浙江省平阳县2025-2026学年初三下第二次测试（数学试题文）试题含解析.doc

浙江省平阳县2025-2026学年初三下第二次测试（数学试题文）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．6
2．计算（2017﹣π）0﹣（﹣）﹣1+tan30°的结果是（　　）
A．5 B．﹣2 C．2 D．﹣1
3．如图，在中，,,,点分别在上，于，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
4．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（　　）
A．0.4×108 B．4×108 C．4×10﹣8 D．﹣4×108
5．下面的图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．方程的解为（　　）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
7．一辆慢车和一辆快车沿相同的路线从A地到B地，所行驶的路程与时间的函数图形如图所示，下列说法正确的有（ ）

①快车追上慢车需6小时；②慢车比快车早出发2小时；③快车速度为46km/h；④慢车速度为46km/h； ⑤A、B两地相距828km；⑥快车从A地出发到B地用了14小时
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为

A．12 B．20 C．24 D．32
9．的算术平方根是（ ）
A．9 B．±9 C．±3 D．3
10．如图，共有12个大不相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分．现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（　　）

A． B． C． D．
11．如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是　　

A． B． C． D．
12．计算4+（﹣2）2×5=（　　）
A．﹣16 B．16 C．20 D．24
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在正方形中，，点在对角线上运动，连接，过点作，交直线于点（点不与点重合），连接，设，，则和之间的关系是__________（用含的代数式表示）．
14．按照一定规律排列依次为，…..按此规律，这列数中的第100个数是_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标（6，0），B的坐标（0，8），点C的坐标（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间为t秒（t＞0），△OMN的面积为S．则：AB的长是_____，BC的长是_____，当t＝3时，S的值是_____．

16．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．
17．如图，已知，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第四象限内的点B在反比例函数y＝的图象上．且OA⊥OB，∠OAB＝60°，则k的值为_________．

18．PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠PAB=60°，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分） 2018年4月份，郑州市教育局针对郑州市中小学参与课外辅导进行调查，根据学生参与课外辅导科目的数量，分成了：1科、2科、3科和4科，以下简记为：1、2、3、4，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学员共有　 　人；在被调查者中参加“3科”课外辅导的有　 　人．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）已知郑州市中小学约有24万人，那么请你估计一下参与辅导科目不多于2科的学生大约有多少人．

20．（6分）已知P是的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，＝6，OP=m，，如图所示．另一个半径为6的经过点C、D，圆心距．
（1）当m=6时，求线段CD的长；
（2）设圆心O1在直线上方，试用n的代数式表示m；
（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．

21．（6分）按要求化简：（a﹣1）÷，并选择你喜欢的整数a，b代入求值．
小聪计算这一题的过程如下：
解：原式＝（a﹣1）÷…①
＝（a﹣1）•…②
＝…③
当a＝1，b＝1时，原式＝…④
以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第_____步（填序号），原因：_____；
还有第_____步出错（填序号），原因：_____．
请你写出此题的正确解答过程．
22．（8分）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
23．（8分）如图1，抛物线y＝ax2a+2）x+2（a≠0），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN：PM＝1：4，求m的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+的最小值．
24．（10分）如图， 二次函数的图象与 x 轴交于和两点，与 y 轴交于点 C，一次函数的图象过点 A、C．

（1）求二次函数的表达式
（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量 x 的取值范围．
25．（10分） “绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2018年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：
1 1 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3
5 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6
（1）对以上数据进行整理、描述和分析：
①绘制如下的统计图，请补充完整；
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是______，众数是__
（2）“互联网＋全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2018年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户．

26．（12分）如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．
（1）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长=　 　；
（2）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；
（3）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

27．（12分）如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．
（1）证明：△BOE≌△DOF；
（2）当EF⊥AC时，求证四边形AECF是菱形．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、D
【解析】
分析: 连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB.
详解: 如图，连接OB，

∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB=＝＝6，
故选D．
点睛: 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键.
2、A
【解析】
试题分析：原式=1－(－3)+=1+3+1=5，故选A．
3、C
【解析】
先利用三角函数求出BE=4m，同（1）的方法判断出∠1=∠3，进而得出△ACQ∽△CEP，得出比例式求出PE，最后用面积的差即可得出结论；
【详解】
∵，
∴CQ=4m，BP=5m，
在Rt△ABC中，sinB=，tanB=，
如图2，过点P作PE⊥BC于E，

在Rt△BPE中，PE=BP•sinB=5m×=3m，tanB=，
∴，
∴BE=4m，CE=BC-BE=8-4m，
同（1）的方法得，∠1=∠3，
∵∠ACQ=∠CEP，
∴△ACQ∽△CEP，
∴ ,
∴ ，
∴m=，
∴PE=3m=，
∴S△ACP=S△ACB-S△PCB=BC×AC-BC×PE=BC（AC-PE）=×8×（6- ）=，故选C.
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算方法，判断出△ACQ∽△CEP是解题的关键．
4、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10 的形式,其中1≤a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【详解】
0.000 000 04=4×10,
故选C
此题考查科学记数法，难度不大
5、B
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可．
【详解】
解：第一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；
∴既是轴对称图形，又是中心对称图形的有两个，
故选：B．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
6、B
【解析】
观察可得最简公分母是（x-3）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
方程的两边同乘(x−3)(x+1)，得
(x−2) (x+1)=x(x−3)，
，
解得x=1.
检验：把x=1代入(x−3)(x+1)=-4≠0.
∴原方程的解为：x=1.
故选B.
本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是注意解得的解要进行检验.
7、B
【解析】
根据图形给出的信息求出两车的出发时间，速度等即可解答．
【详解】

解：①两车在276km处相遇，此时快车行驶了4个小时，故错误．
②慢车0时出发，快车2时出发，故正确．
③快车4个小时走了276km，可求出速度为69km/h，错误．
④慢车6个小时走了276km，可求出速度为46km/h，正确．
⑤慢车走了18个小时，速度为46km/h，可得A,B距离为828km，正确．
⑥快车2时出发，14时到达，用了12小时，错误．
故答案选B．
本题考查了看图手机信息的能力，注意快车并非0时刻出发是解题关键．
8、D
【解析】
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4.
∴根据勾股定理，得：OC=5.
∵四边形OABC是菱形，∴点B的坐标为（8，4）.
∵点B在反比例函数(x>0)的图象上，
∴.
故选D.
9、D
【解析】
根据算术平方根的定义求解.
【详解】
∵=9，
又∵（±1）2=9，
∴9的平方根是±1，
∴9的算术平方根是1．
即的算术平方根是1．
故选:D．
考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.
10、D
【解析】
由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率公式解答即可．
【详解】
因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，所以剩下7个小正方形．
在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是．
故选D．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本题的关键．
11、B
【解析】
根据常见几何体的展开图即可得．
【详解】
由展开图可知第一个图形是②正方体的展开图，
第2个图形是①圆柱体的展开图，
第3个图形是③三棱柱的展开图，
第4个图形是④四棱锥的展开图，
故选B
本题考查的是几何体，熟练掌握几何体的展开面是解题的关键.
12、D

【解析】分析：根据有理数的乘方、乘法和加法可以解答本题．
详解：4+（﹣2）2×5
=4+4×5
=4+20
=24，
故选：D．
点睛：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、或
【解析】
当F在边AB上时，如图1作辅助线，先证明≌，得，，根据正切的定义表示即可；
当F在BA的延长线上时，如图2，同理可得：≌，表示AF的长，同理可得结论．
【详解】
解：分两种情况：
当F在边AB上时，如图1，

过E作，交AB于G，交DC于H，
四边形ABCD是正方形，

，，，
，，
，
，
≌，
，
，
，
中，，
即；
当F在BA的延长线上时，如图2，

同理可得：≌，
，
，
，
中，．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、三角函数等知识，熟练掌握正方形中辅助线的作法是关键，并注意F在直线AB上，分类讨论．
14、
【解析】
根据按一定规律排列的一列数依次为…，可得第n个数为，据此可得第100个数．
【详解】
由题意，数列可改写成，…，
则后一个数的分子比前一个数的法则大2，后一个数的分母比前一个数的分母大3，
∴第n个数为＝，
∴这列数中的第100个数为＝；
故答案为：．
本题考查数字类规律，解题的关键是读懂题意，掌握数字类规律基本解题方法.
15、10， 1， 1
【解析】
作CD⊥x轴于D，CE⊥OB于E，由勾股定理得出AB＝10，OC＝＝1，求出BE＝OB﹣OE＝4，得出OE＝BE，由线段垂直平分线的性质得出BC＝OC＝1；当t＝3时，N到达C点，M到达OA的中点，OM＝3，ON＝OC＝1，由三角形面积公式即可得出△OMN的面积．
【详解】
解：作CD⊥x轴于D，CE⊥OB于E，如图所示：
由题意得：OA＝1，OB＝8，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝10；
∵点C的坐标（﹣2，4），
∴OC＝＝1，OE＝4，
∴BE＝OB﹣OE＝4，
∴OE＝BE，
∴BC＝OC＝1；当t＝3时，N到达C点，M到达OA的中点，OM＝3，ON＝OC＝1，
∴△OMN的面积S＝×3×4＝1；
故答案为：10，1，1．

本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16、1
【解析】
设购买篮球x个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．
【详解】
设购买篮球x个，则购买足球个，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
最大值为1．
故答案为1．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
17、-6
【解析】
如图，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAC+∠AOC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△ACO∽△ODB，
∴，
∵∠OAB=60°，
∴，
设A（x，），
∴BD=OC=x，OD=AC=，
∴B（x，-），
把点B代入y=得，-=，解得k=-6，
故答案为-6.

18、60°或120°．
【解析】
连接OA、OB，根据切线的性质得出∠OAP的度数，∠OBP的度数；再根据四边形的内角和是360°，求出∠AOB的度数，有圆周角定理或圆内接四边形的性质，求出∠ACB的度数即可．
【详解】
解：连接OA、OB．
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB；
∴∠PAO=∠PBO=90°；
又∵∠APB=60°，
∴在四边形AOBP中，∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∴
即当C在D处时，∠ACB=60°．
在四边形ADBC中，∠ACB=180°﹣∠ADB=180°﹣60°=120°．
于是∠ACB的度数为60°或120°，
故答案为60°或120°．

本题考查的是切线的性质定理，圆内接四边形的性质，是一道基础题．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）50,10；（2）见解析.（3）16.8万
【解析】
（1）结合条形统计图和扇形统计图中的参加“3科”课外辅导人数及百分比，求得总人数为50人；再由总人数减去参加“1科”，“2科”，“4科”课外辅导人数即可求出答案.
（2）由（1）知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人，
由扇形统计图可知参加“4科”课外辅导人数占比为10%，故参加“4科”课外辅导人数的有5人.
（3）因为参加“1科”和“2科”课外辅导人数占比为，所以全市参与辅导科目不多于2科的人数为24× ＝16.8（万）.
【详解】
解：（1）本次被调查的学员共有：15÷30%＝50（人），
在被调查者中参加“3科”课外辅导的有：50﹣15﹣20﹣50×10%＝10（人），
故答案为50，10；
（2）由（1）知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人，
在被调查者中参加“4科”课外辅导的有：50×10%＝5（人），
补全的条形统计图如右图所示；

（3）24× ＝16.8（万），
答：参与辅导科目不多于2科的学生大约有16.8人．
本题考察了条形统计图和扇形统计图，关键在于将两者结合起来解题.
20、 (1)CD=;(2)m= ;(3) n的值为或
【解析】
分析1）过点作⊥，垂足为点，连接．解Rt△，得到的长．由勾股定理得的长，再由垂径定理即可得到结论；
（2）解Rt△，得到和Rt△中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心、在弦异侧时，分和．②当圆心、在弦同侧时，同理可得结论．
详解：（1）过点作⊥，垂足为点，连接．

在Rt△，∴．
∵＝6，∴．
由勾股定理得： ．
∵⊥，∴．
（2）在Rt△，∴．
在Rt△中，．
在Rt△中，．
可得： ，解得．
（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况：
① 当圆心、在弦异侧时
i），即，由，解得．
即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去．
ii），由 ，
解得：，即 ，解得．
②当圆心、在弦同侧时，同理可得： ．
∵是钝角，∴只能是，即，解得．
综上所述：n的值为或．
点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
21、①, 运算顺序错误； ④， a等于1时，原式无意义．
【解析】
由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；④当a＝1时，等于0，原式无意义．
【详解】
①运算顺序错误；
故答案为①，运算顺序错误；
④当a=1时，等于0，原式无意义．
故答案为a等于1时，原式无意义．

当时，原式
本题考查了分式的化简求值，注意运算顺序和分式有意义的条件．
22、（1）35元/盒；（2）20%．
【解析】
试题分析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
试题解析：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得：，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：年增长率为20%．
考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；增长率问题．
23、（1）；（2）m＝3；（3）
【解析】
（1）本题需先根据图象过A点，代入即可求出解析式；（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由条件可得到关于m的方程，则可求得m的值；（3）在y轴上取一点Q，使，可证的△P2OB∽△QOP2，则可求得Q点坐标，则可把AP2+BP2转换为AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时，有最小值，则可求出答案.
【详解】
解：（1）∵A（4，0）在抛物线上，
∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝；
（2）∵
∴令x＝0可得y＝2，
∴OB＝2，
∵OP＝m，
∴AP＝4﹣m，
∵PM⊥x轴，
∴△OAB∽△PAN，
∴，
∴，
∴，
∵M在抛物线上，
∴PM＝+2，
∵PN：MN＝1：3，
∴PN：PM＝1：4，
∴，
解得m＝3或m＝4（舍去）；
（3）在y轴上取一点Q，使，如图，

由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，
∴，且∠P2OB＝∠QOP2，
∴△P2OB∽△QOP2，
∴，
∴当Q（0，）时，QP2＝，
∴AP2+BP2＝AP2+QP2≥AQ，
∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，
∵A（4，0），Q（0，），
∴AQ＝＝，
即AP2+BP2的最小值为
本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及线段和最小值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，难度相对较大.
24、（1）；（2）．
【解析】
（1）将和两点代入函数解析式即可；
（2）结合二次函数图象即可．
【详解】
解：(1)∵二次函数与轴交于和两点，

解得
∴二次函数的表达式为．
(2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围是．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质．
25、 (1) 3.4棵、3棵；(2)1.
【解析】
（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得
（2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．
【详解】
解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，
补全图形如下：

②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是（棵），众数为3棵，
故答案为：3.4棵、3棵；
（2）估计该小区采用这种形式的家庭有户，
故答案为：1．
此题考查条形统计图，加权平均数，众数，解题关键在于利用样本估计总体.
26、（1）1；（2）点D（8﹣2，0）；（3）点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．
【解析】
分析：（Ⅰ）由点B的坐标知OA=8、AB=1、OB=10，根据折叠性质可得BA=BA′=1，据此可得答案；
（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD=∠ABD=30°，据此知AD=ABtan∠ABD=2，继而可得答案；
（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．
详解：（Ⅰ）如图1，由题意知OA=8、AB=1，∴OB=10，由折叠知，BA=BA′=1，∴OA′=1．
故答案为1；

（Ⅱ）如图2，连接AA′．
∵点A′落在线段AB的中垂线上，∴BA=AA′．
∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，
∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，
∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等边三角形，
∴∠A′BA=10°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，
∴AD=ABtan∠ABD=1tan30°=2，
∴OD=OA﹣AD=8﹣2，
∴点D（8﹣2，0）；

（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时．
由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=1，∠BAD=∠BA′D=90°．
∵点A′在线段OA的中垂线上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，
∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=1﹣2，
由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND，
则=，即=，
解得：DN=3﹣5，
则OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，
∴D（3﹣1，0）；

②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N， 则BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=1，∠BAD=∠BA′D=90°．
∵点A′在线段OA的中垂线上，∴A′M=A′N=MN=4，
则MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+1，
由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB，
则=，即=，
解得：ME=，则OE=MO﹣ME=1+．
∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，
∴△DOE∽△A′ME，
∴=，即=，
解得：DO=3+1，则点D的坐标为（﹣3﹣1，0）．
综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．

点睛：本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握折叠变换的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．
27、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据矩形的性质，通过“角角边”证明三角形全等即可；
（2）根据题意和（1）可得AC与EF互相垂直平分，所以四边形AECF是菱形．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AE∥CF，
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等），
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS）．
（2）

证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．