2026届福建省高三下学期学业质量监测数学试题试卷含解析.doc

2026届福建省高三下学期学业质量监测数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的单调递增区间为( )
A． B．
C． D．
3．正项等差数列的前和为，已知，则=（ ）
A．35 B．36 C．45 D．54
4．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:
6．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知为虚数单位，若复数，则
A． B．
C． D．
10．已知为锐角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，则集合真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
12．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在正方体中，分别为棱的中点，则直线与直线所成角的正切值为
14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.
15．若满足约束条件，则的最小值是_________，最大值是_________.
16．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；
（2）若函数在区间上恰有3个零点且，求的取值范围.
18．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.

（1）求的周长；
（2）求面积的最大值.
19．（12分）设函数.
（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，，，求证：当时，．
20．（12分）的内角所对的边分别是，且，.
（1）求；
（2）若边上的中线，求的面积.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．

（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．
22．（10分）设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx．
（1）讨论函数f(x)在[−π，π]上的单调性；
（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围.
【详解】
由题可得：（），
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.
若不等式有解，
所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，
故，
所以，
所以的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.
2．D
【解析】
先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式，从而得出的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间，可得选项.
【详解】
因为函数的最小正周期是，所以，即，所以，
的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为，
由于其图象关于轴对称，所以，又，所以所以，
所以，
因为的递增区间是：，，
由，，得：，，
所以函数的单调递增区间为（）.
故选：D.
本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.
3．C
【解析】
由等差数列通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出.
【详解】
正项等差数列的前项和，
，
，
解得或（舍），
，故选C.
本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
4．D
【解析】
根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.
【详解】
如图所示：

因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以渐近线方程为.
故选：D.
本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.
5．C
【解析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
6．D
【解析】
当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.
【详解
当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：
方程，即，即函数和有两个交点.
，，故，，，，.
根据图像知：.
故选：.

本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.
7．B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
8．D
【解析】
根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.
【详解】
解：根据题意，函数在上单调递增，
当，若为增函数，则①，
当，
若为增函数，必有在上恒成立，
变形可得：，
又由，可得在上单调递减，则，
若在上恒成立，则有②，
若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，
则需有，③
联立①②③可得：.
故选：D.
本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.
9．B
【解析】
因为，所以，故选B．
10．C
【解析】
由可得，再利用计算即可.
【详解】
因为，，所以，
所以.
故选：C.
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
11．C
【解析】
解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.
【详解】
解：由，得
所以集合的真子集个数为个.
故选：C
此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.
12．A
【解析】
双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，
∴＞3，即b1＞3a1，
∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．
则e=＞1．
∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．
故选：A．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由中位线定理和正方体性质得，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得．
【详解】
如图，连接，，，∵分别为棱的中点，∴，
又正方体中，即是平行四边形，∴，∴，（或其补角）就是直线与直线所成角，是等边三角形，∴＝60°，其正切值为．
故答案为：．

本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角．
14．24
【解析】
先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.
【详解】
解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，
若甲乙两名护士到同一地的种数有，
则甲乙两名护士不到同一地的种数有.
故答案为：.
本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.
15．0 6
【解析】
作不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出结果．
【详解】
作出可行域，如图中的阴影部分：

求的最值，即求直线在轴上的截距最小和最大时，
当直线过点时，轴上截距最大，即z取最小值，
．
当直线过点时，轴上截距最小，即z取最大值，
.
故答案为：0；6.
本题主要考查了线性规划中的最值问题，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于中档题．
16．
【解析】
画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.
【详解】
作出函数的图如下所示，

观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，故
，
故实数的取值范围为.
故答案为：
本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式. 函数奇偶性的常用结论：
(1)如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）求出，再求恒成立，以及恒成立时，的取值范围；
（2）由已知，在区间内恰有一个零点，转化为在区间内恰有两个零点，由（1）的结论对分类讨论，根据单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.
【详解】
（1）由题意得，则，
当函数在区间上单调递增时，
在区间上恒成立.
∴（其中），解得.
当函数在区间上单调递减时，
在区间上恒成立，
∴（其中），解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）.
由，知在区间内恰有一个零点，
设该零点为，则在区间内不单调.
∴在区间内存在零点，
同理在区间内存在零点.
∴在区间内恰有两个零点.
由（1）易知，当时，在区间上单调递增，
故在区间内至多有一个零点，不合题意.
当时，在区间上单调递减，
故在区间内至多有一个零点，不合题意，
∴.令，得，
∴函数在区间上单凋递减，
在区间上单调递增.
记的两个零点为，
∴，必有.
由，得.
∴
又∵，
∴.
综上所述，实数的取值范围为.
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
18．（1）12（2）
【解析】
（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义；
（2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值.
【详解】
（1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故，
因此，的周长；
（2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则，
，，，，
当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为.
此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.
19．（1）（2）见解析
【解析】
(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），时，，
，
∵在上单调递减．
∴，．
令，
，
时，；时，，
∴在上为减函数，在上为增函数．
∴，∴．
∴的取值范围为．
（2）若，，时，，
，
令，显然在上为增函数．
又，，∴有唯一零点．
且，时，，；
时，，，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴．
又，∴，，．
∴
．
，．
∴当时，．
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
20．（1），（2）
【解析】
（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；
（2）先由余弦定理得，，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.
【详解】
（1）由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
即，所以，
又因为，所以，.
（2）在和中，由余弦定理得
，.
因为，，，，
又因为，即，
所以，
所以，
又因为，所以.
所以的面积.
本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
21．（1）见解析（2）
【解析】
（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.
（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，
且，故且.所以，四边形为平行四边形.
所以，，又平面，平面，所以，平面.
（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且平面平面，平面平面，
所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，

设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，，
所以取，显然可取平面的法向量，
由题意：，所以.
由于平面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，，从而，
所以直线与平面所成的角为.
本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
22．见解析
【解析】
（1）f¢(x)=2x−4xcosx−4sinx+4sinx=，
由f¢(x)=1，x∈[−π，π]得x=1或或．
当x变化时，f¢(x)和f(x)的变化情况如下表：
x

1

f¢(x)
−
1
+
1
−
1
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
（2）由（1）得极大值为f(1)=−4；极小值为f()=f()1，
所以f(x)在，上各有一个零点．
显然x∈(π，2π)时，−4xsinx>1，x2−4cosx>1，所以f(x)>1；
x∈[2π，+∞)时，f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1，
所以f(x)在(π，+∞)上没有零点．因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x)，
所以f(x)为偶函数，
从而x<−π时，f(x)>1，即f(x)在(−∞，−π)上也没有零点．
故f(x)仅在，上各有一个零点，即f(x)在R上有且仅有两个零点．