安徽省安大附中2026届招生全国统一考试高考仿真模拟信息卷&押题卷数学试题（二）含解析.doc

安徽省安大附中2026届招生全国统一考试高考仿真模拟信息卷&押题卷数学试题（二）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．集合的子集的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
5．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）

A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
7．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，为中点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )
A． B． C． D．1
11．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.

对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中，若函数在处的切线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_____．
14．已知a，b均为正数，且，的最小值为________.
15．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则 .
16．已知多项式的各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项的和.
18．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：

等级
不合格
合格
得分

频数
6

24

（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．
19．（12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．

20．（12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
21．（12分）已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围．
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若，求曲线与的交点坐标；
（2）过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.
【详解】

对应的点的坐标为在第二象限
故选：B.
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
2．B
【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.
【详解】
由,可得,
时,,而,
又在上单调递增,且,
所以,则,即,故.
故选:B.
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
3．B
【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．
【详解】
由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，
∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
．
故选：B．
本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
4．D
【解析】
先确定集合中元素的个数，再得子集个数．
【详解】
由题意，有三个元素，其子集有8个．
故选：D．
本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．
5．D
【解析】
连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.
【详解】
连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，则，，
在等腰中，取的中点为，连接，
则，，
所以，
即：，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：D.

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.
6．C
【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：

数学抽象
逻辑推理
数学建模
直观想象
数学运算
数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4
由数据可知选C.
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
7．C
【解析】
试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以
，故C为正确答案．
考点：异面直线所成的角．
8．B
【解析】
选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.
【详解】
， ，
，
，，.
故选：B.
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.
9．A
【解析】
画出分段函数图像，可得，由于，构造函数，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.
【详解】

由于，
,
由于，
令，，
在↗，↘
故.
故选：A
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
10．C
【解析】
试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则
，可得：
，当且仅当时取等号，故选C．
考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．
11．D
【解析】
由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.
【详解】
由题意得，，
，.
故选：D.
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.
12．A
【解析】
对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．

二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用导数的几何意义可求得函数在处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可.
【详解】
解：由条件得到
又
所以函数在处的切线为,
即
圆方程整理可得：
即有圆心且
所以圆心到直线的距离,
即.解得或,
故答案为：．
本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.
14．
【解析】
本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
故答案为：.
本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.
15．2
【解析】
试题分析：，与的夹角等于与的夹角，所以

考点：向量的坐标运算与向量夹角
16．
【解析】
令可得各项系数和为，得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项，可得解.
【详解】
令，
则得，
解得，
所以展开式中含项为：，
故答案为：
本题主要考查了二项展开式的系数和，二项展开式特定项，赋值法，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）由基本量法，求出公比后可得通项公式；
（2）求出，用裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为
又因为，所以
解得（舍）或
所以，即
（2）据（1）求解知，，
所以

所以

本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握．
18．（1）64，65；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据频率分布直方图及其性质可求出，平均数，中位数；
（2）设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，由条件概率公式可求出；
（3）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为，“合格”的学生数为6；由题意可得，5，10，15，1，利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望．
【详解】
由题意知，样本容量为，
．
（1）平均数为，
设中位数为，因为，所以，则，
解得．
（2）由题意可知，分数在内的学生有24人，分数在内的学生有12人．设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件，“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件，
则，所以．
（3）在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中用分层抽样的方法抽取10人，则“不合格”的学生人数为，“合格”的学生人数为．
由题意可得的所有可能取值为0,5,10,15,1．
，
．
所以的分布列为

0
5
10
15
1

．
本题主要考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了计算能力，属于中档题．
19． (1)证明见解析；(2)60°.
【解析】
试题分析：
（1）连结PD，由题意可得,则AB⊥平面PDE，；
（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；
法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量为．据此计算可得二面角的大小为.
试题解析：
（1）连结PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．
又，AB平面PDE，PEÌ平面PDE，
∴ABPE．
（2）法一：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,
过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角，
则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为
法二：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，
=(1，0，)，=(0，，）．
设平面PBE的法向量，
令，得．
DE平面PAB，平面PAB的法向量为．
设二面角的大小为，由图知，，
所以即二面角的大小为.

20．（1）（2）
【解析】
（1）由抛物线定义可知，解得，故抛物线的方程为；
（2）设直线：，联立，利用韦达定理算出的中点，又，所以直线的方程为，
求出，利用求解即可.
【详解】
（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，
所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，
所以，
又因为为的中点，点的坐标为，
直线的方程为，
令，得，点的坐标为，
所以，
解得，所以直线的斜率为.
本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.
21． (1) (2)
【解析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．
【详解】
（1）不等式
或或，
解得或，即x>0,
所以原不等式的解集为．
（2）要使函数的定义域为R，
只要的最小值大于0即可，
又，
当且仅当时取等，只需最小值，即．
所以实数a的取值范围是．
本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．
22．（1），；（2）或
【解析】
（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线与的交点坐标；
（2）由直线的普通方程为，故上任意一点，根据点到直线距离公式求得到直线的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.
【详解】
（1），
.
由，得，
曲线的直角坐标方程为.
当时，直线的普通方程为
由解得或.
从而与的交点坐标为，.
（2）由题意知直线的普通方程为，
的参数方程为（为参数）
故上任意一点到的距离为

则.
当时，的最大值为所以；
当时，的最大值为，所以.
综上所述，或
解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.