1、了解定积分的实际背景,/,了解定积分的基本思想,/,了解定积分的概念,/,了解微积分基本定理的含义,2.12,定积分的概念与微积分基本定理,1,定积分,(1),定积分的定义及相关概念,一般地，给定一个在区间,a,，,b,的函数,y,f,(,x,),其图象如图所示,.,将,a,，,b,区间分成,n,份,分点为,:,a,=,x,0,x,1,x,2,x,n,-1,x,n,=,b,.,第,i,个小区间为,x,i,-,1,x,i,，设其长度为,x,i,在这个小区间上取一点,i,使,f,（,i,）在区间,x,i,-1,x,i,上的值最大，设,S=,f,（,1,）,x,1,+,f,（,2,）,x,2,+,
2、f,（,i,）,x,i,+,f,（,n,）,x,n,.,在这个小区间上取一点,i,使,f,（,i,）在区间,x,i,-1,x,i,的值最小，设,s=,f,（,1,）,x,1,+,f,（,2,）,x,2,+,f,（,i,）,xi,+,f,（,n,）,x,n,.,如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于,0,，,S,与,s,的差也趋于,0,，此时，,S,与,s,同时趋于某一个固定的常数,A,，我们就称,A,是函数,y,=,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分，记作,即,=,A.,其中,叫做,a,叫做,b,叫做,f,(,x,),叫做,.,积分号,积分的下限,积分的上限,被积函数,(2),定,积分
3、的性质,k,f,(,x,)d,x,.,.,2,微,积分基本定理,如果,f,(,x,),是区间,a,，,b,上的连续函数，并且,F,(,x,),f,(,x,),，,这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿,莱布尼兹公式,F,(,b,),F,(,a,),3,如右图所示，由三条直线,x,a,，,x,b,(,a,b,),，,x,轴及一条曲线,y,f,(,x,)(,f,(,x,),0),围成的曲边梯形的面积为,S,(1),若在区间,a,，,b,上，,f,(,x,),0,，则,S,(2),若在区间,a,，,c,上，,f,(,x,),0,；在区间,c,，,b,上，,f,(,x,),0,，,则,S,.,4,匀变速运
4、动的路程公式,作,变速直线运动的物体所经过的路程,s,，,等于其速度函数,v,v,(,t,)(,v,(,t,)0),在时间区间,a,，,b,上的定积分,，,即,.,5,变力作功公式,一,物体在变力,F,(,x,)(,单位：,N),的作用下作直线运动，如果物体沿着与,F,相,同的方向从,x,a,移动,x,b,(,a,0),当,x,0,时，,t,0,，当,x,a,时，,t,t,1,所以阻力做的功是,1,用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限，要借助于求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想,2,用微积分基本定理求定积分；关键是找到满足,F,(,x,),f
5、x,),的函数,F,(,x,),，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出,F,(,x,),3,利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分,4,在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限,【,方法规律,】,5,要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当,f,(,x,),0,时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加
6、起来,例如：当函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上恒为正时，定积分,的几何意义是以曲线,f,(,x,),为曲边的曲边梯形的面积,一般情况下，定积分 的几何意义是介于,x,轴、函数,f,(,x,),的图象以及直线,x,a,、,x,b,之间各部分面积的代数和，,在,x,轴上方的面积取正号，在,x,轴下方的面积取负号,6,体会定积分的化归和逼近的思想方法,.,(,本题满分,12,分,),(,原创题,),如下,图在区域,(,x,，,y,)|,2,x,2,0,y,4,中随机撒,900,粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数,解答：,区域,的面积为,S,1,16.,图中阴影部分的面积,设落在阴影部分的豆子数为,m,，,由已知条件,即,m,因此落在图中阴影部分的豆子约为,600,粒,【,答题模板,】,1.,定积分是通过,“,分割，求和，取极限,”,的手段，解决了,“,以直代曲,”,，,“,以有限代替无限,”,的数学问题，它揭示了整个微积分的真谛，由于其应用的广泛性，因此对定积分的考查特别值得关注,2,定积分与几何概型问题的联合考查也是值得关注的一个命题趋势，利用几何概型，通过随机模拟方法可以近似计算不规则图形的面积，本题正是这类问题的改编题,.,【,分析点评,】,点击此处进入 作业手册,
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