第四章图象处理中的正交变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 图象处理中的正交变换,空域处理法,频域（变换域）处理法,在频域处理中最为关键的预处理就是变换处理。这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件。,在图象处理中正交变换被广泛应用于图象特征提取、图象增强、图象复原、图象识别、图象编码等处理中。,本章的几个重要问题,空间域图像变换到频域的具体实现（图像离散傅立叶变换与反变换公式）,频域图像的表达特点与理解（经中心变换后，低频在内，高频在外）,对频域低通滤波的理解,对频域高通滤波的理解,频域变换,:,理论基础,理论基础,线性系统,卷积与相关,线性系统,线性系统,系统,的定义：,接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。,系统的输入是一个或两个变量的函数，输出,是相同变量的另一个函数。,x(t),输入,系统,y(t),输出,线性系统,线性系统,的定义：,对于某特定系统，有：,x1(t)y1(t),x2(t)y2(t),该系统是线性的当且仅当：,x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t),从而有：,a*x1(t)a*y1(t),线性系统,线性系统,平移不变性,的定义：,对于某线性系统，有：,x(t)y(t),当输入信号沿时间轴平移,T,，,有：,x(t-T)y(t-T),则称该线性系统具有平移不变性,卷 积,卷积,卷积的定义,离散一维卷积,二维卷积的定义,离散二维卷积,卷积,的定义,对于一个线性系统的输入,f(t),和输出,h(t),，,如果有一个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的分析，将大有帮助,卷积积分就是这样的一般表达式,h(t),=,g(,t,-),f(),d,记为：,h=g*f,-,g(t),称为,冲激响应函数,离散一维卷积,h(i),=,f(i)*g(i),=,f(j)g(i-j),j,二维卷积的定义,h(x,y)=f*g,=,f(u,v)g(x u,y,v)dudv,-,离散二维卷积,h(x,y)=f*g,=,f(m,n)g(x m,y n),m n,傅立叶变换,周期函数可以表示为不同频率的正弦和,/,或余弦和的形式,非周期函数可以用正弦和,/,或余弦乘以加权函数的积分来表示,这,种情况下的公式就是傅立叶变换,傅立叶变换,一维连续傅立叶变换：几个概念,假设函数,f(x),为实函数。但一个实函数的傅立叶变换可能为复函数：,F(u)=R(u)+,jI(u,),（,1,）,傅立叶变换的幅度或频率谱：,|F(u)|=R,2,(u)+I,2,(u),1/2,（,2,）,傅立叶变换的功率谱,/,能量谱,：,P(u)=|F(u)|,2,=R,2,(u)+I,2,(u),傅立叶变换,傅立叶变换,一维连续傅立叶变换：几个概念,（,3,）傅立叶变换的,相位谱,：,(u)=tan,-1,(I(u)/R(u),（,4,）,傅立叶变换中的变量,u,通常称为,频率变量,这个名称源于欧拉公式中的指数项,exp-j2,ux=cos2,ux -jsin2,ux,（,exp j a=,cosa,-,jsina,）,如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，则易推出,F(u),是一组,sin,和,cos,函数项的无限和，其中,u,的每个值决定了其相应,cos,sin,函数对的频率。,先以一维为例：,傅立叶变换,二维傅立叶变换的性质,2.,平移性,移中性,直接变换：,原图像,f,（,x,，,y,）,FT,能量分布于四角（示意图）,移中的变换：,移中,FT,能量集中于中心（示意图）,傅立叶变换,二维傅立叶变换的性质,2.,平移性,频域图像（幅度谱）,原图像,幅度谱（频率谱）中每一点,(u,v),的幅度,|,F(u,v)|,可用来表示该频率的正弦（余弦）平面波在叠加中所占的比例。,均值性,均值性的描述：,离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在,(0,0),点的值,M-1N-1,F(0,0)=1/MN,f(x,y)e,0,x=0 y=0,周期与共轭对称,周期性的描述：离散傅立叶变换,DFT,和它的逆变换是以,N,为周期的,对于一维傅立叶变换有：,F(u)=F(u+N),对于二维傅立叶变换有：,F(u,v)=F(u+M,v+N),周期与共轭对称,共轭对称性的描述：,傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数,对于一维傅立叶变换有：,F(u)=F*(-u),对于二维傅立叶变换有：,F(u,v)=F*(-u,-v),*,表示对于复数的标准共轭操作,快速傅立叶变换（,FFT,）,及编程实现,离散余弦变换,沃尔什变换,哈尔函数及哈尔变换,斜矩阵与斜变换,小波变换,快速算法（,Mallat,算法）,频域增强,频域增强的理论基础,卷积理论,被处理图象,f(x,y),变换函数,h(x,y)/*,线性、位置无关操作,目标图象,g(x,y),有卷积：,g(x,y)=h(x,y)*f(x,y),有等式：,G(u,v)=H(u,v)F(u,v),有等式：,g(x,y)=,F,-1,H(u,v)F(u,v),频域增强的原理,频率,平面与图象,空域,特性的,关系,图象,变化平缓的部分,靠近频率平面的圆心，这个区域为,低频区域,图象中的,边、噪音、变化陡峻的部分,，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为,高频区域,频域增强的原理,变化平缓部分,边、噪音、变化陡峭部分,u,v,频域增强的处理方法,对于给定的图象,f(x,y),和目标，,用（,-1,）,x+y,*f(x,y),进行中心变换,计算出它的傅立叶变换,F(u,v),选择一个变换函数,H(u,v),，,计算,H(u,v)F(u,v),(,注意：并非到空域找,),计算出它的反傅立叶变换,用（,-1,）,x+y,乘以上面结果的实部，得目标图像,H(uv),被称为滤波器,陷波滤波器（带阻）,离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在,(0,0),点的值,M-1N-1,F(0,0)=1/MN,f(x,y)e,0,x=0 y=0,H(u,v)=0,(u,v)=(M/2,N/2),1,else,SEM,即扫描电子显微镜图片,频域增强与空域模板增强的关系,卷积的离散表达式，基本上可以理解为模板运算的数学表达方式,M-1 N-1,g(x,y)=f*h=,f(m,n)h(x m,y n),m=0 n=0,因此，卷积的冲击响应,h(x,y),，,被称为,空域卷积模板,，这种称谓仅在模板相对中心原点是对称的时，才是成立的,频域增强与空域增强的关系,在实践中，小的空间模板比傅立叶变换用得多得多，因为它们易于实现，操作快捷。,对于很多在空域上难以表述清楚的问题，对频域概念的理解就显得十分重要（如压缩,),图像增强,:,频域过滤,频域过滤器,低通过滤,高通过滤,同形过滤器,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,低通过滤,频域低通过滤的基本思想,理想低通过滤器,Butterworth,低通过滤器,高斯低通过滤器,图像增强,:,频域过滤,频域低通过滤的基本思想,G(u,v)=F(u,v)H(u,v),F(u,v),是需要钝化图像的傅立叶变换形式,H(u,v),是选取的一个过滤器变换函数,G(u,v),是通过,H(u,v),减少,F(u,v),的高频部分来得到的结果,运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器,理想低通过滤器的定义,理想低通过滤器截止频率的设计,理想低通过滤器的分析,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的定义,一个二维的理想低通过滤器（,ILPF,）,的转换函数满足（是一个分段函数）,其中：,D,0,为截止频率,D(u,v),为距离函数,D(u,v)=(u,2,+v,2,),1/2,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的透视图,图像显示、截面图,H(u,v),作为距离函数,D(u,v),的函数的截面图,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的截止频率的设计,先求出总的信号能量,P,T,：,其中：,p(u,v)=|F(u,v)|,2,=R,2,(u,v)+I,2,(u,v),是能量模,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的截止频率的设计,如果将变换作中心平移，则一个以频域中心为原点，,r,为半径的圆就包含了百分之,的能量,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的截止频率的设计,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的截止频率的设计,求出相应的,D,0,r=D,0,=(u,2,+v,2,),1/2,上面例子：,D,0,=5,15,30,80,230,=92,94.6,96.4,98,99.5,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的分析,整个能量的,90被一个直径为,8,的小圆周包含,大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的,10%,的能量中,小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多,0.5%,的能量中,被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果,理想低通滤波器的一种特性所影响,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,理想低通过滤器的分析,振铃效果,理想低通滤波器的一种特性,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,低通过滤器,Butterworth,低通过滤器的定义,Butterworth,低通过滤器截止频率的设计,Butterworth,低通过滤器的分析,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,低通过滤器的定义,一个截止频率在与原点距离为,D,0,的,n,阶,Butterworth,低通过滤器（,BLPF,）,的变换函数如下：,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,低通过滤器的截面图等,H(u,v),作为,D(u,v)/D,0,的函数的截面图,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,过滤器截止频率的设计,变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分,通常把,H(u,v),开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率点,有两种选择：,选择,1,：,H(u,v)=0.5,当,D,0,=,D(u,v),时,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,过滤器截止频率的设计,选择,2,：,H(u,v)=1/,2,当,D,0,=,D(u,v),时,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,低通过滤器的分析,在任何经,BLPF,处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果,低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,低通过滤器的分析,BLPF,处理过的图像中都没有振铃效果,图像增强,:,频域过滤,高斯低通过滤器,图像增强,:,频域过滤,高斯低通过滤器,没振铃,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,高通过滤,频域高通过滤的基本思想,理想高通过滤器,Butterworth,高通过滤器,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,频域高通过滤的基本思想,G(u,v)=F(u,v)H(u,v),F(u,v),是需要锐化图像的傅立叶变换形式。,目标是选取一个过滤器变换函数,H(u,v),，,通过它减少,F(u,v),的低频部分来得到,G(u,v),。,运用傅立叶逆变换得到锐化后的图像。,图像增强,:,频域过滤,理想高通过滤器,理想高通过滤器的定义,理想高通过滤器截止频率的设计,理想高通过滤器的分析,图像增强,:,频域过滤,理想高通过滤器的定义,一个二维的理想高通过滤器（,IHPF,）,的转换函数满足（是一个分段函数）,其中：,D,0,为截止频率,D(u,v),为距离函数,D(u,v)=(u,2,+v,2,),1/2,0,1,图像增强,:,频域过滤,理想高通过滤器的截面图,0,D,0,D(,u,v,),H(,u,v,),1,H(u,v),作为距离函数,D(u,v),的函数的截面图,图像增强,:,频域过滤,理想高通过滤器的三维透视图,v,u,H(,u,v,),H(u,v),作为,u,、,v,的函数的三维透视图,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,高通过滤器,Butterworth,高通过滤器的定义,Butterworth,高通过滤器截止频率设计,Butterworth,高通过滤器的分析,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,高通过滤器的定义,一个截止频率在与原点距离为,D,0,的,n,阶,Butterworth,高通过滤器（,BHPF,）,的变换函数如下：,D,0,/D(u,v),图像增强,:,频域过滤,Butterworth,高通过滤器的截面图,0,2,D(,u,v,)/D,0,H(,u,v,),1,H(u,v),作为,D(u,v)/D,0,的函数的截面图,1,3,0.5,图像增强,:,频域过滤,Butterworth,高通过滤器截止频率设计,变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分,通常把,Hu,v),开始小于其最大值（,1,）的一定比例的点当作其截止频率点,有两种选择：,选择,1,：,H(u,v)=0.5,当,D,0,=,D(u,v),时,D,0,/D(u,v),图像增强,:,频域过滤,Butterworth,高通过滤器截止频率设计,选择,2,：,H(u,v)=1/,2,当,D,0,=,D(u,v),时,D,0,/D(u,v),D,0,/D(u,v),图像增强,:,频域过滤,Butterworth,低通过滤器的分析,问题：低频成分被严重地消弱了，使图像失去层次,改进措施：,加一个常数到变换函数,H(u,v)+A,这种方法被称为,高频强调,为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为,后过滤处理,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,高斯高通过滤器,图像增强,:,频域过滤,同形过滤器,同形过滤器的基本思想,同形过滤器的定义,同形过滤器的效果分析,图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的基本思想,一个图像,f(x,y),可以根据它的明度和反射分量的乘积来表示,f,(,x,y,)=,i,(,x,y,),r,(,x,y,),其中：,i,(,x,y,),为明度函数，,r,(,x,y,),反射分量函数,通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现,图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的定义,因为两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的，也即：,Ff(x,y)Fi(x,y)Fr(x,y),然而假设我们定义,z(x,y)=,ln,f(x,y),=,ln,i(x,y)r(x,y),=,ln,i(x,y)+,ln,r(x,y),图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的定义,那么有：,Fz(x,y)=,Fln,f(x,y),=,Fln,i(x,y)+,Fln,r(x,y),或,Z(u,v)=I(u,v)+R(u,v),其中,I(u,v),和,R(u,v),分别是,ln,i(x,y),和,ln,r(x,y),的傅立叶变换,图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的定义,用过滤器函数,H(u,v),的方法处理,Z(u,v),，,有：,S(u,v)=Hu,v)Z(u,v),=H(u,v)I(u,v)+H(u,v)R(u,v),其中,S(u,v),是结果图像的傅立叶变换,在空域中：,s(x,y)=F,-1,S(u,v),=F,-1,H(u,v)I(u,v)+F,-1,H(u,v)R(u,v),图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的定义,通过设：,i,(x,y),=F,-1,H(u,v)I(u,v)r,(x,y),=F,-1,H(u,v)R(u,v),上页等式可以表示为：,s(x,y)=i,(x,y)+r,(x,y),最后，通过,i,(x,y),和,r,(x,y),的逆操作（指数操作）产生增强后的图像,g(x,y),图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的定义,也即：,g(x,y)=exps(x,y),=expi,(x,y)expr,(x,y),=i,0,(x,y)r,0,(x,y),其中,i,0,(x,y)=expi,(x,y),和,r,0,(x,y)=expr,(x,y),是输出图像的明度和反射分量。,g,0,(x,y),=i,0,(x,y)r,0,(x,y),图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的定义,利用前述概念进行增强的方法可以归纳为：,这个方法基于一类称作同形系统的特殊情况。在此特定应用中，,问题的关键在于将明度和反射分量用进行分离,。,同形过滤器函数,H(u,v),能够分别对这两部分进行操作。,ln,FFT,H(u,v),(FFT),-1,exp,f,(,x,y,),g,(,x,y,),图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的效果分析,图像的,明度分量,的特点是,平缓的空域变化,，而,反射分量,则近于,陡峭的空域变化,这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的,低频部分,对应于,明度分量,，而,高频部分,对应于,反射分量,尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但它们可以用于优化图像的增强操作,图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的效果分析,一个好的控制可以通过用同形过滤器对明度和反射分量分别操作来得到,这个控制要求指定一个过滤器函数,H(u,v),，,它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的,图像增强,:,频域过滤,同形过滤器的截面图,0,D(,u,v,),H(,u,v,),1,H(u,v),作为,D(u,v),的函数的截面图,H,L,图像增强,:,频域过滤,同态过滤器的效果分析,如果参数,L,和,H,的选取使得,L,1,前图所示的过滤器函数将减少低频部分、扩,大高频部分，最后的结果将是既压缩了有效,范围，又扩大了对比度。,图像增强,:,频域过滤,图像增强,:,频域过滤,从频域规范产生空域模板,频域变换到空域模板的基本思想,频域变换到空域模板的关系式推导,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的基本思想,希望用空域模板来模拟一个给定频域过滤器的方法,频域的过滤器操作基于以下等式：,G(u,v)=H(uv)F(u,v),频域的过滤器操作可以由空域上的卷积公式实现：,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,h,通常称作空域卷积模板,可理解为,H(u,v),的逆傅立叶变换。,这里已经找到了,H,与,h,的关系,。,h,=,H,-1,(,u,v,),也即：,且：,g=G,-1,(u,v),u,v,=0,1,2,N,-1,（,N,太大,不是实用模板,）,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,假设,h,(,x,y,),在,x,n,且,y,n,时值均为,0,，其中,nn,且,y,n,时值均为,0,，其中,nN,。,这个限制创建了一个,n*n,大小的用傅立叶变换,H,(u,v,),得到的卷积模板,h,(,x,y,)=,N x N,n x n,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,其中：,是一个按行展开,(,u,v,),中元素得到的列向量,由,(u,v),产生向量的元素,(i),，,i=0,1,2,N,2,-1,的过程是,其中：,i=,uN+v,，,u,v=0,1,2,N-1,。,令：,u=0,v=0,1,2,N-1;,u=1,v=0,1,2,N-1,；,以此类推,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,h,是一个按行展开,h,(,u,v,),中元素得到的列向量,h,的元素表示为,h,(k),k=0,1,2,n,2,-1,，可以同样生成,其中,:,k=,xn+y,，,x,y=0,1,2,n-1,。,令：,x=0,y=0,1,2,N-1;,x=1,y=0,1,2,N-1,；,以此类推,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,C,是一个,N,2,*n,2,的系数矩阵,C,对应的元素表示为,C(i,k),，,通过指数项产生,其中,i=,uN+v,，,k=,xn+y,，,u,v=0,1,2,N-1,，,x,y=0,1,2,n-1,。,是一个矩形矩阵,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,H =C h,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,下面讨论的目标是找到一个,h,(,x,y,),的系数,C,，,使得以下误差达到最小。,这里,|.|,代表复数的模,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,取空域的导数，并令其等于零向量，得到,e,2,关于的最小值,e,2,=|,H-H,|,2,=|,Ch-H,|,2,图像增强,:,频域过滤,频域变换到空域模板的关系式推导,这里矩阵,C,#,=,（,C,*,C,）,-1,C,*,通常称作,Moore-Penrose,逆生成,