湖南省隆回县重点名校2026年元月份初三调研测试数学试题含解析.doc

湖南省隆回县重点名校2026年元月份初三调研测试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求港和港相距多少千米. 设港和港相距千米. 根据题意，可列出的方程是（ ）.
A． B．
C． D．
2．在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（　　）
A．0.34×107 B．3.4×106 C．3.4×105 D．34×105
3．如图是我国南海地区图，图中的点分别代表三亚市，永兴岛，黄岩岛，渚碧礁，弹丸礁和曾母暗沙，该地区图上两个点之间距离最短的是（　　）

A．三亚﹣﹣永兴岛 B．永兴岛﹣﹣黄岩岛
C．黄岩岛﹣﹣弹丸礁 D．渚碧礁﹣﹣曾母暗山
4．已知关于的方程，下列说法正确的是
A．当时，方程无解
B．当时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当时，方程总有两个不相等的实数解
5．在代数式 中，m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m≠0 C．m≥3 D．m≤3且m≠0
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于( )

A．30 B．40 C．60 D．80
7．计算 的结果为（　　）
A．1 B．x C． D．
8．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．1+ B．1+
C．2sin20°+ D．
9．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（　　）

A．25本 B．20本 C．15本 D．10本
10．如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　 　）

A． B．a C． D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为_____．

12．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．

13．方程组的解是________．
14．一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是____．
15．用半径为6cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm．
16．分解因式：3a2﹣12=___．
17．甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__km/h．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根．
19．（5分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；
②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．小明所求作的直线DE是线段AB的　 　；联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．

20．（8分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．

21．（10分）如图所示，点P位于等边的内部，且∠ACP=∠CBP．
(1)∠BPC的度数为________°；
(2)延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．
①依题意，补全图形；
②证明：AD+CD=BD；
(3)在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．

22．（10分）先化简，再求代数式（）÷的值，其中a=2sin45°+tan45°．
23．（12分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查了　 　名学生，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为　 　度，并补全条形统计图；
（2）此中学共有1600名学生，通过计算预估其中4部都读完了的学生人数；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读，求他们选中同一名著的概率．

24．（14分）如图，已知△ABC．
（1）请用直尺和圆规作出∠A的平分线AD（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB=AC，∠B=70°，求∠BAD的度数．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解析】
通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可．
【详解】
解：设A港和B港相距x千米，可得方程：

故选：A．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
2、B
【解析】
解：3400000=.
故选B.
3、A
【解析】
根据两点直线距离最短可在图中看出三亚-永兴岛之间距离最短.
【详解】
由图可得，两个点之间距离最短的是三亚-永兴岛.
故答案选A.
本题考查的知识点是两点之间直线距离最短，解题的关键是熟练的掌握两点之间直线距离最短.
4、C
【解析】
当时，方程为一元一次方程有唯一解．
当时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：
∵，
∴当时，方程有两个相等的实数解，当且时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C正确．故选C．
5、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
由题意可知：
解得：m≤3且m≠0
故选D．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
6、B
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．
【详解】
过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．

设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，
∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a•a=a2=48，
解得：a=1，或a=-1（舍去）．
∴AM=8，OM=6，OB=OA=1．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF=S菱形OBCA=OB•AM=2．
故选B．
本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA．
7、A
【解析】
根据同分母分式的加减运算法则计算可得．
【详解】
原式===1，
故选：A．
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则．
8、A
【解析】
连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论．
【详解】
连接OT、OC，

∵PT切⊙O于点T，
∴∠OTP=90°，
∵∠P=20°，
∴∠POT=70°，
∵M是OP的中点，
∴TM=OM=PM，
∴∠MTO=∠POT=70°，
∵OT=OC，
∴∠MTO=∠OCT=70°，
∴∠OCT=180°-2×70°=40°，
∴∠COM=30°，
作CH⊥AP，垂足为H，则CH=OC=1，
S阴影=S△AOC+S扇形OCB=OA•CH+=1+，
故选A.
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．
9、C
【解析】
设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值即可．
【详解】
解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．
故选C．
本题考查的是二元二次方程组的应用，能根据题意得出关于x、y的二元二次方程组是解答此题的关键．
10、A
【解析】
取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明∴△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】
如图，取BC的中点G，连接MG，

∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，
∴MG=CG=×a=，
∴HN=，
故选A．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、（﹣，1）
【解析】
如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵∠COE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COE=∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE=OF，OE=AF，
∵A（1，），
∴CE=OF=1，OE=AF=，
∴点C坐标（﹣，1），
故答案为（，1）．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.
12、1
【解析】
分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接OC，

由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°-∠COD=1°，
故答案为：1．
点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13、
【解析】
利用加减消元法进行消元求解即可
【详解】
解：
由①+②，得
3x=6
x=2
把x=2代入①，得
2+3y=5
y=1
所以原方程组的解为：
故答案为：
本题考查了二元一次方程组的解法，用适当的方法解二元一次方程组是解题的关键.
14、十二
【解析】
首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．
【详解】
∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴它的外角为30°，
360°÷30°＝12，
故答案为十二．
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．
15、1．
【解析】
解：设圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得1πr=，
解得r=1，
即圆锥的底面圆半径为1cm．
故答案为：1．
本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．
16、3（a+2）（a﹣2）
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．
17、3.6
【解析】
分析：根据题意，甲的速度为6km/h，乙出发后2.5小时两人相遇，可以用方程思想解决问题．
详解：由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．
设乙的速度为xkm/h
4.5×6+2.5x=36
解得x=3.6
故答案为3.6
点睛：本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、原式=，当m=l时，原式=
【解析】
先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x-1=0的根，那么m2+3m-1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可．
解：原式=
∵x2+2x-3=0， ∴x1=-3,x2 =1
∵‘m是方程x2 +2x-3=0的根， ∴m=-3或m=1
∵m+3≠0, ∴.m≠-3, ∴m=1
当m=l时，原式：
“点睛”本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入．
19、（1）线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC＝5．
【解析】
（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
（2）根据题意垂直平分线定理可得AD＝BD，得到CD＝2，又因为已知sin∠DAC=，故可过点D作AC垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF，CF，即可求出AC长.
【详解】
（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝7
∴CD＝BC﹣BD＝2，
在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝，
∴DF＝1，
在Rt△ADF中，AF＝，
在Rt△CDF中，CF＝，
∴AC＝AF+CF＝．

本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.
20、63cm.
【解析】
试题分析：（1）在Rt ACD，AC＝45，DC＝60，根据勾股定理可得AD＝ 即可得到AD的长度；（2）过点E作EF AB，垂足为F，由AE＝AC+CE，在直角 EFA中，根据EF＝AEsin75°可求出EF的长度，即为点E到车架档AB的距离；
试题解析：

21、（1）120°；（2）①作图见解析；②证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可知∠ACB=60°，在△BCP中，利用三角形内角和定理即可得；
（2）①根据题意补全图形即可；
②证明，根据全等三角形的对应边相等可得，从而可得；
（3）如图2，作于点，延长线于点，根据已知可推导得出，由（2）得，，根据 即可求得.
【详解】（1）∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，即∠ACP+∠BCP=60°，
∵∠BCP+∠CBP+∠BPC=180°，∠ACP=∠CBP，
∴∠BPC=120°，
故答案为120；
2)①∵如图1所示.

②在等边中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴；
（3）如图2，作于点，延长线于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
又由（2）得，，

.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质定理、正确添加辅助线是解题的关键.
22、，．
【解析】
先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．
【详解】
解：原式

当时
原式
考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．
23、（1）40、126（2）240人（3）
【解析】
（1）用2部的人数10除以2部人数所占的百分比25％即可求出本次调查的学生数，根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；
（2）用1600乘以4部所占的百分比即可；
（3）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
【详解】
（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14，
则扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：×360°=126°；

故答案为40、126；
（2）预估其中4部都读完了的学生有1600×240人；
（3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：

共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
故P（两人选中同一名著）==．
本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率.解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，即两个统计图都知道了哪个量的数据，从而用条形统计图中的具体数量除以扇形统计图中占的百分比，求出样本容量，进而求解其它未知的量.
24、（1）见解析；（2）20°；
【解析】
（1）尺规作一个角的平分线是基本尺规作图，根据作图步骤即可画图；
（2）运用等腰三角形的性质再根据角平分线的定义计算出∠BAD的度数即可.
【详解】
（1）如图，AD为所求；

（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
考查角平分线的作法以及等腰三角形的性质，掌握角平分线的作法是解题的关键.