2026年广西防城港市防城区港市重点中学下学期（4月）初三期中数学试题模拟试题含解析.doc

2026年广西防城港市防城区港市重点中学下学期（4月）初三期中数学试题模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算中，正确的是（　　）
A．（a3）2=a5 B．（﹣x）2÷x=﹣x
C．a3（﹣a）2=﹣a5 D．（﹣2x2）3=﹣8x6
2．商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（　　）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
3．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣3
4．化简(﹣a2)•a5所得的结果是( )
A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10
5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2(x+3)2 D．y＝2x﹣3)2
6．关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
7．浙江省陆域面积为101800平方千米。数据101800用科学记数法表示为（ ）
A．1.018×104 B．1.018×105 C．10.18×105 D．0.1018×106
8．在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
9．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是(　　)

A．∠BDO＝60° B．∠BOC＝25° C．OC＝4 D．BD＝4
10．在正方体的表面上画有如图1中所示的粗线，图2是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图1中剩余两个面中的粗线画入图2中，画法正确的是( )

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．

12．有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是
13．如图，直线经过正方形的顶点分别过此正方形的顶点、作于点 于点．若，则的长为________．

14．如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为_____．

15．如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AC=AD，BC＞AB，AB∥CD，AB=4，BD=2，tan∠BAC=3，则线段BC的长是_____．

16．因式分解：2m2﹣8n2= ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A：车价40万元以上；B：车价在20—40万元；C：车价在20万元以下；D：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）调查样本人数为__________，样本中B类人数百分比是_______，其所在扇形统计图中的圆心角度数是________；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．

18．（8分）如图，A，B，C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在 B 粮仓北偏东26°，180 千米处；C 粮仓在 B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知 A，B两个粮仓原有存粮共 450 吨，根据灾情需要，现从 A 粮仓运出该粮仓存粮的支援 C 粮仓，从 B 粮仓运出该粮仓存粮的支援 C 粮仓，这时 A，B 两处粮仓的存粮吨数相等．（tan26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49）
（1）A，B 两处粮仓原有存粮各多少吨？
（2）C 粮仓至少需要支援 200 吨粮食，问此调拨计划能满足 C 粮仓的需求吗？
（3）由于气象条件恶劣，从 B 处出发到 C 处的车队来回都限速以每小时 35 公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶 4 小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到 B 地？请你说明理由．

19．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；
（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．

20．（8分） “六一”儿童节前夕某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对红星小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（1）该校有_____个班级，补全条形统计图；
（2）求该校各班留守儿童人数数据的平均数，众数与中位数；
（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童．
21．（8分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆．
如图所示，已知：⊙I是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD⊥IC于点D．
（1）试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论．
（2）设AB=AC=5，BC=6，如果△DIE和△AEF的面积之比等于m，，试作出分别以 , 为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程．

22．（10分）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣．
23．（12分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AB′C′D′，点 C的对应点 C′恰好落在CB的延长线上，边AB交边 C′D′于点E．
（1）求证：BC＝BC′；
（2）若 AB＝2，BC＝1，求AE的长．

24．如图所示是一幢住房的主视图，已知：，房子前后坡度相等，米，米，设后房檐到地面的高度为米，前房檐到地面的高度米，求的值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
根据同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．
【详解】
∵（a3）2=a6，
∴选项A不符合题意；
∵（-x）2÷x=x，
∴选项B不符合题意；
∵a3（-a）2=a5，
∴选项C不符合题意；
∵（-2x2）3=-8x6，
∴选项D符合题意．
故选D．
此题主要考查了同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，要熟练掌握．
2、C
【解析】
利用打折是在标价的基础之上，利润是在进价的基础上，进而得出等式求出即可．
【详解】
解：设原价为x元，根据题意可得：
80%x=140+20，
解得：x=1．
所以该商品的原价为1元；
故选：C．
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键．
3、A
【解析】
方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．
【详解】
方程，
变形得：，
配方得：，即
故选A．
本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．
4、B
【解析】
分析:根据同底数幂的乘法计算即可,计算时注意确定符号.
详解: (-a2)·a5=-a7.
故选B.
点睛:本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂相乘，底数不变，指数相加是解答本题的关键.
5、C
【解析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.
【详解】
y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.
本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.
6、C
【解析】
对于一元二次方程a+bx+c=0，当Δ=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
即16-4k=0，解得：k=4.
考点：一元二次方程根的判别式
7、B
【解析】
.
故选B.
点睛：在把一个绝对值较大的数用科学记数法表示为的形式时，我们要注意两点：①必须满足：；②比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定）.
8、A
【解析】
因为正数是比0大的数,负数是比0小的数,正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小,根据有理数比较大小的法则即可选出答案．
【详解】
因为正数是比0大的数,负数是比0小的数,正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小,
所以在-3,-1,0,1这四个数中比-2小的数是-3,
故选A．
本题主要考查有理数比较大小,解决本题的关键是要熟练掌握比较有理数大小的方法.
9、D
【解析】
由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，据此可判断C；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案．
【详解】
解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，故C选项正确；
则△AOC、△BOD是等边三角形，∴∠BDO=60°，故A选项正确；
∵∠AOB=35°，∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°，故B选项正确.
故选D．
本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．
10、A
【解析】
解：可把A、B、C、D选项折叠，能够复原（1）图的只有A．
故选A．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1．
【解析】
设小矩形的长为x，宽为y，则由图1可得5y=3x；由图2可知2y-x=2.
【详解】
解：设小矩形的长为x，宽为y，则可列出方程组，
，解得，
则小矩形的面积为6×10=1.
本题考查了二元一次方程组的应用.
12、．
【解析】
分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是．
故答案为
考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
13、13
【解析】
根据正方形的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，根据垂直得出∠DEA=∠AFB=90°，求出∠EDA=∠FAB，根据AAS推出△AED≌△BFA，根据全等三角形的性质得出AE=BF=5，AF=DE=8，即可求出答案；
【详解】
∵ABCD是正方形(已知)，
∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°；
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，
∴∠FBA=∠EAD(等量代换)；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△AED中，
∵，
∴△AFB≌△AED(AAS)，
∴AF=DE=8,BF=AE=5(全等三角形的对应边相等)，
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.
故答案为13.
点睛：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，能求出△AED≌△BFA是解此题的关键．
14、
【解析】
如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于HEG⊥AB于G．由四边形ADEF是菱形，推出F，D关于直线AE对称，推出PF=PD，推出PF+PB=PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是线段BD的长．
【详解】
如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．

∵四边形ADEF是菱形，
∴F，D关于直线AE对称，
∴PF=PD，
∴PF+PB=PA+PB，
∵PD+PB≥BD，
∴PF+PB的最小值是线段BD的长，
∵∠CAB=180°-105°-45°=30°，设AF=EF=AD=x，则DH=EG=x，FG=x，
∵∠EGB=45°，EG⊥BG，
∴EG=BG=x，
∴x+x+x=3
∴x=2，
∴DH=1，BH=3，
∴BD==，
∴PF+PB的最小值为，
故答案为．
本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
15、6
【解析】
作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，可得DE=CF，且AC=AD，可证Rt△ADE≌Rt△AFC，可得AE=AF，∠DAE=∠BAC，根据tan∠BAC=∠DAE=，可设DE=3a，AE=a，根据勾股定理可求a的值，由此可得BF，CF的值．再根据勾股定理求BC的长．
【详解】
如图：

作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，

∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB
∴CF=DE，且AC=AD
∴Rt△ADE≌Rt△AFC
∴AE=AF，∠DAE=∠BAC
∵tan∠BAC=3
∴tan∠DAE=3
∴设AE=a，DE=3a
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2
∴52=（4+a）2+27a2
解得a1=1，a2=-（不合题意舍去）
∴AE=1=AF，DE=3=CF
∴BF=AB-AF=3
在Rt△BFC中，BC=＝6
本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，并借助同角的三角函数值求线段的长，与勾股定理相结合，依次求出各边的长即可．
16、2（m+2n）（m﹣2n）．
【解析】
试题分析：根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，可知首先提取系数的最大公约数2，进一步发现提公因式后，可以用平方差公式继续分解．
解：2m2﹣8n2，
=2（m2﹣4n2），
=2（m+2n）（m﹣2n）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．

三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）50，20%，72°．
（2）图形见解析；
（3）选出的2人来自不同科室的概率=．
【解析】
试题分析：（1）根据调查样本人数=A类的人数除以对应的百分比．样本中B类人数百分比=B类人数除以总人数，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比×360°．
（2）先求出样本中B类人数，再画图．
（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．
试题解析：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），
样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，
B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°；
（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）
；
（3）画树状图为：

共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，
所以选出的2人来自不同科室的概率=．
考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．
18、（1）A、B 两处粮仓原有存粮分别是 270，1 吨；（2）此次调拨能满足 C 粮仓需求；（3）小王途中须加油才能安全回到 B 地．
【解析】
（1）由题意可知要求A，B两处粮仓原有存粮各多少吨需找等量关系，即A处存粮+B处存粮=450吨，A处存粮的五分之二=B处存粮的五分之三，据等量关系列方程组求解即可；
（2）分别求出A处和B处支援C处的粮食，将其加起来与200吨比较即可；
（3）由题意可知由已知可得△ABC中∠A=26°∠ACB=90°且AB=1Km，sin∠BAC=，要求BC的长，可以运用三角函数解直角三角形．
【详解】
（1）设A，B两处粮仓原有存粮x，y吨
根据题意得：
解得：x=270，y=1．
答：A，B两处粮仓原有存粮分别是270，1吨．
（2）A粮仓支援C粮仓的粮食是×270=162（吨），
B粮仓支援C粮仓的粮食是×1=72（吨），
A，B两粮仓合计共支援C粮仓粮食为162+72=234（吨）．
∵234＞200，
∴此次调拨能满足C粮仓需求．
（3）如图，

根据题意知：∠A=26°，AB=1千米，∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，sin∠BAC=，
∴BC=AB•sin∠BAC=1×0.44=79.2．
∵此车最多可行驶4×35=140（千米）＜2×79.2，
∴小王途中须加油才能安全回到B地．
求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
19、（1）y=x2+2x﹣3；（2）；（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）先利用抛物线的对称性确定出点B的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点D的坐标代入求得a的值即可；
（2）过点E作EF∥y轴，交AD与点F，过点C作CH⊥EF，垂足为H．设点E（m，m2+2m-3），则F（m，-m+1），则EF=-m2-3m+4，然后依据△ACE的面积=△EFA的面积-△EFC的面积列出三角形的面积与m的函数关系式，然后利用二次函数的性质求得△ACE的最大值即可；
（3）当AD为平行四边形的对角线时．设点M的坐标为1，a），点N的坐标为（x，y），利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x的值，然后将x=-2代入求得对应的y值，然后依据＝，可求得a的值；当AD为平行四边形的边时．设点M的坐标为（-1，a）．则点N的坐标为（-6，a+5）或（4，a-5），将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．
试题解析：(1)∴A(1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴B(－3，0)，
设抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，
将点D(－4，5)代入，得5a＝5，解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3；
(2)过点E作EF∥y轴，交AD与点F，交x轴于点G，过点C作CH⊥EF垂足为H.

设点E(m，m2＋2m－3)，则F(m，－m＋1)．
∴EF＝－m＋1－m2－2m＋3＝－m2－3m＋4.
∴S△ACE＝S△EFA－S△EFC＝EF·AG－EF·HC＝EF·OA＝－ (m＋)2＋.
∴△ACE的面积的最大值为；
(3)当AD为平行四边形的对角线时：
设点M的坐标为(－1，a)，点N的坐标为(x，y)．
∴平行四边形的对角线互相平分，
∴＝，＝，
解得x＝－2，y＝5－a，
将点N的坐标代入抛物线的表达式，得5－a＝－3，
解得a＝8，
∴点M的坐标为(－1，8)，
当AD为平行四边形的边时：
设点M的坐标为(－1，a)，则点N的坐标为(－6，a＋5)或(4，a－5)，
∴将x＝－6，y＝a＋5代入抛物线的表达式，得a＋5＝36－12－3，解得a＝16，
∴M(－1，16)，
将x＝4，y＝a－5代入抛物线的表达式，得a－5＝16＋8－3，解得a＝26，
∴M(－1，26)，
综上所述，当点M的坐标为(－1，26)或(－1，16)或(－1，8)时，以点A，D，M，N为顶点的四边形能成为平行四边形．
20、（1）16；（2）平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）1．
【解析】
（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是2.5%，即可求得班级的总个数，再求出有8名留守儿童班级的个数，进而补全条形统计图；
（2）将这组数据按照从小到大排列即可求得统计的这组留守儿童人数数据的平均数、众数和中位数；
（3）利用班级数60乘以（2）中求得的平均数即可．
【详解】
解：（1）该校的班级数是：2÷2.5%=16（个）．
则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．
条形统计图补充如下图所示：

故答案为16；
（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+2×2）÷16=3
将这组数据按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，10，2，2．
故这组数据的众数是10，中位数是（8+10）÷2=3．
即统计的这组留守儿童人数数据的平均数是3，众数是10，中位数是3；
（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×3=1（名）．
答：该镇小学生中共有留守儿童1名．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．
21、 (1) D、E、F三点是同在一条直线上．(2) 6x2﹣13x+6=1．
【解析】
（1）利用切线长定理及梅氏定理即可求证；
（2）利用相似和韦达定理即可求解.
解：（1）结论：D、EF三点是同在一条直线上．
证明：分别延长AD、BC交于点K，

由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD=DK，AC=CK，
再由切线长定理得：AC+CE=AF，BE=BF，
∴KE=AF．∴，
由梅涅劳斯定理的逆定理可证，D、E、F三点共线，
即D、E、F三点共线．
（2）∵AB=AC=5，BC=6，
∴A、E、I三点共线，CE=BE=3，AE=4，
连接IF，则△ABE∽△AIF，△ADI∽△CEI，A、F、I、D四点共圆．
设⊙I的半径为r，则：，
∴，即，，
∴由△AEF∽△DEI得：
，
∴．
∴，
因此，由韦达定理可知：分别以、为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6x2﹣13x+6=1．
点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.
22、解：原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 =x2﹣1．
当x=﹣时，原式=（﹣）2﹣1=3﹣1=﹣2．
【解析】
应用整式的混合运算法则进行化简，最后代入x值求值．
23、（1）证明见解析；（2）AE=．
【解析】
（1）连结 AC、AC′，根据矩形的性质得到∠ABC＝90°，即 AB⊥CC′， 根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到 AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，根据旋转的性质得到 BC′＝AD′，AD＝AD′，证得 BC′＝AD′，根据全等三角形的性质得到 BE＝D′E，设 AE＝x，则 D′E＝2﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：：（1）连结 AC、AC′，
∵四边形 ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，即 AB⊥CC′，
∵将矩形 ABCD 绕点A顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′，
∴AC＝AC′，
∴BC＝BC′；
（2）∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，
∵BC＝BC′，
∴BC′＝AD′，
∵将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形 AB′C′D′，
∴AD＝AD′，
∴BC′＝AD′，

在△AD′E 与△C′BE中

∴△AD′E≌△C′BE，
∴BE＝D′E，
设 AE＝x，则 D′E＝2﹣x，
在 Rt△AD′E 中，∠D′＝90°，
由勾定理，得 x2﹣（2﹣x）2＝1，
解得 x＝，
∴AE＝ ．

本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等， 熟练掌握性质定理是解题的关键．
24、
【解析】
过A作一条水平线，分别过B，C两点作这条水平线的垂线，垂足分别为D，E，由后坡度AB与前坡度AC相等知∠BAD=∠CAE=30°，从而得出BD=2、CE=3，据此可得．
【详解】
解：过A作一条水平线，分别过B，C两点作这条水平线的垂线，垂足分别为D，E，

∵房子后坡度AB与前坡度AC相等，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAE=30°，
在直角△ABD中，AB=4米，
∴BD=2米，
在直角△ACE中，AC=6米，
∴CE=3米，
∴a-b=1米．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握坡度坡角的概念．