安徽省池州市江南中学2026届高三下教学调研（一）数学试题含解析.doc

安徽省池州市江南中学2026届高三下教学调研（一）数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）

A．170 B．10 C．172 D．12
2．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．关于函数，有下列三个结论:①是的一个周期；②在上单调递增；③的值域为.则上述结论中，正确的个数为（）
A． B． C． D．
4．是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数图像可能是（ ）
A． B． C． D．
6．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称
8．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．-5 B．2 C．7 D．11
10．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若，则”的否命题；
②命题“若，则或”；
③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.
A．0 B．1 C．2 D．3

11．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）

A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为____________．
14．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______.

15．已知集合，，则__________．
16．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
18．（12分）已知.
（1）若是上的增函数，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，判断函数零点的个数.
19．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？

男生
女生
总计
喜欢阅读中国古典文学

不喜欢阅读中国古典文学

总计

（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望
附表及公式：.

20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求△ABC面积的最大值．
21．（12分）若函数为奇函数，且时有极小值.
（1）求实数的值与实数的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若轴上存在点，过点的直线与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
2．B
【解析】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B．
考点：逻辑命题
3．B
【解析】
利用三角函数的性质，逐个判断即可求出．
【详解】
①因为，所以是的一个周期，①正确；
②因为，，所以在上不单调递增，②错误；
③因为，所以是偶函数，又是的一个周期，所以可以只考虑时，的值域．当时

在上单调递增，所以，的值域为，③错误；
综上，正确的个数只有一个，故选B．
本题主要考查三角函数的性质应用．
4．B
【解析】
分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
所以 （逆否命题）必要性成立
当，不充分
故是必要不充分条件，答案选B
本题考查了充分必要条件，属于简单题.
5．D
【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当时，可分析函数值为正，即可判断选项.
【详解】
,
,
即函数为偶函数，
故排除选项A,C，
当正数越来越小，趋近于0时，，
所以函数，故排除选项B,
故选：D
本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.
6．D
【解析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.
【详解】
双曲线与互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，
四个顶点形成的四边形的面积，
四个焦点连线形成的四边形的面积，
所以，
当取得最大值时有，，离心率，
故选：D.
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.
7．B
【解析】
根据函数，在上是单调函数，确定 ，然后一一验证，
A.若，则，由，得，但.B.由，，确定，再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.
【详解】
因为函数，在上是单调函数，
所以 ，即，所以 ，
若，则，又因为，即，解得， 而，故A错误.
由，不妨令 ，得
由，得 或
当时，，不合题意.
当时，，此时
所以，故B正确.
因为，函数，在上是单调递增，故C错误.
，故D错误.
故选：B
本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.
8．B
【解析】
由题意可得，且，故有①，再根据，求得②，由①②可得的最大值，检验的这个值满足条件．
【详解】
解：函数，，
为的零点，为图象的对称轴，
，且，、，，即为奇数①．
在，单调，，②．
由①②可得的最大值为1．
当时，由为图象的对称轴，可得，，
故有，，满足为的零点，
同时也满足满足在上单调，
故为的最大值，
故选：B．
本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．
9．A
【解析】
根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.
【详解】
由约束条件，画出可行域如图
变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距，
最小的时候为过点的时候，
解得所以，
此时
故选A项

本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.
10．C
【解析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.
【详解】
①的逆命题为“若，则”，
令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.
故选：C.
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．
11．B
【解析】
先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可
【详解】
的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.
本题考查二项展开式问题，属于基础题
12．D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.
故D项不正确.
故选：D.
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
，利用求向量模的公式，可得，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.
【详解】
解：设，以为原点，为轴建系，则，，设，，
则，
即，
由，可得.
则.
故答案为：.
本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.
14．
【解析】
三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.
【详解】
边长为，则中线长为，
点到平面的距离为，
点是以为直径的球面上的点，
所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，
最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.
又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，
以下求过和的两个平行平面间距离，
分别取中点，连，
则，同理，
分别过做，
直线确定平面，直线确定平面，
则，同理，
为所求，，
，
所以到直线最大距离为.
故答案为:；.

本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.
15．
【解析】
解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案.
【详解】
，，
.
故答案为：.
本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
16．
【解析】
画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．
【详解】
函数的图象如图所示：

因为方程有且只有两个不相等的实数根，
所以图象与直线有且只有两个交点即可，
当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，
由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得，
故答案为：．
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．另一个特征值为，对应的一个特征向量
【解析】
根据特征多项式的一个零点为3，可得，再回代到方程即可解出另一个特征值为，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.
【详解】
矩阵的特征多项式为：
，
是方程的一个根，
，解得，即
方程即，，
可得另一个特征值为：，
设对应的一个特征向量为：
则由，得得，
令，则，
所以矩阵另一个特征值为，
对应的一个特征向量
本题考查了矩阵的特征值以及特征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.
18． (1) (2) 三个零点
【解析】
(1) 由题意知恒成立,构造函数，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证，.
【详解】
（1）由得，
由题意知恒成立，即，设，，
时，递减，时，，递增；
故，即，故的取值范围是.
（2）当时，单调，无极值；
当时，，
一方面，，且在递减，所以在区间有一个零点.
另一方面，，设 ，则，从而
在递增，则，即，又在递增，所以
在区间有一个零点.
因此，当时在和各有一个零点，将这两个零点记为，
，当时，即；当时，即
；当时，即：从而在递增，在
递减，在递增；于是是函数的极大值点，是函数的极小值点.
下面证明：，
由得，即，由
得 ，
令，则，
①当时，递减，则，而，故；
②当时，递减，则，而，故；
一方面，因为，又，且在递增，所以在
上有一个零点，即在上有一个零点.
另一方面，根据得，则有：
，
又，且在递增，故在上有一个零点，故在
上有一个零点.
又，故有三个零点.
本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
19．（1）见解析，没有（2）见解析，
【解析】
（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）

男生
女生
总计
喜欢阅读中国古典文学
42
30
72
不喜欢阅读中国古典文学
30
18
48
总计
72
48
120

所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且
；
；
.
所以的分布列为

则.
本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.
20．（1）y2＝6x（2）．
【解析】
（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.
【详解】
（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；
（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则
y0，kAB，
则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①
可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②
代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，
由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，
|AB|

，
又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，
所以S△ABC|AB|h•
，
当且仅当9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），
或A（，），B（，）时等号成立，
所以S△ABC的最大值为．
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.
21．（1）， ；（2）
【解析】
（1）由奇函数可知 在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数的值；对函数进行求导，，通过导数求出，若，则恒成立不符合题意，当，可证明，此时时有极小值.
（2）可知，进而得到，令，通过导数可知在上为单调减函数，由可得，从而可求实数的取值范围.
【详解】
（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立，
所以，化简可得，所以.
则，令，则.
故当时，；当时，，
故在上递减，在上递增，
若，则恒成立，单调递增，无极值点；
所以，解得，取，则
又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，
存在为函数的零点，为极小值，所以，的取值范围是.
（2）由满足，代入，消去可得
.构造函数，
所以，当时，，即恒成立，
故在上为单调减函数，其中.则可转化为，
故，由，设，可得当时，
则在上递增，故.
综上，的取值范围是.
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了奇函数的定义，考查了转化的思想.对于 恒成立的问题，常转化为求 的最小值，使；对于 恒成立的问题，常转化为求 的最大值，使.
22．（1）
（2）
【解析】
（1）先分别表示出，然后根据求解出的值，则的标准方程可求；
（2）设出直线的方程并联立抛物线方程得到韦达定理形式，然后根据距离公式表示出并代入韦达定理形式，由此判断出为定值时的坐标.
【详解】
（1）由题意可得，焦点，，则
，，
∴解得.
抛物线的标准方程为
（2）设，设点，，显然直线的斜率不为0.
设直线的方程为
联立方程，整理可得
，，
∴，
∴

要使为定值，必有，解得，
∴为定值时，点的坐标为
本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.（1）处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法；（2）直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。