专题四测度与可测函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专题四 直线上点集的勒贝格测度与可测函数,勒贝格测度与勒贝格可测集,可测函数,测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广,可测函数列的极限问题,一、点集的勒贝格测度与可测集,1.,几个特殊,点集的测度,设E为直线R上的有限区间a,b(或(a,b)或a,b)或(a,b）则其测度定义为：m(E)=m(a,b)=b-a.,(2)设,E为平面上有界闭区域D,则其测度定义为:m(E)=S,D,(4)若E=,，则定义m(E)=m()=0,(3)设E为空间上有界闭区域,则其测度定义为:m(E)=V,(6)若E为一随机事件，则,定义m(E)=P(E)(,古典概率,）,(5)若E=x是单点集,，则定义m(E)=0,2.,直线上非空,有界开集,与,有界闭集,的测度,定义,1,设G为直线R上的有界开集(即(a,b)G),(a,i,b,i,)(iI)为G的构成区间，则定义 m(G)=(b,i,a,i,)(0m(G)b-a),定义,2,设F(a,b)R为有界闭集，G=(a,b)-F,则定义：,m(F)=(b-a)-m(G),注,:,m(F)0,且m(F)的值与区间(a,b)的选取无关.,3.,直线上,一般有界点集,的勒贝格（lebesgue)测度,定义,3,设ER为任一有界集.,(,有界集的外测度,)称一切包含E的有界开集的测度的下确界为E的,L外测度,，记为m,*,(E),即,m,*,(E)=infm(G)|G为有界开集,EG,(2)(,有界集的内测度,)称一切包含于E的有界集的测度的上确界为E的,L内测度,，记为m,(E),即,m,(E)=supm(F)|F为有界闭集,FE,(3)(,有界集的测度,)如果m,(E)=m,(E),则称E的内测度与外测度的共同值为E的,L测度,，记为m(E),即,这时,也称E是,勒贝格可测集,(简称,L可测集,),m(E)=m,*,(E)=m,(E),注:,1)对于有界开集G,有,m(G)=m,*,(G),2)对于有界闭集F,有,m(F)=m,(F),3)对于任一非空有界集E,有,m,(E)m,*,(E),(根据定义),定理1,设,X=,(a,b)是基本集(有界),E,E,i,X(i=1,2,),均为有界可测集,则有,E,C,=X-E、E,1,E,2,、E,1,E,2,、E,1,-E,2,、E,i,、E,i,均可测，且,1),m(E)0,且E=时,m(E)=0,(,非负性),3),m(E,1,E,2,)m(E,1,)+m(E,2,),(,次可加性),若,E,1,E,2,则,m(E,1,)m(E,2,),(,单调性),m(E,2,E,1,)=m(E,2,)-m(E,1,),4.,可,测集的性质,4),若E,1,E,2,=,则m(E,1,E,2,)=m(E,1,)m(E,2,),(,有限可加性),5),若E,i,E,j,=(ij,i,j=1,2,),则m(E,i,)=m(E,i,),(可列可加性),1),若E,1,E,2,E,k,则E=E,k,可测,m(E)=lim m(E,k,),定理,2,设,X=(a,b)是基本集,E,k,是X上的可测集列。,2),若E,1,E,2,E,k,则E=E,k,可测,m(E)=lim m(E,k,),定理3,设,E,R,有界,则,E,可测存在开集,G,和闭集,F,使,F,E,G,且,m,(,G-F,)0,开集,G,和闭集,F,使,F,E,G,且,m,(,G-F,)0,开集,G,E,和闭集,F,E,使,m,(,F,),mE,),m,(,E,),m,(,G,),m,(,E,)-,m,(,E,),m,(,G,)-,m,(,F,)0,开集,G,E,使,E,0,E,G,m,(,E,0,),m,(,G,)0,有界集(-,x,x,)E可测,则称E是可测的.并记,注:,1)无界点集的测度可能是有限值,也可能是无穷大.,例如,有理数集,Q,是无界的零测集,E=(0,+,),是测度为,+,的可测集.,2)对于无界集,上述定理1的结论也成立.,2）,L,可测集类与波赖尔(,Borel,)集,定义,5 (1),R中所有L可测集构成的集合称为L可测集类.,(2)对,R中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到的集合称为波赖尔,(Borel)集.,所有,波赖尔(Borel)集都是,L可测集.,注,：,大多数集合都是L可测集，但L不可测集确实存在.,二、点集上的勒贝格可测函数,1.,可测函数的定义,定义,6,设ER为任一可测集（有界或无界）,f(x)为定义在E上的实值函数.若R,E的子集,E(f)=x,|f(x),x,E,都是L有限可测集,则称f(x)是E上的,L可测函数,E(f)=x,1,x,2,x,3,b,E(f)=x,4,x,5,x,o,f(x),a,b,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,2.,函数可测的充分必要条件,定理4,f(x)在可测集E上的可测函数，即E(f)可测,R,E(f)=x|f(x),x,E,可测,R,E(f=)=x|f(x)=,x,E,可测,R,E(f)=x|f(x)=x|f(x),x,E,可测,证:,(1)E(f)=E(f)-E(f)可测,E(f)=E(f),(4)E(f)=f)=E(f+1/n),E(f)=E(f1/n),例,5,定义在R上连续函数都是L可测函数.,f(x)连续,x,0,E(f)R,f(x)f(x,0,)(xx,0,),O(x,0,),使xO(x,0,),有f(x)，即x E(f),(极限保号性,）,证：x,0,E(f)f(x,0,),(,只要证明,R,集E(f)是开集,则它一定是可测集),f(x)是可测函数,O(x,0,)E(f)x,0,是E(f)的内点，,E(f)是开集,E(f)是可测集,例,6,区间0,1上的狄里克来函数D(,x)是L可测函数,.,证,:,D(,x)=,1,x为0,1中的有理数,0,x为0,1中的无理数,当,1时,E(D,)=是可测集,当,0时,E(D,)=0,1是可测集.,因此,D(,x)是L可测函数,当0,)=x|x为0,1中的有理数是可测集,例,7,定义在零测集E上的任何函数f(x)都是L可测函数.,证:,R,E(f)=x|f(x),xEE,f(x)是可测函数,m(E(f)=0,m(E(f)m(E)=0,E(f)也是零测集,例,8,集E的特征,函数,E,(,x)是R上的可测函数,.,证,:,E,(,x)=,1xE,0,xE,定理6,f(x)、g(x)是E上的,可测函数,kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x)0)、,及,f(x)都E上的可测函数,当,1时,E(,E,)=是可测集,当,0时,E(,E,)=R是可测集,当0,0,xE,N=N(),当nN时,有f,n,(x)-f(x)0,xE,N=N(x,),当nN时,有f,n,(x)-f(x)N时,曲线列f,n,(x)的图形都在曲线 f(x)的带形邻域内.,f(x),f,n,(x),o,x,y,a,b,f,n,(x)=x,n,o,x,y,x,1,1,x,2,n=1,n=2,n=10,n=20,x,(0,1)时,f,n,(x)=x,n,0(n),f,n,(x)=x,n,0(n),N既与有关,又与x有关,要使曲线,f,n,(x)=x,n,上的对应点落到极限函数,f(x)=0的带形邻域内,在x,1,处,只要,n2即可,而在x,2,处,则要n10才行,3)f,n,(x),一致收敛于,f(x),f,n,(x)一处处敛于f(x),反之不然。例如,在点集E上,函数列f,n,(x)一致收敛于f(x),例,证明函数列,在E=0.1上一致收敛于0.,证:,定理,6(柯西定理),xE,f,n,(x)是基本列,。,0,xE,N=N(),当m,nN时,有f,m,(x)-f,n,(x)0,lim m(Exf,n,(x)-f(x)=0,f,n,(x)在集E上,依测度收敛,于,f(x),0,0,N,当nN时,有m(E(f,n,(x)-f(x)0,可测子集E,E,使m(E-E,),且f,n,(x)在E,上一致收敛于f(x),则称f,n,(x)在E上,近一致收敛,于,f(x),m,记作 f,n,(x)f(x)(n),定理10,设f,n,(x)是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列,f(x)是定义在E上的几乎处处有限的可测函数,且lim f,n,(x)=f(x)(a.e.),则,定理11,(Riesz定理)设m(E),则,f,n,(x)在E上依测度收敛于f(x),子列f,nk,(x)f,n,(x),使f,nk,(x)f(x)(a.e.)(k),(2)f,n,(x)在E上依测度收敛于f(x).(,勒贝格定理,),f,n,(x)在E上近一致收敛于f(x).(,叶果洛夫定理,),f,n,(x)几乎处处收敛于f(x),f,n,(x)近一致收敛于f(x),f,n,(x)依测度收敛于f(x),f,n,(x)中存在几乎处处收敛于f(x)的子列f,nk,(x),f,n,(x)处处收敛于f(x),f,n,(x)一致收敛于f(x),4,函数列的,各种,收敛之间的关系,