小升初数学专题复习讲义.doc

数学

专题一 数论
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数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数。
1.数的奇偶性
奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 奇数×偶数=偶数
奇数个奇数相加=奇数 偶数个奇数相加=偶数
（只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数）
2.数的整除，常见的数的整除特征
（1）2：个位是偶数；
（2）3：各个数位之和是3的倍数；
（3）5：个位是 0或5；
（4）4、25：后两位可以被4（25）整除；
（5）8、125：后三位可以被8（125）整除；
（6）9：各个数位之和是9的倍数；
（7）7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数；
（8）11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数；
（9）13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除；
（10）17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
3.余数的性质
（1）余数的可加性：和的余数等于余数的和；
（2）余数的可减性：差的余数等于余数的差；
（3）余数的可乘性：积得余数等于余数的积；
（4）同余的性质：
对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除；
对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。

抛砖引玉
【例1】下列各数中，（ ）同时是3和5的倍数．
A．18 B．102 C．45
【解析】同时是3和5的倍数必须满足：末尾是0或5，并且各个数位上的和能被3整除；进而得出结论．18个位上是8，不是5的倍数，102个位上是2，不是5的倍数，45是5的倍数，4+5=9，是3的倍数。
答案：C.
【例2】 能同时被2、3、5整除的最小两位数是 ，能同时被2、3整除的最小三位数是 ，最大三位数是 ．
【解析】（1）根据2、3、5的倍数的倍数特征可知；同时是2、3、5的倍数的倍数，只要是个位是0，十位满足是3的倍数即可，十位满足是3的倍数的有3、6、9，其中3是最小的，解答即可；（2）根据是2、3的倍数的数的特征：是2的倍数的数的个位都是偶数，是3的倍数的数各个位上的数相加所得的和能被3整除，所以能同时被2、3整除的最小三位数，百位应是1，十位是0、个位是2；然后要使能同时被2、3整除的三位数最大，则百位和十位上是9，个位上的数是偶数，而且能被3整除，只能是6，所以最大的三位数是996，解答即可
答案：30；102；996．
【例3】2309至少加上 是3的倍数，至少减去 才是5的倍数。
【解析】根据能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，解答即可．由分析可知：2+3+9=14；因为15能被3整除，所以至少应加上1；因为2309的个位是9，只有个位数是0或5时，才能被5整除，所以至少减去4。
答案：1；4．
【例4】三个连续偶数的和是90，这三个数分别是 、 、 ．
【解析】自然数中，相邻的两个偶数相差2，由此可设和为90的三个连续偶数中的最小的一个为x，则另两个分别为x+2，x+4，由此可得等量关系式：x+x+2+x+4=90．解此方程即可。
答案：28；30；32．
【例5】养鸡场一天收160千克鸡蛋，每18千克鸡蛋装一箱，可以装多少箱？还剩多少千克？

【解析】要求160千克鸡蛋可以装几箱，还剩多少千克，也就是求160里面有几个18，用除法计算，得到的商是箱数，余数就是剩下的千克数．
答案：解：160÷18=8（箱）…16（千克）；
答：可以装8箱，还剩16千克。

沙场点兵
1.从0、1、5、7四个数中任选三个数组成一个三位数，这个数既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，这样的三位数有（ ）个。
A．2 B．3 C．4
2.一列队伍，从第一个人向后按1至6顺序循环报数，最后一个人报的是3，这支队伍的人数一定是（ ）的倍数。
A．2 B．3 C．5 D．6
3. 三个连续偶数的和是120，其中最大的一个数是 ．
4. 同学们献爱心捐款，有五名同学共捐了410元，他们的捐款数恰好是5个连续的偶数，这五名同学各捐了多少钱？

5.一根绳子长21米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳．可以做多少根短跳绳？还剩下多少米？

实战演练
1.（2016•广州）一个两位数除以5余3，除以7余5，这个两位数最大是（ ）
A．72 B．37 C．33 D．68
2.（2016•长沙）某同学在计算一道除法时，误将除数35写成53，所得的商是35余12，正确的商与余数的和是 ．
3.（2016•东莞）三个连续奇数的和是645．这三个奇数中，最小的奇数是 ．
4.（2017•漳州）既能被2整除，又能被3整除的最大两位数是 ，既能被3整除，又能被5整除的最小三位数是 ．
5.（2017•枞阳县）列式计算：一个数除以99，商是10，余数是整数，这个数最大是多少？

6.（2017•德化县）学校进行团体操表演，每行站20人，正好站24排．如果要站成16排，那么每行需要站多少人？

专题二 数的运算
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1.四则运算的意义
（1）整数加法、小数加法、分数加法的意义：把两个数合成一个数的运算；
（2）整数减法、小数减法、分数减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算；
（3）整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算；
（4）小数乘法的意义：小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少；
（5）整数乘分数的意义：一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少；
（6）分数乘整数的意义：分数乘整数，就是求几个相同分数的和的简便运算；
（7）整数除法、小数除法、分数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
2.四则运算的计算方法
（1）加减法的计算方法
①整数的加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就要向前一位进一；
②整数的减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减要从前一位上退一，在本位上加上10再减；
③小数的加减法：计算小数加减法时，先把小数点对齐（也就是相同的数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点；
④分数的加减法：同分母的分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母的分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
（2）乘法的计算方法
①整数的乘法：从低位到高位分别用因数的每一位去乘另一个因数；用一个因数的哪一位去乘，求得的数的末位就要和那一位对齐；然后把几次求得的积加起来；
②小数乘法：先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；
③分数乘法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
（3）除法的计算方法
①整数的除法：从被除数的高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面；每次除得的余数必须比除数小；在求出商的最高位以后，如果被除数的哪一位上不够商1，就在那一位上写0；
②小数除法：除数是整数时，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。除数是小数时，要先把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，然后按照除数是整数的除法进行计算；
③分数的除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数
3.整数四则运算中各部分间的关系
（1）加法：和=加数+加数；加数=和－另一个加数
（2）减法：差=被减数－减数；减数=被减数－差；被减数=减数+差
（3）乘法：积=因数×因数；一个因数=积÷另一个因数
（4）除法：商=被除数÷除数；除数=被除数÷商；被除数=除数×商
4.四则运算定律、运算性质
（1）运算定律
加法结合律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：a+b=b+a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个相加，它们的和不变。即：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。即：a×b=b×a
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。即：a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积加起来。即：(a+b)×c=a×c+b×c；a×(b+c)=a×b+a×c
（2）运算性质
减法的运算性质：a－(b+c)=a－b－c a－(b－c)=a－b+c
除法的运算性质（除数不为0）：
a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a－b)÷c=a÷c－b÷c

5. 四则混合运算的顺序
四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
（1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算；
（2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

抛砖引玉
【例1】求几个加数的和的简便运算叫做乘法。 （判断对错）
【解析】本题考察整数的乘法及应用。由乘法的意义可得：求几个相同加数和的简便运算叫乘法。
答案：错误
【例2】在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是48，被减数是（ ）
A．24 B．12 C．16 D．18
【解析】本题考察整数的加法和减法。根据被减数=减数+差，可得被减数、减数与差的和是被减数的2倍，用48除以2，求出被减数是24，48÷2=24。
答案：A.
【例3】750÷90等于（ ）
A．商是8余3 B．商是80余2 C．商是8余30
【解析】本题考察有余数的除法。根据整数的除法计算。750÷90=8…30，所以商是8，余数是30。
答案：C.
【例4】三位数除以一位数，商是（　　）
A．两位数 B．三位数 C．可能是三位数也可能是两位数
【解析】三位数除以一位数，先用百位上的数字去除以一位数，看够不够除。就是说百位上的数字和一位数数字比较，如果比一位数大或相等就够除，商在百位上，就是一个三位数；如果百位上的数字比一位数小，就要用百位和十位的数组成一个两位数去除以一位数，商要商在十位上，就是一个两位数。
答案：C.
【例5】两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小10倍，所得的商和余数是（ ）
A．商5余3 B．商50余3 C．商5余30 D．商50余30
【解析】被除数和除数同时缩小10倍，商还是50，因为被除数缩小10倍，所以余数也缩小10倍为3。
答案：B.
【例6】一个数的1.8倍是36，求这个数的一半是多少？（ ）
A．36÷1.8÷2 B．36×1.8÷2 C．36÷1.8×0.5 D．36×1.8×0.5
【解析】本题考察小数四则混合运算。首先用36除以1.8，求出这个数是多少；然后用它除以2，求出这个数的一半是多少。36÷1.8÷2=20÷2=10。
答案：A.
【例7】把算式补充完整。
4× =24
30× =60
÷8=60
21÷ =7
÷3=9
30÷ =5
+80=120
﹣30=90
9× =81
÷6=60
【解析】本题考察整数的乘法及应用、整数的加法和减法、整数的除法及应用、乘与除的互逆关系。（1）（2）（9）根据一个因数=积÷另一个因数求解；（3）（5）（10）根据被除数=除数×商进行求解；（4）（6）根据除数=被除数÷商求解；（7）根据一个加数=和﹣另一个加数求解；（8）根据被减数=减数+差求解。
答案：
4×　6　=24
30×　2　=60
　480　÷8=60
21÷　3　=7
　27　÷3=9
30÷　6　=5
40 +80=120
120 ﹣30=90
9×　9　=81
120 ÷6=60
【例8】
计算下面各题（能简算的简算）。
200﹣180÷15×2
46.71﹣6.81﹣3.19

×15×
÷（﹣）×
×+÷
÷[（+ ）×]
【解析】（1）先算除法，再算乘法，最后算减法；
（2）根据连续减去两个数就是减去这两个数的和进行简算；
（3）直接约分进行计算即可；
（4）先计算括号的减法，再计算除法，最后计算乘法；
（5）除以，乘它的倒数，再根据乘法分配律进行简算；
（6）先计算小括号的加法，再计算中括号的乘法，最后算除法。
答案：（1）200﹣180÷15×2 （2）46.71﹣6.81﹣3.19
=200﹣12×2 =46.71﹣（6.81+3.19）
=200﹣24 =46.71﹣10
=176 =36.71
（3）×15× （4）÷（﹣）×
=9× =÷×
=2 =××
=
（5）×+÷ （6）÷[（ + ）×]
=×+× =÷[×]
=×（+） =÷
=×1 =×
= =3
【例9】动物园里的一头蓝鲸一天要吃450千克食物，饲养员准备了7吨食物，够蓝鲸吃20天吗？

【解析】一头蓝鲸一天要吃450千克食物，20天需要吃食物的量就是20个450千克，用450乘上20即可求出一共需要多少千克，再根据1吨=1000千克换算成以吨为单位的数，再与7吨比较即可。
答案：解：450×20=9000（千克）
9000千克=9吨
9吨＞7吨
所以，不够。

沙场点兵
1.已知○+△=□，下列算式正确的是（ ）
A．○+□=△ B．△+□=○ C．□﹣△=○
2. 25×40的结果中有 个“0”。
3.计算2274+（825﹣475÷25×4），第一步应算（ ）
A．825﹣475 B．475÷25 C．25×4 D．2274+825
4. 3×÷3×=（ ）
A．1 B．0 C． D．9
5.怎样简便就怎样计算:
（1）3.26×5.3+0.74×5.3 （2）×2.7+6.3÷5+

（3）+（1.6+）×10 （4）1.25×2.8×

6.列式计算：
（1）一个数的，比这个数的20%多1，求这个数。

（2） 与的和除以1与的差，商是多少？

实战演练
1.（2016•广州）我们学过+、﹣、×、÷这四种运算．现在规定“*”是一种新的运算．A*B表示2A﹣B，如：4*3=4×2﹣3=5．那么7*6*5= ．
2.（2017•福建）一个五位数8□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是 ，△代表的数字是 ．
3.（2015•济南）小马虎在计算1.39加上一个一位小数时，由于错误地把数的末尾对齐，结果得到1.84．正确的得数应是（ ）
A．4.5 B．6.34 C．5.89
4.（2017•商河县）甲数是840，______，乙数是多少？如果求乙数的算式是840÷（l+），那么横线上应补充的条件是（ ）
A．甲数比乙数多 B．甲数比乙数少
C．乙数比甲数多 D．乙数比甲数少
5.（2016•龙湾区）20千米比（ ）千米少20%。
A．24 B．16 C．22 D．25
6. （2017•南阳）（1）与它的倒数的差去除，商是多少？（列综合算式）

（2）一个除法算式中，被除数、除数、商、余数的和是147．已知商为11，余数为2，求除数是多少？（用方程）

专题三 代数式与方程
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1.数的运算
（1）四则运算顺序：有括号的先算括号内的，没有括号的先乘除，后加减。
（2）小数乘、除法：小数乘、除法和整数乘、除法运算方法类似，可以把小数看成整数，运用整数乘除法计算出来。
（3）如何快速得出小数乘法得数的位数：小数乘法位数多少取决于两个乘数小数位数的和，但如果小数末尾的数字相乘有0出现的，位数就要减去0的个数。
（4）如何快速得出整数除法商的位数：商的位数取决于被除数与除数的位数差，如果被除数左边第一位比除数左边第一位小，那么商的位数=被除数与除数的位数差;如果被除数左边第一位比除数左边第一位大，那么商的位数=被除数与除数的位数差+1。
（5）分数除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.
（6）运算定律：①加法交换律：a+b=b+a；
②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；
③乘法交换律：a×b=b×a；
④乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；
⑤乘法分配律：a×c+b×c = (a+b)×c.
（7） 添括号及去括号对于运算顺序的影响：当式子中只有同级运算时，那么如果括号前是加法或者乘法时，去括号，括号内符号不改变;如果括号前是减法或者除法时，去括号，括号内符号改变。如果所添加的括号前面是加法或者乘法是，括号内符号不改变，如果所添加括号前是减法或除法时，括号内符号改变。
2.简易方程
（1）四则运算之间各部分的关系：
一个加数=和-另一个加数 （例如x+3=8怎样进行验算）
（2）解方程的依据：一个因数=积÷另一个因数（例如5×X=18）
（3）被减数=差+减数（例如x-7=5） 减数=被减数-差（例如7-x=5）
（4）被除数=商×除数（例如x÷7=5） 除数=被除数÷商（例如21÷x=3）
3.等式的性质
（1）方程两边同时加上（减去）一个数，左右两边仍然相等；
方程两边同时乘或除以一个（不为0）的数，左右两边仍然相等。
（解方程应注意：书写时，要注意先写“解”字，上、下行的等号要对齐，不能连等）
（2）解方程时，尽量让所有的未知数在等式的一边，而不要出现等式两边都有未知数的情况.（例如：爸爸的年龄比儿子大32岁，是儿子年龄的9倍，爸爸和儿子各多少岁？根据爸爸的年龄—儿子的年龄=相差的年龄的等量关系式来列方程）
（3）列方程解应用题
列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是列出方程，然后解出未知数的值.列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算.解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程.而找出等量关系又在于熟练运用数量之间的各种已知条件.掌握了这两点就能正确地列出方程。
（4）列方程解应用题的一般步骤是：
①弄清题意，找出已知条件和所求问题；
②依题意确定等量关系，设未知数x；
③根据等量关系列出方程；
④解方程；
⑤检验，写出答案。

抛砖引玉
【例1】两根2米长的电线，第一根用去全长的，第二根用去米，剩下的电线（ ）
A．第一根长 B．第二根长 C．一样长 D．无法比较
【解析】第一根：把全长看成单位“1”，剩下的长度就是全长的（1﹣），用乘法求出剩下的长度；第二根：全长减去米就是剩下的长度．比较剩下的长度即可求解．第一根：2×（1﹣）=2×=（米）；第二根：2﹣=（米）；<；第二根剩下的长。
答案：B.
【例2】下面哪道题的小括号去掉后不影响计算结果？（ ）
A．（40+60）÷20 B．300÷（5×6） C．200﹣（60×2）
【解析】按照整数混合运算的运算顺序逐一分析得出答案即可．A、（40+60）÷20去掉小括号后，先算除法，再算加法，改变了运算顺序，影响计算的结果；B、300÷（5×6）去掉小括号后，先算除法，再算乘法，改变了运算顺序，影响计算的结果；C、200﹣（60×2）去掉小括号后，先算乘法，再算减法，不改变运算顺序，不影响计算的结果。
答案：C.
【例3】甲袋有A千克面粉，乙袋有B千克面粉，如果从乙袋取出6千克放入甲袋中，甲乙两袋重量相等，列等式是 ．
【解析】根据“从乙袋取出6千克放入甲袋中，甲乙两袋重量相等，”说明甲、乙两袋相差6×2=12千克，所以等式为A=B﹣12．根据题意得出：A=B﹣6×2=B﹣12，即B﹣A=12.
答案：B﹣A=12．
【例4】把9千克盐平均分装在x个瓶子里，每瓶装1.5千克．用方程表示为（ ），方程的解是（ ）
【解析】由题意可得关系：每瓶装的千克数×瓶子数=总重量，据此列方程解答即可．设平均分装在x个瓶子里，1.5x=9，x=6.
答案：1.5x=9；x=6.
【例5】养殖场有789只鸡，比鸭少69只，鸭有几只？（先写等量关系式，再用两种方法列X解）

【解析】设鸭有x只，方法一：鸭的只数﹣鸡的只数=鸡比鸭少的只数；即x﹣789=69；
方法二：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数=鸡的只数，即x﹣69=789．
答案：解：方法一：等量关系：鸭的只数﹣鸡的只数=鸡比鸭少的只数。
设鸭有x只，
x﹣789=69
x﹣789+789=69+789
x=858
方法二：等量关系：鸭的只数﹣鸡比鸭少的只数=鸡的只数。
设鸭有X只
X﹣69=789
X﹣69+69=789+69
X=858
答：鸭有858只。

沙场点兵
1.设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a﹣b+c=（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2.30比x的10倍多2.5，求x是多少？列方程为（ ）
A．30+10x=2.5 B．10x﹣2.5=30 C．30﹣10x=2.5
3. 某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租第n天（n是大于2的自然数）应收租金是 元。
4. 一辆汽车每小时行90千米，它以这样的速度从甲地开往乙地，行a小时后距乙地还有b千米．用含用字母的式子表示甲，乙两地的路程是 千米，从甲地到乙地共需要 小时。
5. 生产一批电视机，计划每天生产m台，生产a天，为适应市场需求，需提前3天完成任务．
（1）用代数式表示实际每天应生产多少台；
（2）当m=1000，a=28时，每天要生产多少台。

实战演练
1.（2016•泉州）甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（ ）
A．x÷3+6 B．（x+6）÷3 C．（x﹣6）÷3 D．3 x+6
2.（2017•宜昌）大客车每时行a千米，小汽车每时行b千米，两车分别从甲乙两地同时出发，经过c时相遇，甲乙两地的距离是（ ）
A．（a+b）c B．a+bc C．ab+c D．a+b+c
3.（2017•绍兴）建筑工地上有a吨水泥，每天用去b吨，用了3天，用式子表示剩下的吨数是 ，如果a=20，b=4，那么剩下的是 吨。
4.（2016•高邮市）求未知数x．
4.8﹣3x=1.8 ：=x：24 7.5x+6.5x=2.8

5.（2017•济南）求未知数x．
①3x﹣36×5=30；
②x与现有的三个数4、5、6能组成一个比例，求x．

6.（2017•菏泽）x的2倍与3.6的和是8.4，求x．

专题四 比和比例
考点扫描
1.比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
例如6:3=2中的是比号，读作“比”；
比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项；
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
2.比的前项和后项同时乘或除以（0除外）相同的数,比值不变,这叫做比的基本性质。
3.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。它是判定两个比能否组成比例的依据之一；组成比例的四个数叫做它的项，分为内项和外项。
4.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质；它是判定两个比能否组成比例的另一个重要依据。运用比例的基本性质可以解比例。
5.解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
6.正比例与反比例的概念及意义
正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一个量也随着变化；对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正；y：x=k（K定值）；
反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一；对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量；反比例的关系式：xy=K（K定值）。

抛砖引玉
【例1】1.75=7÷ ==28÷ =．
【解析】解决此题关键在于1.75，1.75可化成分数，的分子和分母同时除以25可化成最简分数，的分子和分母同乘7可化成；用分子7做被除数，分母4做除数可转化成除法算式7÷4，7÷4的被除数和除数同乘4可化成28÷16；由此进行转化并填空。
答案：4；49；16；7．
【例2】写出两个比值是8的比 和 ，并组成比例是 ．
【解析】任意写出两个比值都是8的比，进而组成比例即可．因为8：1=8，16：2=8，所以8：1=16：2.
答案：8：1；16：2；8：1=16：2．
【例3】先按要求填空，再回答后面的问题。
（1）图中A、B两个正方形边长的比是 ，周长的比是 ，这两个比能组成比例吗？
（2）A、B两个正方形面积的比是 ，这个比和边长的比能组成比例吗？

【解析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
答案：解：（1）图中A、B两个正方形边长的比是5：10=1：2，
周长的比是（5×4）：（10×4）=20：40=1：2，
因为1：2=1：2，所以两个比能组成比例。
（2） A、B两个正方形面积的比是：
（5×5）：（10×10）
=25：100
=1：4
因为1：4≠1：2，所以这个比和边长的比不能组成比例。
【例4】解比例：
（1）x：=2： （2）= （3）x：20= （4）x÷15=

【解析】考查解比例的方法。
答案：解：（1）x：=2：
x=2×
x÷=÷
x=
（2）=
0.75x=0.5×6
0.75x÷0.75=3÷0.75
x=4
（3）x：20=
5x=2×20
5x÷5=40÷5
x=8
（4）x÷15=
x=
x÷=÷
x=
【例5】一批化肥，第一次运走了30吨，第二次运走了总数的，剩下的化肥与运走的化肥的质量比是4：5，这批化肥一共有多少吨？

【解析】根据“剩下的化肥与运走的化肥重量比是4：5”可得：两次运走的化肥重量占总重量的=，总数的减去第二次运走了总数的就是第一次运走的30吨所对应的分率，30除以自己所对应的分率即可得这批化肥共有多少吨。
答案：解：4+5=9
30÷（﹣）
=30÷
=135（吨）
答：这批化肥共有135吨。

沙场点兵
1.能与3：8 组成比例的比是（ ）
A．8：3 B．0.2：0.5 C．15：40 D．7：21
2.甲数的等于乙数的（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（ ）
A．： B．6：5 C．5：6 D．：
3.一个圆锥的底面半径与一个圆柱的底面直径相等，二者的高也相等．圆锥体与圆柱体的体积比是（ ）
A．1：3 B．1：1 C．2：3 D．4：3
4.解方程或解比例：
x：10=14：13 2.1x=78

13：18=89：x 2x+30%=9.2

5.运一批货物，运走的与剩下的比为3：7，如果再运走30吨，那么剩下的货物只占原有货物的这批货物原有多少吨？

实战演练
1.（2017•杭州）==0.3：( )=( )%=( )折=( )成。
2.（2017•杭州）钟面上，时针的转速与分针的转速之比是（ ）
A．1：60 B．1：12 C．12：1 D．60：1
3.（2016•广州）甲数比乙数少25%，甲数比乙数的最简整数比是（ ）
A．1：4 B．4：1 C．3：4 D．4：3
4.（2016•温州）求未知数x．
x：2=： +x=

5.（2016•武汉）操作题。
（1）请你在正方形中画一个最大的圆；
（2）如果该正方形的面积是4平方厘米，计算正方形的面积与圆面积的比。

6.（2016•温州）小明读一本书，上午读了一部分，这时读的页数与未读页数的比是1：9；下午比上午多读6页，这时已读的页数与未读的页数的比变成了1：3，这本书共多少页？

专题五 探索规律
考点扫描
1.数字规律
（1）数列：按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的规律:
①规律隐含在相邻两数的和或差中；
②规律隐含在相邻两数的倍数中；
③前后几项为一组，以组为单位隐含一定的规律；
④相隔的项之间存在着一定的规律；
⑤数列的各项分别是项数的平方数；
⑥数列中的下一项是前几项的和。
2.图形规律
（1）图形的规律是指根据一组相关图形总结出图形变化所反映的规律；
（2）解决图形规律问题的方法有两种:一种是数字图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形的变化中直接寻找规律。
3.算式中的规律
（1）利用计算器独立探索，发现规律；
（2）利用规律来完成计算。

抛砖引玉
【例1】找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：
(1) 4，7，10，13，( )，( ).
(2) 84，72，60，( )，( ).
(3) 2，6，18，( )，( ).
(4) 625，125，25，( )，( ).
(5) 1，4，9，16，( ).
(6) 2，6，12，20，( )，( ).
【解析】通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现：
(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16；
(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36；
(3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162；
(4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1；
(5)的规律是：数列各项依次为1=1×1，4=2×2， 9=3×3，16=4×4，所以应填5×5=25；
(6)的规律是：数列各项依次为2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，应填 5×6=30，6×7=42；
答案：（1）16.（2）48；36.（3）54；162.（4）5；1.（5）25.（6）30；42.
【例2】寻找规律填数：
（1）
（2）
（1）_______、________；
（2）_______、________。

【解析】（1）考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34；
（2）从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”=14。
答案：（1）19；34.（2）7；14.
【例3】在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：
（1）
（2）

【解析】（1）观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故第三个图形中的“？”=5×3×8÷2=60；第四个图形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7；（2）观察前两个图形中的已知数，发现有10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故第三个图形中的“？”=12+1-5=8；第四个图形中的“？”=7+1-5=3。
答案：（1）60；7.（2）8；3.
【例4】寻找规律填数：
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
（ ）×9+5=11111
1234567×9+（ ）=11111111
【解析】第一个因数依次为：1、12、123……，是按照自然数的顺序依次在末尾多一个数字，第二个因数都是9，加数比第一个因数的个位数多1，加数是几，则结果为几个1组成的整数。
1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1111；1234×9+5=11111；1234567×9+8=1111111
答案：123