高中数学新课程国家级培训资料 概率 新课标 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目标,（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别,（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式,（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率,（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义,（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。,定位,在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，结合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率。,结构,概 率,对概率概念的理解：,在数学上概率是用公理化的形式定义的,.,各种教科书中出现的概率统计定义,古典概率定义,几何概率定义都是一些描述性的说法,教师不应该过分地去揣摩,探究那里的用语,而应理解其实质,.,概率的统计定义通常可以这样叙述：,:,在相同的条件下做大量的重复试验,一个事件出现的次数,k,和总的试验次数,n,之比,称为这个事件在这,n,次试验中出现的频率,.,当试验次数,n,很大时,频率将稳定在一个常数附近,n,越大,频率偏离这个常数大的可能性越小,.,这个常数称为该事件的概率,.,概 率,对概率概念的理解应该从整体上把握,重要的是掌握以下几点,:,我们所讨论的现象是可以做重复试验的,.,并非所有不确定现象都是概率论研究的对象,.,频率和概率的关系,.,频率是随机的,是这,n,次试验中的频率,.,换另外,n,次试验一般说频率将不同,.,而概率是一个客观存在的常数,.,概率反映的是多次试验中频率的稳定性。,出现频率偏离概率较大的情形是可能的,.,这是随机现象的特性,.,例题,（掷硬币问题）,把一个均匀硬币掷,100,次出现,50,次正面的概率有多大？,解,具体的计算学生和老师都会，这里就不说了。答案是，出现,50,次正面的概率为,例题,在教学中，有些老师（包括某些教科书）在给出答案时，只给出上式的左边，不算出其数值，以为数值是近似的，不如左边的公式解严格。但是，我们在学习概率时，如果不能了解我们讨论的事件发生的大小，是很难真正理解随机现象的。许多时候，近似的数值解比抽象的公式解更说明问题。,例题,我们知道，掷一个均匀硬币，出现正面的概率是,0.5,。有人以为，掷,100,次应该出现,50,次正面。为什么这件事发生的概率只有,0.08,，和想象相差甚远。好像均匀硬币不应该有这样的结果。你学过了概率的统计定义，该如何解释这一结果呢？,例题,事实上，一个事件的概率,0.5,是指，在大量重复试验中，该事件出现的频率稳定在,0.5,（即在,0.5,附近，偏离,0.5,很大的可能性极小），并非每两次试验中出现一次。那么，掷,100,次均匀硬币出现,50,次正面的概率，也应该理解为，做大量重复试验，即多次地掷,100,次硬币，出现,50,次正面的频率应稳定在,0.08,。,例题,下面是一个模拟试验结果（选自,W.,费勒的概率论及其应用）。做了,100,次试验（在这里，我们把掷,100,个均匀硬币看成是一次试验），每次出现正面个数如下：,例题,54 46 53 55 46 54 41 48 51 53,48 46 40 53 49 49 48 54 53 45,43 52 58 51 51 50 52 50 53 49,58 60 54 55 50 48 47 57 52 55,48 51 51 49 44 52 50 46 53 41,49 50 45 52 52 48 47 47 47 51,43 47 41 51 49 59 50 55 53 50,53 52 46 52 44 51 48 51 46 54,43 47 46 52 47 48 59 57 45 48,47 41 51 48 59 51 52 55 39 41,例题,我们看到，掷,100,个均匀硬币不一定出现,50,个正面。可以出现,54,个正面，也可以出现,46,个正面，等等。在上述,100,次试验中，出现,50,个正面的有,7,次。即掷,100,次均匀硬币出现,50,次正面的频率是,0.07,，和理论上的值,0.08,相差不大。,例题,（彩票中奖问题）设发行的彩票中奖率是,0.001,。假定发行的彩票数量巨大，以至于不论别人无论买多少彩票都不会改变你抽奖时的中奖率。求买,n,张彩票时中奖的概率。特别地，由于中奖率是千分之一，买,1000,张彩票中奖概率是否接近于,1,。,例题,解,令,X,为,n,张彩票中中奖的彩票数。由题设，可认为,X,的分布为,此时，买,n,张彩票中奖的概率为,同样，我们不应该只停留在该问题的公式解。利用公式可以得到下表给出的数值结果：,n 1000 2000 3000 4000 5000,p,n,0.632 0.865 0.950 0.982 0.993从这表可以看到，中奖率千分之一的彩票，买,1000,张中奖的概率只有,63.2%,，而不是接近,1,。,例题,在这问题中，公式和上表的数值结果比，后者说明问题更清楚。比如数值表还告诉我们，买,3000,张彩票中奖率已到达,95%,，再多买,2000,张（共,5000,张）中奖率只增加了,4.3%,。这无疑对如何购买彩票有参考价值。,例题,那么，中奖率千分之一的彩票，买,1000,张中奖的概率只有,63.2%,，而不是接近,1,。又该如何解释呢？,例题,和例,1,的讨论是一样。在那里我们说明了，尽管硬币是均匀的，但掷,100,次不一定出现,50,次正面，其概率只有,0.08,。在这里我们说明的是，在发行彩票中，当中奖彩票张数占发行彩票张数的千分之一（即中奖率为千分之一）时，如果许多人都买,1000,张彩票，那么，有的人可能买到一张中奖的彩票，有的人可能买到两张中奖的彩票，,等等，也有人一张中奖的彩票也没买到。其中约有,63%,的人买到了中奖的彩票，中了奖。换句话说，在买,1000,张彩票的人中，中奖的频率应稳定在,63%,左右。,例题,在我们学习概率论时，不应该简单地套公式；而应该理解问题的背景和意义。希望通过这两个例子能更好地理解概率的统计定义。,概 率,事件的互斥和独立,在中学概率的教学中,事件的互斥,(,互不相容,),互逆,(,对立,),独立,常常被重点讨论,.,就实质来说,互斥,互逆,不是概率论的概念,.,它们的定义和概率无关,.,这里最重要的概念是事件的独立性。,教师应通过具体问题的讨论让学生加深对随机思想的理解。,培养学生的随机意识是一个长期的过程。在我们的教学中要特别强调这一点，而不要把概率统计讲成单纯的计算。,概 率,对古典概率模型的认识,需要明确的是古典概率是一类数学模型,.,并非是现实生活的确切描述,.,同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决,.,在古典概率的问题中,关键是要给出正确的模型,.,一题多解体现的恰是多个模型,.,而不应该在排列组合上玩花样,作难题,.,习题应给出数值解,让学生能看到概率的大小,根据实际问题体会其意义。,关于古典概型,古典概型的引入是为了加强学生对随机思想的认识而不是计数。,问题,不讲排列组合能不能讲概率？,这里只要求用列举法可以数出基本事件的个数，教学中不要把重点放在“如果计算基本事件的个数”上特别不要补充两个基本计算原理，通过排列、组合的计数方式去计算基本事件,例题,例如抽签与顺序无关的问题,两个黑球和两个白球除颜色外均相同。现将球依次取出，求第二次取到黑球的概率。,解法一 把这四个球编号，例如黑球编号为,1,、,2,，白球编号为,3,、,4,，把这四个球依次取出有,432=24,种可能。,第二次取到黑球有,232=12,种可能。,则第二次取到黑球的概率为,解法二 只需考虑取到前两个球时的情况,从四个球中依次取出两个有,43=12,种可能,第二次取到黑球有,23=6,种可能,则所求概率为,解法三 不考虑球的编号，把,4,个球依次取出，相当于在,4,个位置上放两个相同的黑球和两个相同的白球，一共有,6,种放法,其中第二个位置放黑球有,3,种放法,则所求概率为,解法四 只关心第二次取到的球，无非是,1,、,2,、,3,、,4,号球,4,种可能。,取到黑球即：取到第,1,或第,2,号球,则所求的概率为,几何概型,首先应该明确几何概型，和古典概型一样，是一个数学模型。一个实际问题可以用这种模型去解决，也可以用别的模型去解决。例如，两条相互垂直的直径把圆分成四个全等的区域，向圆内随机地掷一点，求该点落在这四个区域中的某一特定区域的概率。这个问题，可以用几何概型求解，也可以用古典概型求解。,几何概型,有人把几何概型说成是：无限多个等可能的结果。他们说，古典概型和几何概型的区别是：前者只有有限多个结果，后者有无限多个结果；它们的相同点是：结果的出现都是等可能的。这种说法是不合适的。,几何概型,因为所有的连续型随机变量，例如服从正态分布的随机变量，取每个值的概率都是零。即连续型随机变量取每个值都是,等可能,的，都可以说是,无限多个等可能的结果,。但它们大多数都不属于几何概型。学过初等概率论的人都清楚：几何概型指的是均匀分布，即分布密度（在一个有限区域上）是常数，这种最简单的连续型分布。由于这种情形可以简单地用几何方法来处理，在历史上出现的较早，因此，被称为几何概型。,几何概型,有人以为几何概型只是解决几何中的概率问题。其实，它是用几何的方法来解决现实中可以用均匀分布来描述的概率问题。例如，人们熟知的会面问题。而这样的问题很多，是很大的一类问题。以为几何概型只是解决几何问题，那就把几何概型的作用想的太狭窄了。,利用几何概型可以很好地给出随机模拟的思想。随机模拟的思想十分重要，老师应给予充分的重视。,概 率,随机模拟,在我们的教材中，对模拟的思想给予了特别的关注。这个思想十分重要。,例如，若晚报的到达时间，在晚上六点到七点之间是等可能的。吃晚饭的时间在五点半到六点半之间，也是等可能的。求晚报在吃晚饭之前到达的概率，就可以用随机模拟的方法来估计。,概率（选修）,定位,学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。,概率（选修）,主要内容,随机现象与随机变量,随机变量与分布列,二项分布,超几何分布,随即变量的均值和方差,正态分布,分布,在概率论中，最重要的概念是分布。作为中学教材的整体，教师应对分布、均值、方差的意义有一个较全面的了解。分布的具体讲授，教师应没有困难。这里不再多说,。下面谈谈为什么分布那么重要。,分布,因此，了解一个随机现象是指，知道,（,1,）这随机现象中所有可能出现的结果；,（,2,）每个结果出现的概率。,知道了这两点，就说对这随机现象研究清楚了。我们不可能了解得比这更多。,随机变量,对于给定的随机现象，首先要描述所有可能出现的结果。在数学上处理时，一个常用的、很自然的做法是：用数来表示结果。即把每个结果对应一个数。这样做的结果，从数学上讲就是，建立了一个从试验结果的集合到实数集合的映射。这个映射称为随机变量。,随机变量,有人从字面上解释随机变量，说随机变量是取值随机的变量。把随机变量等同于自变量、因变量，这是不对的。随机变量是函数，是映射。因此，所谓随机变量就是把每一个结果用一个数表示的数学说法。,随机变量,一旦给出了随机变量，即把每个结果都用一个数表示后,，了解随机现象，就变成了解这随机变量所有可能的取值和取每个值的概率。,如果这随机变量的取值是离散的，不难看出，,了解了它的分布列就了解了这随机变量的所有取值和取值的概率，从而了解了这随机现象。换句话说，分布列完全描述了随机现象的规律,。,随机变量的数字特征,首先应该让学生清楚数学期望，方差等都是数。它们没有随机性,.(,分布也是如此,.),。它们是用来刻画随机现象的。（这和样本的数字特征：样本均值、样本方差等完全不同，样本数字特征是随机的，它们是用来估计随机变量的数字特征的。严格说，数学期望，方差等都是数；而样本均值、样本方差等是随机变量。样本均值、样本方差等随机变量应该有它们自己的分布、均值、方差。）,随机变量的数字特征,我们知道分布完全描述了随机变量的规律。从而它也完全确定了随机变量的数字特征,(,这由这些数字特征的定义即可知道,),。反过来，仅仅知道数字特征是无法确定分布的。从这个意义上说，分布远比数字特征重要。,随机变量的数字特征,数字特征的重要性在于，它们有非常明确的含义，反映了随机变量的重要信息。在许多情形，人们往往不需要知道随机变量的分布，只需要知道它的数字特征。例如，考察某一县的小麦产量，通常并不关心小麦亩产量六百二十斤到六百三十斤有多少，六百三十斤到六百四十斤有多少，等等。只关心该县的平均亩产量。另外，如前所述，在随机决策的问题中，我们通常是考虑数字特征的最大值、最小值。,随机变量的数字特征,另一方面，人们有时得不到随机变量的分布，退而求其次，只能设法寻求其数字特征。或者，在确定分布时，往往是先确定分布所在的类，然后再确定分布的参数，而参数通常是由数字特征决定的。,概 率,概率的应用,如果你是一个卖晚报的,不论你批发进多少份报纸都无法保证今天你的利润最大,只能要求每天的平均利润达到最大,.,在确定性现象的优化问题中人们要求取得最大值或最小值,例如,利润最大,成本最小等等,.,在随机决策中,我们只能要求平均利润最大,平均成本最小等等,.,就某一次具体的交易来说,采用使平均利润最大的策略并不能保证比不采用该策略的利润大,.,完全可能利润还小,.,但它保证多次采用该策略能使平均利润最大,.,因此,它确实对人们的活动有着指导意义,.,