2026届云南省云南大附属中学高补班下学期开学考试数学试题含解析.doc

2026届云南省云南大附属中学高补班下学期开学考试数学试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5个棋子，图②中有10个棋子，图③中有16个棋子，…，则图⑥________中有个棋子( )

A．31 B．35 C．40 D．50
2．计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．在实数，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．tan45º的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（　　）

A．70° B．80° C．110° D．140°
6．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
7．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：
弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
其中正确说法的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（ ）

A． B． C． D．
9．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
10．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　 　）
A．﹣10= B．+10=
C．﹣10= D．+10=
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是_________．

12．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是________．
13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD= ___________°．

14．如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D、E、F分别在ACBC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为_____．

15．分解因式：ax2－a=______．
16．分解因式：3x2-6x+3=__．
17．计算：（π﹣3）0+（﹣）﹣1=_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.75

19．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的长．

20．（8分）如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=1.5米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.3米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=45°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.01米参考数据：≈1.73，≈1.41）

21．（10分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20
21
19
16
27
18
31
29
21
22
25
20
19
22
35
33
19
17
18
29
18
35
22
15
18
18
31
31
19
22
整理上面数据，得到条形统计图：

样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量
平均数
众数
中位数
数值
23
m
21
根据以上信息，解答下列问题：上表中众数m的值为　 　；为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据　 　来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
22．（10分）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
求反比例函数的解析式；观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
23．（12分）如图，点A（m，m＋1），Bm＋1，2m－3）都在反比例函数的图象上．

（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
24．（14分）今年3月12日植树节期间，学校预购进A，B两种树苗．若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．求购进A，B两种树苗的单价；若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵．
参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，据此可得．
【详解】
解：∵图1中棋子有5=1+2+1×2个，
图2中棋子有10=1+2+3+2×2个，
图3中棋子有16=1+2+3+4+3×2个，
…
∴图6中棋子有1+2+3+4+5+6+7+6×2=40个，
故选C．
本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
2、C
【解析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．
【详解】
解：==，
故选：C.
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3、D
【解析】
试题分析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案：
是有理数，故选D．
考点：有理数．
4、B
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可得tan45º=1，
故选B．
本题考查特殊角的三角函数值．
5、C
【解析】
分析：作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．
详解：作对的圆周角∠APC，如图，

∵∠P=∠AOC=×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6、D
【解析】
试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.
7、C
【解析】
根据基本作图的方法即可得到结论．
【详解】
解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；
（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；
（3）弧③是以A为圆心，大于AB的长为半径所画的弧，错误；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．
故选C．
此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．
8、B
【解析】
根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面看得到的图形即可．
【详解】
解：主视图，如图所示：
．
故选B．
本题考查由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图是从物体的正面看得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．
9、B
【解析】
分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体．故选B．
10、B
【解析】
根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．
【详解
解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：
+10=．
故选B．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∵AE⊥BD，

∴△ABE∽△ADB，
∵E是BC的中点，

过F作FG⊥BC于G，

故答案为
12、
【解析】
通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2-代入计算即可．
【详解】
设方程的另一根为x1，
又∵x=2-，由根与系数关系，得x1+2-=4，解得x1=2+．
故答案为：
解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解．
13、1
【解析】
∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°， 
∴∠A=∠C=1°， 
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D， 
∴AD=BD， 
∴∠ABD=∠A=1°；
故答案是1．
14、
【解析】
如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．由四边形ADEF是菱形，推出F，D关于直线AE对称，推出PF=PD，推出PF+PB=PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是线段BD的长．
【详解】
如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．

∵四边形ADEF是菱形，
∴F，D关于直线AE对称，
∴PF=PD，
∴PF+PB=PA+PB，
∵PD+PB≥BD，
∴PF+PB的最小值是线段BD的长，
∵∠CAB=180°-105°-45°=30°，设AF=EF=AD=x，则DH=EG=x，FG=x，
∵∠EGB=45°，EG⊥BG，
∴EG=BG=x，
∴x+x+x=3+，
∴x=2，
∴DH=1，BH=3，
∴BD==，
∴PF+PB的最小值为，
故答案为．
本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
15、
【解析】
先提公因式，再套用平方差公式.
【详解】
ax2－a=a（x2-1）=
故答案为：
掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.
16、3(x-1)2
【解析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
.
故答案是：3(x-1)2.
考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17、-1
【解析】
先计算0指数幂和负指数幂，再相减.
【详解】
（π﹣3）0+﹣）﹣1，
=1﹣3，
=﹣1，
故答案是：﹣1．
考查了0指数幂和负指数幂，解题关键是运用任意数的0次幂为1，a-1=.

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、景点A与B之间的距离大约为280米
【解析】
由已知作PC⊥AB于C，可得△ABP中∠A=37°，∠B=45°且PA=200m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长．
【详解】
解:如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=∠BCP=90°，
由题意，可得∠A=37°，∠B=45°，PA=200m．
在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠A=37°，
∴AC=AP•cosA=200×0.80=160，PC=AP•sinA=200×0.60=1．
在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠B=45°，
∴BC=PC=1．
∴AB=AC+BC=160+1=280（米）．
答：景点A与B之间的距离大约为280米．

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
19、 (1)见解析;(2)2.
【解析】
(1)四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质，可得AB=DE， AB//DE ，则四边形ABDE是平行四边形；
(2)因为AD=DE=1，则AD=AB=1，四边形ABCD是菱形，由菱形的性质及解直角三角形可得AO=AB⋅sin∠ABO=2，BO=AB⋅cos∠ABO=2， BD=1 ，则AE=BD，利用勾股定理可得OE．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵DE＝CD，
∴AB＝DE．
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵AD＝DE＝1，
∴AD＝AB＝1．
∴▱ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，，．
又∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°．
在Rt△ABO中，，．
∴．
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，．
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥AE．
在Rt△AOE中，．
此题考查平行四边形的性质及判断，考查菱形的判断及性质，及解直角三角形，解题关键在于掌握判定定理和利用三角函数进行计算.
20、3.05米
【解析】
延长FE交CB的延长线于M, 过A作AG⊥FM于G, 解直角三角形即可得到正确结论．
【详解】
解：
如图：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，
∴AB=BC•tan60°=1.5×1.73=2.595，
∴GM=AB=2.595，
在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=45°，sin∠FAG=，
∴sin45°=，
∴FG=1.76，
∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．
答：篮框D到地面的距离是3.05米．
本题主要考查直角三角形和三角函数，构造合适的辅助线是本题解题的关键．
21、 (1)18；（2）中位数；（3）100名.
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；
（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；
（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．
【详解】（1）由图可得，
众数m的值为18，
故答案为：18；
（2）由题意可得，
如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为：中位数；
（3）300×=100（名），
答：该部门生产能手有100名工人．
【点睛】本题考查了条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22、（1）
（2）﹣1＜x＜0或x＞1．
（3）四边形OABC是平行四边形；理由见解析．
【解析】
（1）设反比例函数的解析式为（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式．
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC
【详解】
解：（1）设反比例函数的解析式为（k＞0）
∵Am，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1．∴A（﹣1，﹣2）．
又∵点A在上，∴，解得k=2．，
∴反比例函数的解析式为．
（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1．
（3）四边形OABC是菱形．证明如下：
∵A（﹣1，﹣2），∴．
由题意知：CB∥OA且CB=，∴CB=OA．
∴四边形OABC是平行四边形．
∵C（2，n）在上，∴．∴C（2，1）．
∴．∴OC=OA．
∴平行四边形OABC是菱形．
23、（1）m＝3，k＝12；（2）或
【解析】
【分析】（1）把A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)代入反比例函数y＝，得k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)，再求解；（2）用待定系数法求一次函数解析式；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，两线交于点P.根据平行四边形判定和勾股定理可求出M,N的坐标.
【详解】
解：(1)∵点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)都在反比例函数y＝的图像上，
∴k＝xy，
∴k＝m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)，
∴m2＋m＝m2＋2m－3，解得m＝3，
∴k＝3×(3＋1)＝12.
(2)∵m＝3，
∴A(3，4)，B(6，2)．
设直线AB的函数表达式为y＝k′x＋b(k′≠0)，
则
解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋6.
（3）M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，N(0，－2)．
解答过程如下：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，两线交于点P.
∵由(1)知：A(3，4)，B(6，2)，
∴AP＝PM＝2，BP＝PN＝3，
∴四边形ANMB是平行四边形，此时M(3，0)，N(0，2)．当M′(－3，0)，N′(0，－2)时，根据勾股定理能求出AM′＝BN′，AB＝M′N′，即四边形AM′N′B是平行四边形．故M(3，0)，N(0，2)或M(－3，0)，N(0，－2)．

【点睛】本题考核知识点：反比例函数综合. 解题关键点：熟记反比例函数的性质
24、（1）A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元；（2）10棵
【解析】
试题分析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树苗的棵数关系列出不等式解答即可．
试题解析：（1）设B种树苗的单价为x元，则A种树苗的单价为y元，
可得：，
解得：，
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，
可得：200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10，
答：A种树苗至少需购进10棵．
考点：1．一元一次不等式的应用；2．二元一次方程组的应用