第五节(洛朗级数展开).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.5,洛朗级数展开,一,.,问题的提出,已知结果,：当,f,(,z,),在圆,|,z,-,z,0,|,R,内解析,，,Taylor,定理告诉我们，,f,(,z,),必可展开成幂级数。,问题是,：当,f,(,z,),在圆,|,z,-,z,0,|,R,2,外收敛。如果,R,2,R,1,，,那么双边幂级数就在环状域,R,2,|,z,-,z,0,|,R,1,内收敛，所以,R,2,|,z,-,z,0,|,R,1,给出了双边幂级数的环状收敛域，称为,收敛环,。,双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。,正幂部分,负幂部分,R,2,R,1,z,0,R,1,z,0,|,z,-,z,0,|,R,1,R,2,z,0,R,2,|,z,-,z,0,|,收敛环,R,2,|z-z,0,|,R,1,积分路径,C,为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合,曲线,.,四,.,洛朗定理,证明,:,为了避免讨论在圆周上函数的,解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微,缩小为,内圆稍微扩大为,如图,应用复通区域上的柯西公式有,下面将 展开为幂级数,对于沿 的积分,展开如下,:,而对于沿 的积分,考虑到,用以下方法将其展开,把分别沿 和 的展开式代入下式,然后逐项积分可得,把第二部分中的,k=-,(,l+1,),代替,l,作为求和指标,并根据柯西定理,把积分回路改为,可得,其中,C,为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为,f(z,),的,洛朗展开,右端的级数称为,洛朗级数,说明,:,虽然级数中含有,z-z,0,的负幂项,而这些项在,z=z,0,时都是,奇异的,但点,z,0,可能是也可能不是函数,f(z,),的奇点,虽然展开系数,a,k,的公式与泰勒展开系数,a,k,的公式形式,相同,但这里,不论,z,0,是不是,f(z,),奇点,.,如果是奇点,则,根本不存在,如果,z,0,不是奇点,则,因为,成立的条件是以,C,为边界的,区域上,f(z,),解析,但现在区域上有,f(z,),的奇点,(,如果没有奇点,就不用,考虑洛朗级数的展开,),不是,z,0,(3),如果只有环心,z,0,是,f(z,),的奇点,则内圆半径可以任意小,同时,z,可以无限接近,z,0,这个时候称为,f(z,),在它的孤立奇点,z,0,的邻域内,的洛朗级数展开式,这种情况特别重要,以后将利用它研究函,数在孤立奇点附近的性质,.,(4),洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的,此唯一,性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式,存在,但 仍然不等于,例,1:,在,z,0,=0,的邻域上把,(,sinz)/z,展开,解,:,函数,(,sinz)/z,在原点没有定义,z,0,=0,是奇点,引用,sinz,在原点的邻域上的展开式,:,同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上,用,z,遍除,sinz,的展开式,就得到,(,sinz)/z,的展开式,如果我们定义一个函数,f(z,),如下,:,则,f(z,),在整个开平面上是解析的,由上我们可得到,f(z,),在,z,0,=0,的,邻域上的展开式,:,同时也是解析函数,f(z,),的泰勒级数,!,例,2:,解,:,在 的环域上将函数,f(z,)=1/(z,2,-1),展开为洛朗级数,在展开式中出现无限多负幂次项,但,z=0,本身不是函数的奇点,奇点为,z=,士,1,例,3:,在,z,0,=1,的邻域上把,f(z,)=1/(z,2,-1),展开为洛朗级数,解,:,先把,f(z,),分解为分项公式,第二项只有一个奇点,z=-1,因此可在,z,0,=1,的邻域,|z-1|2,上可以展,为泰勒级数如下,:,由此我们可得,展开式里边出现了,-1,次项,例,4:,解,:,我们知道,e,x,在原点邻域上的展开式为,把,z,全换成,1/z,可得到以下结果,:,即,这里出现无限多负幂项,.,在,z,0,=0,的邻域上把,展开为洛朗级数,例,5:,解,:,在,z,0,=0,的邻域上把,展开为洛朗级数,由前边的结论我们可得绝对收敛级数,以上两个绝对收敛级数可以逐项相乘,乘积中既有无限多正幂项,又有无限多负幂项,为了得到乘积中某个正幂,z,m,(1),2),应取,(2),中所有各项分别用,(1),中的,l,=,n+m,项去乘,为得到某个负幂项,z,-h,应取,(1),中所有项而分别用,(2),中的,n=,l,+h,项去乘,由此可以得到以下结果,:,将,-,h,记为,m,l,记为,n,则有,利用贝塞尔函数可以把上式写成,中括号里边是,m,阶贝塞尔函数,J,m,(x,),1,2,应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的,必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得,到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如,等的泰勒展开式和幂级数,的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些,初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况,!,