学好测绘工程专业的重要性。测绘工程专业的重要性。n n2 2、学习测量平差教材时，要多设疑，自己多动手去、学习测量平差教材时，要多设疑，自己多动手去推算和证明，不要轻易相信书上的结论推算和证明，不要轻易相信书上的结论,并不断根据已并不断根据已经学得的知识，预测后面的内容和可能的结论。经学得的知识，预测后面的内容和可能的结论。n n 3 3、学好所编矩阵基础知识，还要复习、掌握数理统、学好所编矩阵基础知识，还要复习、掌握数理统计的有关知识。计的有关知识。n n 4 4、学习时，视野关注主干、核心内容，实用时注重、学习时，视野关注主干、核心内容，实用时注重细节。细节。n n 5 5、对一个平差模型证明推导的某些公式，对另一个、对一个平差模型证明推导的某些公式，对另一个平差模型自己进行证明、推导。平差模型自己进行证明、推导。n n6 6、弄清前述、弄清前述8 8个问题。个问题。n n7 7、适当记笔记。、适当记笔记。第三节、补充知识第三节、补充知识一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵（1）由个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示，如：(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、a22ann称为对角元素。(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。(4)对于的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。如：(5)对于对角阵，若a11=a22=ann=1，称为单位阵，一般用E、I表示。（6）若aij=aji，则称A为对称矩阵。矩阵的基本运算：（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换性与可结合性。（3）设A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵,则A、B相乘才有意义，C=AB，C的阶数为m*n。OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，ABC=A（BC）二、矩阵的转置二、矩阵的转置n n对于任意矩阵对于任意矩阵C Cmnmn:将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。用：矩阵转置的性质：矩阵转置的性质：（6）若则A为对称矩阵。三、矩阵的逆三、矩阵的逆n n给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。记为：lA矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵矩阵的逆的性质矩阵的逆的性质矩阵求逆方法：矩阵求逆方法：（1）伴随矩阵法：设Aij为A的第i行j列元素aij的代数余子式，则由n*n个代数余子式构成的矩阵为A的伴随矩阵的转置矩阵A*称为A的伴随矩阵。矩阵求逆方法矩阵求逆方法则：（2）初等变换法：经初等变换：四、矩阵的秩四、矩阵的秩四、矩阵的秩四、矩阵的秩定义定义定义定义：矩阵：矩阵A A的最大线性无关的行的最大线性无关的行(列列)向量的个数向量的个数r r，称为矩，称为矩阵阵A A的行的行(列列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为的秩，记为R(A)R(A)。对于矩阵的秩有性质：对于矩阵的秩有性质：五、矩阵的迹五、矩阵的迹五、矩阵的迹五、矩阵的迹定义定义定义定义：方阵：方阵A A的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为对于矩阵的迹有下面的性质：对于矩阵的迹有下面的性质：tr(AT)=tr(A)tr(AT)=tr(A)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(kA)=k tr(A)tr(kA)=k tr(A)tr(AB)=tr(BA)tr(AB)=tr(BA)六、满秩矩阵六、满秩矩阵 定义定义：若n阶方阵A的秩R(A)=n，则称A为满秩方阵。若mn阶矩阵A的秩R(A)=m，称A为行满秩阵；若R(A)=n，则称A为列满秩阵。对于任意一mn阶矩阵A，若R(A)=r，则A可分解为其中，R为列满秩阵，S是行满秩阵。这种分解不是唯一的。七、幂等矩阵七、幂等矩阵定义定义：称满足条件 A2=AA=A 的方阵A为幂等矩阵。幂等矩阵有下述重要性质：(1)幂等矩阵A的特征值为0或1。(2)幂等矩阵A的秩，等于它的迹，即R(A)=tr(A)(3)若方阵A为R(A)=r的幂等矩阵,则E-A也为幂等矩阵，且R(E-A)=n-r八、二次型和正定阵八、二次型和正定阵(1)xTAx0,称二次型是正定的，A为正定矩阵，记为A0(2)xTAx0,称二次型是半正定的，A为半正定矩阵，记为A0(3)xTAx0,称二次型是负定的，A称为负定矩阵，记为A0(4)xTAx0,称二次型是半负定的，A称为半负定矩阵，记为A0在测量平差中VTPV就是一个二次型。二次型及其有关定理，对于参数估计和假设检验是重要的。它为许多理论证明提供了基本工具。，式中A=AT，上式称为二次型，定义：设A称为二次型矩阵。若对于任意x0的函数，记为九、函数对向量的微分九、函数对向量的微分且函数对所有自变量可微，则对向量的偏导数定义为的n个元素若函数f是以n维向量为自变量构成函数向量时，则F对的微分为一阶矩阵：利用这一定义，函数的泰勒级数展开式（取至二次项）可写为矩阵形式其中m元函数向量对于n维向量的微分有如下性质：(以下C为常数向量,F,G为函数向量)(1)(3)(2)(4)当A为常数矩阵时=(5)当A=AT时，概率与数理统计内容概率与数理统计内容n n随机变量n n误差分布曲线n n概率密度曲线n n数学期望n n方差第一节概述第二节偶然误差的规律性第三节衡量精度的指标第一节 概述一、专业符号介绍一、专业符号介绍观测真值向量观测真值向量观测向量观测向量误差向量误差向量L1 L2L3s1s2s3ADCBh1h6h5h2h4h3观测值平差值向量观测值平差值向量观测值改正数向量观测值改正数向量未知参数真值向量未知参数真值向量未知参数改正数真值向量未知参数改正数真值向量未知参数近似值向量未知参数近似值向量未知参数平差值向量未知参数平差值向量未知参数改正数平差值向量未知参数改正数平差值向量L1 L2L3s1s2s3A(x1,y1)B(x2,y2)n n1 1、测量平差的研究对象、测量平差的研究对象观测误差观测误差n n 观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取观测数据：用测绘仪器工具或其他手段获取n n 的反映地球及其它实体的空间分布的反映地球及其它实体的空间分布n n 有关信息的数据。有关信息的数据。n n 任何量测数据不可避免地含有误差，如何处理含有误任何量测数据不可避免地含有误差，如何处理含有误差的测量数据便成了一门研究课题。差的测量数据便成了一门研究课题。v闭合、附合水准路线v闭合、附合导线v距离测量v角度测量.二、二、观测误差观测误差观测误差观测误差2 2、产生误差的原因、产生误差的原因、产生误差的原因、产生误差的原因n n测量仪器：i角误差、2c误差n n观测者：人的分辨力限制n n外界条件：温度、气压、大气折光等观测条件：观测条件：测量仪器、观测者、外测量仪器、观测者、外 界条件界条件三者综合起来为观测条件三者综合起来为观测条件3、误差的分类、误差的分类n n系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如系统误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规果误差在大小、符号上表现出系统性，或者按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，律变化，这种误差称为系统误差。如大多数仪器误差，有规律的外界影响等。有规律的外界影响等。有规律的外界影响等。有规律的外界影响等。系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。系统误差具有累积性，它的存在必然影响观测结果。削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数削弱方法：采用一定的观测程序、改正、附加参数误差的分类误差的分类n n偶然误差偶然误差/随机误差：在相同的观测条件下进随机误差：在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都行的一系列观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误但从大量误差上看有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。差称为偶然误差。n n如照准误差、读数误差、毫无规律的外界影响如照准误差、读数误差、毫无规律的外界影响等。等。n n不可避免，经典测量平差研究的内容不可避免，经典测量平差研究的内容n n粗差：错误，大误差粗差：错误，大误差三、误差构成的四种情况三、误差构成的四种情况一、正态分布n n一）、一维正态一）、一维正态分布分布正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正正态分布是一种最常见的分布形式，一般随机变量都遵循正态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为态分布，正态分布还是许多其他分布的极限分布。通常认为测量误差服从正态分布。测量误差服从正态分布。测量误差服从正态分布。测量误差服从正态分布。其中其中,u,u为随机变量为随机变量x x的数学期望，的数学期望，为其标准方差。称随机为其标准方差。称随机向量向量x x服从参数为服从参数为u u、的正态分布，记为的正态分布，记为x xN N（u u、）。）。1 1、设一维随机向量、设一维随机向量X X服从正态分布，则其分布密度函数为：服从正态分布，则其分布密度函数为：第二节 偶然误差的规律性2 2、标准正态分布、标准正态分布 若随机变量若随机变量X X的数学期望的数学期望u=0u=0，标准差，标准差=1=1，则称，则称X X服从标服从标准正态分布，记为准正态分布，记为X X（0 0，1 1）。）。3 3、正态随机变量、正态随机变量X X出现在区间（出现在区间（u-k u-k ,u+k ）内的概率）内的概率由此可得由此可得二）、二）、n n维正态分布维正态分布 设设n n维随机向量维随机向量X=X=（x x1 1，x x2 2，x xn n）T T 服从正态分服从正态分布，其联合分布密度函数为：布，其联合分布密度函数为：其中其中观测值：对某量观测所得的值，一般用观测值：对某量观测所得的值，一般用Li表示表示。1、几个概念、几个概念真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差，一般用一般用 i=-Li表表示。示。二、偶然误差的规律性二、偶然误差的规律性二、偶然误差的规律性二、偶然误差的规律性真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用小的数值，一般用表示。表示。观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、L2Ln可表示为：2 2、偶然误差的特性、偶然误差的特性、偶然误差的特性、偶然误差的特性n n例例1 1：在相同的条件下独立观测了：在相同的条件下独立观测了358358个三角形的全部内角，每个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于个三角形内角之和应等于180180度，但由于误差的影响往往不等于度，但由于误差的影响往往不等于180180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.20.2秒进行秒进行统计。统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495l例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:面积=(K/n)/d*d=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630频数/d0 0.4 0.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475对照前面两个表中的数据可知对照前面两个表中的数据可知:当误差小时当误差小时,误差分布曲误差分布曲线较高线较高且陡峭，精度高且陡峭，精度高当误差大时当误差大时,误差分布曲线较低且平缓，精度低误差分布曲线较低且平缓，精度低1）、有界性：在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的界限；2）、单峰性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的次数多；3）、对称性：绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等；4）、抵偿性：当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零即Limni=1nni=Limnn=0偶然误差的特性：即 E()=03、偶然误差的分布密度函数设偶然误差设偶然误差的分布密度函数为的分布密度函数为f f(),),由性质由性质3 3可知可知f(f()是是的的偶函数，由性质偶函数，由性质2 2可知，在可知，在-0 0区间区间f(f()是增函数，在是增函数，在0 0 区间是减函数区间是减函数,则可构造函数则可构造函数:其中其中A A，k k为常数。为常数。因为因为设偶然误差的方差设偶然误差的方差D(D()=)=2 2:所以，偶然误差的分布密度函数为：所以，偶然误差的分布密度函数为：提示：观测值定了，其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差偶然误差的分布密度函数第三节衡量精度的指标精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。不同。提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。误差各不相同。频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高且陡峭，精度高且陡峭，精度高右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低且平缓，精度低且平缓，精度低一、方差一、方差/中误差中误差f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差面积为1方差：方差：中误差：提示：提示：越小，误差曲越小，误差曲线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。越密集，精度越高。相反，精度越低。相反，精度越低。凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标。凡事是能体现以上定义的指标都有可作为衡量精度的指标。常用的精度指标有如下几种常用的精度指标有如下几种方差的估值：二、平均误差二、平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。学期望。则得平均误差与中误差的关系：则得平均误差与中误差的关系：平均误差的估值：平均误差的估值：三、或然误差三、或然误差误差出现在（误差出现在（-，）之间的概率等于）之间的概率等于1/2，即，即f()0闭合差50%四、极限误差四、极限误差五、相对误差五、相对误差误差与观测值之比，一般用误差与观测值之比，一般用1/M表示。表示。与长度（大小）有关的误差，有相对误差的指标与长度（大小）有关的误差，有相对误差的指标相对中误差：相对中误差：/S=1/M/S=1/M相对真误差：相对真误差：/S=1/M绝对误差：真误差、中误差、极限误差绝对误差：真误差、中误差、极限误差第五节第五节 精度、准确度与精确度精度、准确度与精确度一、精度一、精度一、精度一、精度衡量偶然误差衡量偶然误差衡量偶然误差衡量偶然误差的离散程度，指标中误差的离散程度，指标中误差的离散程度，指标中误差的离散程度，指标中误差。当观测值只含有偶然误差当观测值只含有偶然误差当观测值只含有偶然误差当观测值只含有偶然误差时：时：时：时：1 1、一维随机向量的精度指标：方差、一维随机向量的精度指标：方差、一维随机向量的精度指标：方差、一维随机向量的精度指标：方差 2 2或中误差或中误差或中误差或中误差 2 2、多维随机向量、多维随机向量、多维随机向量、多维随机向量X=xX=x1 1,x,x2 2,x,xn n T T的精度指标：协方差阵的精度指标：协方差阵的精度指标：协方差阵的精度指标：协方差阵D DXXXX1）、协方差对于变量对于变量X，Y，其协方差为：，其协方差为：当当X、Y间互不相关，对于正态分布而言，相互独立时间互不相关，对于正态分布而言，相互独立时当当X、Y间相关时间相关时用真误差用真误差 计算：计算：对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的方差、协，将其元素间的方差、协方差阵表示为：方差阵表示为：矩阵表示为：矩阵表示为：2）、方差协方差阵）、方差协方差阵向量方差协方差阵定义向量方差协方差阵定义特点特点：I对称对称II正定正定III各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当对角元对角元相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。若：若若DXY=0，则，则X、Y表示为相互独立的观测量。表示为相互独立的观测量。3）、互协方差阵）、互协方差阵二、准确度二、准确度观测值的数学期望观测值的数学期望(X)(X)与其真值与其真值接近接近的程度。衡量系统误差大小的程度，指标偏差的程度。衡量系统误差大小的程度，指标偏差。当观测值误差当观测值误差含有系统误差时：含有系统误差时：三、精确度三、精确度观测值观测值X X与其真值与其真值接近的程度，指标均方误差接近的程度，指标均方误差MSE(X)MSE(X)。随机向量随机向量X=XX=X1 1，X X2 2，X Xn n 的均方误差的定义：的均方误差的定义：四、精度、准确度与精确度的关系四、精度、准确度与精确度的关系XE（X）第三章协方差传播与权第三章协方差传播与权第二节协方差传播律第三节协方差传播律在测量上的应用第六节由真误差计算中误差及实际应用第四节权与定权的常用方法第五节协因数与协因数传播律第一节数学期望传播律第七节系统误差的传播本章在全书中有重要地位：本章在全书中有重要地位：起动数据观测值L观测值的权阵P起始数据满足条件VTPV=min线性函数模型观测值的平差值参数的平差值单位权方差估值观测值的平差值协因数阵参数的平差值协因数阵平差结果测量平差的任务之一就是精度评定，也就是求平差值的协方差阵。测量平差的任务之一就是精度评定，也就是求平差值的协方差阵。观测值方差DLL=D或权阵或协因数阵协方差传播律协因数传播律ABCL1L2S00实例：已知实例：已知实例：已知实例：已知L L1 1，L L2 2的中误差，求的中误差，求的中误差，求的中误差，求C C点坐标值的中误差点坐标值的中误差点坐标值的中误差点坐标值的中误差协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方协方差传播律：表述观测值函数的方差协方差与观测值的方差协方差的关系的公式。差协方差的关系的公式。差协方差的关系的公式。差协方差的关系的公式。第一节第一节 数学期望的传播数学期望的传播一、数学期望及其性质一、数学期望及其性质1 1、C C为常数，为常数，E(C)=CE(C)=C2 2、E(CX)=CE(X)E(CX)=CE(X)3 3、E(KE(K1 1 X X1 1+K +K 2 2X X 2 2+K+K n nX Xn n)=K)=K1 1E(XE(X1 1)+K)+K 2 2E(X E(X 2 2)+)+K nE(Xn)+K nE(Xn)4 4、若、若x,yx,y独立，则独立，则E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)已知随机变量的数学期望求其函数数学期望已知随机变量的数学期望求其函数数学期望二、随机矩阵的数学期望及其性质二、随机矩阵的数学期望及其性质其性质与前相同。其性质与前相同。第二节第二节协方差传播律协方差传播律一、观测值线性函数的方差一、观测值线性函数的方差那么：证明：证明：设：设：那么那么,根据方差的定义有：根据方差的定义有：纯量形式纯量形式例1:设 ，已知 ，求 的方差 。例2:若要在两已知点间布设一条附合水准路线,已知每公里观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于10mm,问该路线长度最多可达几公里?二、多个观测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵已知：则则则则那么那么,根据协方差的定义有：根据协方差的定义有：几种特殊情况:例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。例4：设有函数，已知求:三、非线性函数的情况设有观测值设有观测值X的非线性函数：的非线性函数：已知：将Z按台劳级数在X0