2025-2026学年辽宁省抚顺市“抚顺六校协作体”高三第三次质量检测试题数学试题试卷含解析.doc

2025-2026学年辽宁省抚顺市“抚顺六校协作体”高三第三次质量检测试题数学试题试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（ ）

A．100 B．1000 C．90 D．90
3．已知函数的图像向右平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，，当取得最小值时，函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）

A． B． C． D．
5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则 ）
A． B． C． D．
7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了
10．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
11．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．已知，则的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则实数______.
14．过直线上一动点向圆引两条切线MA，MB，切点为A，B，若，则四边形MACB的最小面积的概率为________．
15．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则_______，项的系数等于________.
16．的展开式中，的系数为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；
（2）若对任意成立，求实数的取值范围.
18．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.
19．（12分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；
（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.
组号
分组
频数
频率
第1组

15
0.15
第2组

35
0.35
第3组

b
0.20
第4组

20

第5组

10
0.1
合计

1.00

20．（12分）某网络商城在年月日开展“庆元旦”活动，当天各店铺销售额破十亿，为了提高各店铺销售的积极性，采用摇号抽奖的方式，抽取了家店铺进行红包奖励.如图是抽取的家店铺元旦当天的销售额（单位：千元）的频率分布直方图.

（1）求抽取的这家店铺，元旦当天销售额的平均值；
（2）估计抽取的家店铺中元旦当天销售额不低于元的有多少家；
（3）为了了解抽取的各店铺的销售方案，销售额在和的店铺中共抽取两家店铺进行销售研究，求抽取的店铺销售额在中的个数的分布列和数学期望.
21．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
22．（10分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
求出，进而可求,即能求出向量夹角.
【详解】
解：由题意知，. 则
所以，则向量与的夹角为.
故选:C.
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算.
2．A
【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解
【详解】
由题意，支出在（单位：元）的同学有34人
由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为
．
故选：A
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
3．A
【解析】
先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和得到A和.
【详解】
因为关于轴对称，所以，所以，的最小值是.，则，所以.
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.
4．B
【解析】
由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面是等腰直角三角形，平面,结合三视图求出每个面的面积即可.
【详解】
由三视图可知，该三棱锥如图所示：

其中底面是等腰直角三角形，平面,
由三视图知，
因为,,
所以,
所以,
因为为等边三角形，
所以,
所以该三棱锥的四个面中，最大面积为.
故选：B
本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
5．D
【解析】
由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.
【详解】
由题可得，所以，
又，所以，得，，
所以椭圆的方程为.
故选：D
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.
6．A
【解析】
先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值．
【详解】
因为所以为的重心，
所以,
所以,
所以，因为，
所以，故选A．
对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心．
7．B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
8．C
【解析】
试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.

考点：三视图
9．C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
10．D
【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），
故选：D.
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
11．B
【解析】
求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.
【详解】
，
设，
要使在区间上不是单调函数，
即在上有变号零点，令，
则，
令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是.
故选：B
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．C
【解析】
对分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.
【详解】
为偶数时，；为奇数时，，则的值构成的集合为.
本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-2
【解析】
根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：
，解得：
本题正确结果：
本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.
14．.
【解析】
先求圆的半径, 四边形的最小面积,转化为的最小值为，求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率．
【详解】
由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积，若四边形的最小面积，所以的最小值为，而，即的最小值，此时最小为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以的概率为．
本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.
15．8 1
【解析】
根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.
【详解】
由于所有项的二项式系数之和为，，
故的二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得含x项的系数等于，
故答案为：8；1．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
16．16
【解析】
要得到的系数，只要求出二项式中的系数减去的系数的2倍即可
【详解】
的系数为.
故答案为：16
此题考查二项式的系数，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）求出及其导函数，利用研究的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得的范围．
（2）令，题意说明时，恒成立.同样求出导函数，由研究的单调性，通过分类讨论可得的单调性得出结论．
【详解】
解（1）函数
所以
讨论：
①当时，无零点；
②当时，，所以在上单调递增.
取，则
又，所以，此时函数有且只有一个零点；
③当时，令，解得（舍）或
当时，，所以在上单调递减；
当时，所以在上单调递增.
据题意，得，所以（舍）或
综上，所求实数的取值范围为.
（2）令，根据题意知，当时，恒成立.
又
讨论：
①若，则当时，恒成立，所以在上是增函数.
又函数在上单调递增，在上单调递增，所以存在使，不符合题意.
②若，则当时，恒成立，所以在上是增函数，据①求解知，
不符合题意.
③若，则当时，恒有，故在上是减函数，
于是“对任意成立”的充分条件是“”，即，
解得故
综上，所求实数的取值范围是.
本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性．解题关键是通过分类讨论研究函数的单调性．本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
18．（1）3360元；（2）见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．
【详解】
（1）记每个农户的平均损失为元，则
；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），
随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；
计算P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
所以X的分布列为；
X
0
1
2
P

数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．
19．（1），，，；（2）
【解析】
（1）根据第1组的频数和频率求出，根据频数、频率、的关系分别求出，进而求出不低于70分的概率；
（2）由（1）得，根据分层抽样原则，分别从抽出2人，2人，1人，并按照所在组对抽出的5人编号，列出所有2名负责人的抽取方法，得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数，由古典概型概率公式，即可求解.
【详解】
（1），，，
由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：

（2）因为第3、4、5组共有50名学生，
所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为：
第3组：人，第4组：人，第5组：人，
所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人
设第3组的3位同学为、，第4组的2位同学为、，
第5组的1位同学为，则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下：
，，，，，，
，，，，
其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法，
故所求的概率为.
本题考查补全频率分布表、古典概型的概率，属于基础题.
20．（1）元；（2）32家；（3）分布列见解析；
【解析】
（1）根据频率分布直方图求出各组频率，再由平均数公式，即可求解；
（2）求出的频率即可；
（3）中的个数的所有可能取值为，，，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.
【详解】
（1）频率分布直方图销售额的平均值为
千元，
所以销售额的平均值为元；
（2）不低于元的有家
（3）销售额在的店铺有家，
销售额在的店铺有家.选取两家，
设销售额在的有家.则的所有可能取值为，，.
，，

所以的分布列为

数学期望
本题考查应用频率分布直方图求平均数和频数，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接，交与，连接，由，得出结论；
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可.
【详解】
（1）连接，交与，连接，
在中，，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面平面，，为平面与平面的交线，故平面，故，又，所以平面，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，得，
平面的法向量为，
由，
故二面角的大小为.

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22．（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.
【解析】
(1)根据导数的几何意义求解即可.
(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.
【详解】
（1）当时,,则切线的斜率为.
又,则曲线在点的切线方程是,
即.
（2）的定义域是.
.
①当时,,所以当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减；
②当时,,所以当和时,；当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减；
③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增；
④当时,,
所以和时,；时,.
所以在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.
本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.