2026年河南省南阳市重点中学普通高中毕业班质量检测试题（数学试题）第二轮试卷含解析.doc

2026年河南省南阳市重点中学普通高中毕业班质量检测试题（数学试题）第二轮试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )

A．7 B．15 C．31 D．63
2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）．

A． B． C． D．
3．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则( )
A． B． C． D．
4．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．是正四面体的面内一动点为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A． B． C． D．
7．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）

A．8 B．7 C．6 D．4
8．已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．

A． B． C． D．
10．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ）

A．12 B． C． D．
11．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为__________．
14．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．
15．某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过个，则该外商不同的投资方案有____种．
16．已知函数为奇函数，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，且．
（1）若，求的最小值，并求此时的值；
（2）若，求证:．
18．（12分）某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.

年龄
（单位：岁）

保费
（单位：元）

（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值；
（2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？
19．（12分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．

（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
20．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点，其短半轴长为，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上的点，且．
证明：直线与圆相切；
求面积的最小值．
21．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.

（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；
⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.
考点：程序框图.
2．C
【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
3．C
【解析】
求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得
【详解】
抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以.
故选：C
本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.
4．C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.

故选：C
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
5．B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
6．B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，

故选：B
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
7．A
【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.
【详解】
最底层正方体的棱长为8，
则从下往上第二层正方体的棱长为：，
从下往上第三层正方体的棱长为：，
从下往上第四层正方体的棱长为：，
从下往上第五层正方体的棱长为：，
从下往上第六层正方体的棱长为：，
从下往上第七层正方体的棱长为：，
从下往上第八层正方体的棱长为：，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.
故选：A.
本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.
8．D
【解析】
先求出的值域，再利用导数讨论函数在区间上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可.
【详解】
因为，故，
当时，，故在区间上单调递减；
当时，，故在区间上单调递增；
当时，令，解得，
故在区间单调递减，在区间上单调递增.
又，且当趋近于零时，趋近于正无穷；
对函数，当时，；
根据题意，对，且，使得成立，
只需，
即可得，
解得.
故选：D.
本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.
9．A
【解析】
作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.
【详解】

根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，
平面，且，
∴，，，，
∴这个四棱锥中最长棱的长度是．
故选．
本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．
10．C
【解析】
过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可.
【详解】
在和中，，所以，则，
过作于，连接，显然，则，且，
又因为，所以平面，
所以，
当最大时，取得最大值，取的中点则，
所以，
因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，
所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为，
所以最大值为，故的最大值为.
故选：C.

本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
11．A
【解析】
由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决.
【详解】
由已知可得，，所以，从而双曲线方程为
，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时，
此时，所以，
，所以；
当轴时，，所以，又为锐角三
角形，所以.
故选：A.
本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题.
12．D
【解析】
如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】

如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，.
因为，故，
因为，故.
由正弦定理可得，故，又因为，故.
因为，故平面，所以，
因为平面，平面，故，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为.
故选：D.
本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设,则,,由知, ,,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图,设,则,,
由椭圆定义知,,
因为,所以,,

作,垂足为C，则C为的中点,
在中,因为,
所以，
在中,由余弦定理可得,
，
即,解得,
所以椭圆的离心率为.
故答案为:
本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
14．
【解析】
由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．
【详解】
∵，∴，解得或，
时，满足题意，
时，，方向相反，不合题意，舍去．
∴．
故答案为：1．
本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．
15．60
【解析】
试题分析：每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.
考点：排列组合.
16．
【解析】
利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值.
【详解】
由于函数为奇函数，则，即，
，整理得，解得.
当时，真数，不合乎题意；
当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意.
综上所述，.
故答案为：.
本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）最小值为，此时；（2）见解析
【解析】
（1）由已知得，
法一:，，根据二次函数的最值可求得；
法二:运用基本不等式构造，可得最值；
法三：运用柯西不等式得：，可得最值；
（2）由绝对值不等式得，，又，可得证.
【详解】
（1），
法一:，，

的最小值为，此时；
法二:，
，即的最小值为，此时；
法三：由柯西不等式得：
，
,即的最小值为，此时；
（2），，
又，
.
本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.
18．（1）30；（2），比较划算.
【解析】
（1）由频率和为1求出，根据的值求出保费的平均值，然后解一元一次不等式 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望，，比较大小即可.
【详解】
解:（1）由，
解得.
保险公司每年收取的保费为:

∴要使公司不亏本，则，即
解得
∴.
（2）①若该老人购买了此项保险，则的取值为

∴(元).
②若该老人没有购买此项保险，则的取值为.

∴(元).

∴年龄为的该老人购买此项保险比较划算.
本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.
19．（1）点M的轨迹C的方程为，轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）
【解析】
（1）设，根据可求得，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆；
（2）设，与椭圆方程联立，利用求得利用韦达定理表示出与，根据平行四边形和向量的坐标运算求得，消去后得到轨迹方程；根据求得的取值范围，进而得到最终结果.
【详解】
（1）设，则
由知：
点在圆上
点的轨迹的方程为：
轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆
（2）设，由题意知的斜率存在
设，代入得：
则，解得：
设，，则

四边形为平行四边形

又 ∴，消去得：

顶点的轨迹方程为
本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略的取值范围.
20．证明见解析；1.

【解析】
由题意可得椭圆的方程为，由点在直线上，且知的斜率必定存在，分类讨论当的斜率为时和斜率不为时的情况列出相应式子，即可得出直线与圆相切；
由知，的面积为
【详解】
解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，所以．
所以椭圆的方程为．
由点在直线上，且知的斜率必定存在，
当的斜率为时，，，
于是，到的距离为，直线与圆相切．
当的斜率不为时，设的方程为，与联立得，
所以，，从而．
而，故的方程为，而在上，故，
从而，于是．
此时，到的距离为，直线与圆相切．
综上，直线与圆相切．
由知，的面积为
，
上式中，当且仅当等号成立，
所以面积的最小值为1．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题．
21．（1）证明见解析，是，，，，；（2）
【解析】
（1）根据是球的直径，则，又平面， 得到，再由线面垂直的判定定理得到平面，，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.
（2）以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，设，由，解得，得到，从而得到，然后求得平面的一个法向量，代入公式求解.
【详解】
（1）因为是球的直径，则，
又平面，
∴，.∴平面，
∴，∴平面.
根据证明可知，四面体是鳖臑.
它的每个面的直角分别是，，，.

（2）如图，

以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，
则，，，，.
M为中点，从而.
所以，设，
则.
由，
得.
由得，即.
所以.
设平面的一个法向量为.
由.
取，，，得到.
记与平面所成角为θ，
则.
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．（1）；（2）
【解析】
（1）又题意知，，及即可求得，从而得椭圆方程.
（2）分三种情况：直线斜率不存在时，的斜率为0时，的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.
【详解】
（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，
∵过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
又，解得.
∴椭圆的方程为
（2）由（1）可知圆的方程为，
（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，
此时
（ii）当直线的斜率为零时，.
（iii）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为，
联立，得，
设的横坐标分别为，则.
所以，
（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）
由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，
得
设的横坐标为，则.

.
综上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范围是.
本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.