微积分下第一分册8.3-8.5.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、偏导数的定义及其计算法,在研究一元函数时，从研究函数的变化率,引入了导数的概念，,它的变化率。,首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，,就是我们下面的偏导数概念。,由于多元函数不止一个自变量，,对于多元函数同样需要讨论,因此,8.3,偏导数与全微分,定义,:,即,存在，,设函数,在点,的某一邻,域内有定义，,处对,的,偏导数,，,1.,偏导数的定义,在点,则称,此极限为函数,记为,固定,后，,在点,=,处可导,当,一元函数,或,同理可定义,:,函数,的偏导数,为,记为,在点,处对,或,=,解,就是,x,、,y,的函数，,自变量,x,的,偏导数,.,如果函数,在区域,内任一点,处对,x,的偏导数都存在，,那么这个偏导数,),(,y,x,f,z,=,对,它就称为函数,如,，设,求,记作,同理可以定义函数,),(,y,x,f,z,=,对自变量,y,的偏导,数，,记作,从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数,并不需要新的方法，,数时，,则,所以，,对,的偏导就是,的导数。,于是，,一元函数的求导公式和求导法则都可以,移植到多元函数的偏导数的计算上来。,对,的偏导,如计算,视为常数，,因为已将,故若令,（）,（）,求分界点、不连续点处的偏导数要用,有关偏导数的几点说明：,偏导数的概念可以推广到二元以上函,数，,如 在 处,定义,求；,偏导数,是一个整体记号，,不能拆分,;,（,3,）,与 不同。,解,例,1,求,在点,处的偏导数,解,例,2,求三元函数,的偏导数。,例,3,解,按定义可知：,多元函数中在某点偏导数存在,连续。,一元函数中在某点可导,连续；,但函数在该点处并不连续,.,偏导数存在 连续,.,2,、偏导数存在与连续的关系,连续 偏导数存在,(,不能,),例如,如图,3,、偏导数的几何意义,演示,几何意义,:,偏导数,就是曲面 被平面,所截得的曲线,的,斜率,.,处的,切线,对,轴,在点,偏导数,就是曲面被平面,所截得的曲线,的,斜率,.,处的,切线,对,轴,在点,引例：,设矩形的长、宽分别用,表示，,则矩形的,面积,为,若测量,时产生的误差为,则该矩形面积,产生的误差为,上式右端包含两部分，,它是,关于,的线性函数,一部分是,二、,全微分,称为,线性主部,；,是比,高阶的无穷小，,因此略去高阶无穷小，,而用,近似表示,称,为函数,在,处的,全微分,。,另一部分是,当,即,时,(,一,),定义,如果函数,),(,y,x,f,z,=,在点,的改变量,),(,),(,f,y,x,f,z,-,D,+,D,+,=,D,可以表示为,其中,B,A,不依赖于,y,x,D,D,而仅与,有关，,2,2,),(,),(,y,xD,+,D,=,r,，,则称函数,),(,y,x,f,z,=,在点,),(,可微分，,y,B,x,A,D,+,D,称为函数,),(,y,x,f,z,=,即,dz,=,y,B,x,A,D,+,D,.,r,y,B,x,A,z,+,D,+,D,=,D,在点,),(,的,全微分,，,记为,dz,，,其中线性主部,若函数在某区域,D,内各点处处可微分，,则称这函数在,D,内可微分,.,),(,y,x,f,z,=,),(,如果函数,在点,可微分,则,函数在该点连续。,（二）、可微的条件,定理,1,（,必要条件,）,定理,2,（,必要条件,）,则该函数在点,),(,y,x,的偏导数,x,z,、,y,z,必存在，,为,),(,y,x,可微分，,),(,y,x,f,z,=,在点,),(,y,x,的全微分,且函数,),(,y,x,f,z,=,在点,如果函数,记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,习惯上，自变量的增量,分别记作,分别称为自变量,的微分。,解,所求全微分,例,1,计算函数,在点,),1,2,(,处的全微分,.,.,解,:,例,2,求函数,当,时的全微分,.,解,:,所求全微分,例,3,计算函数,的全微分,.,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。,多元函数连续、可偏导、可微的关系,函数连续,函数可微,偏导数连续,函数可偏导,（三）、全微分在近似计算中的应用,也可写成,都较小时，,连续，,个偏导数,f,f,y,x,),(,),(,的两,在点,当二元函数,P,y,x,f,z,=,),(,),(,y,x,D,D,且,有近似等式,解,由公式得,设函数,例,4,计算,的近似值,.,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,多元函数连续、可偏导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,三、小结,8.4,多元复合函数微分法与隐函数微分法,1,、链式法则,2,、全微分形式不变性,一、链式法则,导，,导数，,可导，,定理,在对应点,具有连续偏,函数,在对应点,则复合函数,且其导数可用下列公式计算：,及,都在点,可,如果函数,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,.,如,例,1,设,求,解,这里最终将,表示为,的函数。,注,：,例,2,设,求,解,点,),(,v,u,具有连续偏导数，,导数存在，,如果,及,都在点,具有对,和,的偏导数，,在对应点,的两个偏,且可用下列公式计算,则复合函数,在对应,且函数,链式法则,定理还可推广到中间变量不是一元函数而是,多元函数的情况：,上述链式法则如图示,类似地再推广，,),(,y,x,w,w,=,都在点,),(,y,x,具有对,x,和,y,的偏导数，,函数,),(,),(,),(,y,x,w,y,x,y,x,f,z,y,f,=,在对应点,)y,x,两个偏导数存在，,x,w,w,z,x,v,v,z,x,u,u,z,x,z,+,+,=,y,w,w,z,y,v,v,z,y,u,u,z,y,z,+,+,=,.,复合,且可用下列公式计算,),(,y,x,u,f,=,、,),(,y,x,v,y,=,、,设,解,例,3,设,，而,求,和,例,4,设,求,在,的值。,解,因,时，,特殊地,即,令,其中,两者的区别,区别类似,例,6,设,，而,求,解,这里的变量,既是复合函数的自变量，,又是中间变量。,免出现记号的混淆，,引入记号,则,为了避,先,二、全微分形式不变性,设函数,),(,v,u,f,z,=,具有连续偏导数，,dv,;,v,z,du,u,z,dz,+,=,当,),(,y,x,u,f,=,、,),(,y,x,v,y,=,时，,则有全微分,dy,y,z,dx,x,z,dz,+,=,.,有,无论 是自变量 的函数或中间变量,的函数，,全微分形式不变性的实质：,多元函数,全微分形式不变性。,这一性质称为,都有,例,7,设,求全微分,解,两边求全微分，,即,同时得到：,利用全微分形式的不变性，可得,解,例,8,已知,，求,和,隐函数微分法,隐函数的求导公式,且函数,具有连续,确定隐,函数,y,x,F,F,dx,dy,-,=,（,1,）,的偏导数，,则当 时,，有隐函数求导公式,解,令,则,例,1,方程,唯一确定,隐函数,求这函数的一阶导,数。,解,令,则,例,2,已知,求,若函数,有连续的偏导数,;,且 时，,z,x,F,F,x,z,-,=,，,z,y,F,F,y,z,-,=,.,)=0,(,z,y,x,F,所确定的二元隐函数,由方程,),(,z,y,x,F,有偏导数公式：,解,令,则,求,例,3,设,方程,确定函数,8.5,高阶偏导数,设函数,在区域,内具有偏导数,于是在,内,、,都是,的函数。,若这两个函数的偏导数存在，,的,二阶偏导数,。,则称它们是函数,纯偏导,混合偏导,定义：,二阶及二阶以上的偏导数统称为,高阶偏导数,.,解,设,，,求,例,1,例,2,设,by,e,u,ax,cos,=,，求二阶偏导数,.,解,问题：,混合偏导数都相等吗？,定理,若函数,的两个二阶混合偏导数,这两个二阶混合偏导数必,相等,则在该区域内，,连续,及,在区域,内,