浙江省浙大附中2025-2026学年高三实战模拟考试数学试题含解析.doc

浙江省浙大附中2025-2026学年高三实战模拟考试数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）

A． B．
C． D．
2．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18种 B．20种 C．22种 D．24种

3．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ）

A． B． C． D．
4．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．(1,2), C． D．
5．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(　　)

A． B． C． D．
6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
11．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为( )
A．1 B．－1 C．8l D．－81
12．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．
14．给出下列等式：，，，…请从中归纳出第个等式：______.
15．已知数列的前项和为，且成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为______________.
16．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知分别是内角的对边，满足
（1）求内角的大小
（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.
18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的面积.
19．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：
20．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，
（1）求的值；
（2）求边的长.
21．（12分）已知函数，设的最小值为m.
（1）求m的值；
（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.
22．（10分）试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积；
【详解】
如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.

法一：四边形的外接圆直径，，
；
法二：，，；
法三：作出的外接圆直径，则，，，
，，，
，，，.
故选：A
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.
2．B
【解析】
分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.
【详解】
根据医院A的情况分两类：
第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同
分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，
共有种不同分配方案；
第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，
在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，
共有种不同分配方案；
共有20种不同分配方案.
故选：B
本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.
3．D
【解析】
利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可.
【详解】
在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为，
矩形中位于曲线上方区域的面积为，
矩形的面积为，
由几何概型的概率公式得，所以，.
故选：D.
本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
4．A
【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】
已知双曲线的右焦点为，
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
，离心率，
，
故选：．
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
5．A
【解析】
根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.
【详解】
由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：

其中，底面为直角三角形，，，高为.
∴该几何体的体积为

故选：A.
本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.
6．A
【解析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
【详解】
解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
7．B
【解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.
【详解】
设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,
故选：B.
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.
8．C
【解析】
根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.
【详解】
因为平面向量，满足，且，
所以，
所以，
所以 ，
所以，
所以与的夹角为.
故选：C
本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
9．D
【解析】
首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，
当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，

、分别为、的中点，则必有，
，即为直角三角形.
对于等腰梯形，如图：

因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，
必有，
所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图

，，
所以四棱锥底面的高为，
.
故选：D.
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
10．C
【解析】
简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.
【详解】
由，
可知函数关于对称
当时，，
可知在单调递增
则
又函数关于对称，所以
且在单调递减，
所以或，故或
所以或
故选：C
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.
11．B
【解析】
根据二项式系数的性质，可求得，再通过赋值求得以及结果即可.
【详解】
因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
故可得，
令，故可得，
又因为，
令，则，
解得
令，则.
故选：B
本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.
12．D
【解析】
根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.
【详解】
设为中点，是等边三角形，
所以，
又因为，且，
所以平面，则，
由三线合一性质可知
所以三棱锥为正三棱锥，
设底面等边的重心为，
可得，，
所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：

由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，
在中，，
即，
解得，
所以三棱锥的外接球表面积为，
故选：D.
本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1.
由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7，
|MO|2=a2+b2.
由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.
整理得：4a+4b−7=0.
∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0.
求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．
在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小，
由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0，
由点到直线的距离公式得：MN的最小值为： .
14．
【解析】
通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第个等式即可．
【详解】
解：因为：，，，
等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为，则角满足：第个等式中的角，
所以；
故答案为：．
本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题．
15．1
【解析】
本题先根据公式初步找到数列的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得的值，即可确定数列的通项公式，代入数列的表达式计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和，再代入不等式进行计算可得最小正整数的值．
【详解】
由题意，当时，．
当时，．
则，．
，，成等差数列，
，即，
解得．
．
，．
．

．
，．
即，
，即，
，，
，即．
满足的最小正整数的值为1．
故答案为：1．
本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．
16．
【解析】
函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：

由图象可知：实数的取值范围是.
故答案为：
本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；
（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；
【详解】
解：（1）由，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由1）知，是正三角形，设，
由余弦定理得：，

，，
所以当时有最大值

本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.
18．（1），；（2）.
【解析】
（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）计算出直线截圆所得弦长，并计算出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】
（1）由得，故直线的普通方程是.
由，得，代入公式得，得，
故曲线的直角坐标方程是；
（2）因为曲线的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
则弦长.
又到直线的距离为，
所以.
本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由得令可得，进而得到，同理，利用数量积坐标计算即可；
（2），分，两种情况讨论即可.
【详解】
（1）证明：点的坐标为.
联立方程，消去后整理为
有，可得，，.
可得点的坐标为.
当时，可求得点的坐标为，
，.
有,
故有.
（2）若点在轴上方，因为，所以有，
由（1）知

①因为时.由（1）知，
由函数单调递增，可得此时.
②当时，由（1）知
令
由
，故当时，
，此时函数单调递增：当时，，此时函数单
调递减，又由，故函数的最小值，函数取最小值时
，可求得.
由①②知，若点在轴上方，当的面积最小时，直线的斜率为.
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题.
20．（1） （2）
【解析】
（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．
【详解】
(1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ，
且 ，
所以
.
(2)因为 ，且 ，所以 ，
又 ，
则 ，
所以 .
21．（1）（2）不存在；详见解析
【解析】
（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.
（2）由，利用基本不等式即可求出.
【详解】
（1）
；
（2），
若，同号，，不成立；
或，异号，，不成立；
故不存在实数，，使得，.
本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.
22．y＝2sin2x．
【解析】
计算MN，计算得到函数表达式.
【详解】
∵M，N，∴MN，
∴在矩阵MN变换下，→
∴曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y＝2sin2x．
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.