2026届四川省乐山十校高高三下学期3月统一联合考试数学试题含解析.doc

2026届四川省乐山十校高高三下学期3月统一联合考试数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
2．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
4．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是（ ）
A．③④ B．①② C．②④ D．①③④
5．若函数（）的图象过点，则（ ）
A．函数的值域是 B．点是的一个对称中心
C．函数的最小正周期是 D．直线是的一条对称轴
6．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）

A． B． C． D．
7．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
8． 若数列满足且，则使的的值为( )
A． B． C． D．
9．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知函数，若则（ ）
A．f(a)题，每小题5分，共20分。
13．记为数列的前项和，若，则__________.
14．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．

15．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________．
16．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列是等比数列，，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．
18．（12分） [选修4-5：不等式选讲]:已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.
19．（12分）某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为公顷和公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为公顷和公顷.

（1）设，用关于的函数表示，并求在区间上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；
（2）如果，并且，试分别求出、、、的值.
20．（12分）已知函数.若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若a，且a≠0，证明：函数有局部对称点；
（2）若函数在定义域内有局部对称点，求实数c的取值范围；
（3）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.
22．（10分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．
【详解】
解：，
又
解得，所以
故选：D
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
2．C
【解析】
由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．
【详解】
连接，，如图：

又，则为异面直线与所成的角.
因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，
∴，
又，，∴，
∴解得.
故选C
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3．B
【解析】
设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，，，
由题意得：，，
，

又

即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
4．A
【解析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.
【详解】
由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；
,,则,故②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
5．A
【解析】
根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.
【详解】
由函数（）的图象过点，
可得，即，
，，
故，
对于A，由，则，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误；
故选：A
本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.
6．A
【解析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.

故选：A
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题
7．B
【解析】
计算，故，解得答案.
【详解】
当时，，即，且.
故，
，故.
故选：.
本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.
8．C
【解析】
因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．
9．B
【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．
【详解】
因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，
所以向量，共线且方向相反，
所以，即充分性成立；
反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立．
所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件．
故选B．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．
10．C
【解析】
利用导数求得在上递增，结合与图象，判断出的大小关系，由此比较出的大小关系.
【详解】
因为，所以在上单调递增；
在同一坐标系中作与图象，
，可得，故.
故选：C

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
11．C
【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.
【详解】
当时，，
令，则；，则，
∴函数在单调递增，在单调递减.
∴函数在处取得极大值为，
∴时，的取值范围为，
∴
又当时，令，则，即，
∴
综上所述，的取值范围为.
故选C.
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.
12．D
【解析】
易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.
【详解】
易知函数单调递增且有惟一的零点为，所以，∴，问题转化为：使方程在区间上有解，即
在区间上有解，而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为，∴.
故选D．
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-254
【解析】
利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.
【详解】
由已知，得，即，所以
又，即，，所以是以-4为首项，2为公比的等比数
列，所以，即，所以。
故答案为：
本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
14．100.
【解析】
分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．
详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，
根据频率分布直方图可得三等品的频率为，
∴样本中三等品的件数为.
点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．
15．1
【解析】
由题意得展开式的二项式系数之和求出的值，然后再计算展开式各项系数的和.
【详解】
由题意展开式的二项式系数之和为，即，故，令，则展开式各项系数的和为.
故答案为：
本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法.
16．
【解析】
设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.
【详解】
设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，
故，所以此点取自内的概率是．
故答案为：

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)（2）
【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．
（1）设等比数列{an}的公比为q，则q+q2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求an=a1•qn-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和
解：（1）
（2），

两式相减：
18．（1） （2）
【解析】
（1）当时原不等式可化为，分类讨论即可求得不等式的解集；
（2）由题意得，的最小值为，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值．
【详解】
（1）当时，，原不等式可化为，①
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时；
当时，不等式①可化为，解得，此时，
综上，原不等式的解集为.
（2）由题意得， ，
因为的最小值为，所以，由，得，
所以 ，
当且仅当，即，时，的最小值为.
本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
19．（1），最大值公顷；（2）17、25、5、5.
【解析】
（1）由余弦定理求出三角形ABC的边长BC，进而可以求出，，由面积公式求出 ，，即可求出，并求出最值；（2）由（1）知，，，即可求出、，再算出，代入（1）中表达式求出，。
【详解】
（1）由余弦定理得，，
所以，，同理可得
又 ，
所以，
故在区间上的最大值为，近似值为。
（2）由（1）知，， ，所以，进而，
由知，，，
故、、、的值分别是17、25、5、5。
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函数平方关系的应用，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力。
20．（1）见解析（2）（3）
【解析】
（1）若函数有局部对称点,则,即有解,即可求证；
（2）由题可得在内有解,即方程在区间上有解,则,设,利用导函数求得的范围,即可求得的范围；
（3）由题可得在上有解,即在上有解,设,则可变形为方程在区间内有解,进而求解即可.
【详解】
（1）证明:由得,
代入得,
则得到关于x的方程,由于且,所以,
所以函数必有局部对称点
（2）解:由题,因为函数在定义域内有局部对称点
所以在内有解,即方程在区间上有解,
所以,
设,则,所以
令,则,
当时故函数在区间上单调递减,当时,,
故函数在区间上单调递增,
所以,
因为,,所以,所以,
所以
（3）解:由题,,
由于,所以,
所以（*）在R上有解,
令,则,
所以方程（*）变为在区间内有解,
需满足条件：
,即,
得
本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.
21．（1）（2）
【解析】
（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把点极坐标化为直角坐标，直线的参数方程是过定点的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线的方程，利用参数的几何意义求解．
【详解】
解：（1），则，∴，
所以曲线的直角坐标方程为，即
（2）点的直角坐标为，易知.设对应参数分别为
将与联立得

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．
22．（1）（2）
【解析】
（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.
【详解】
解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，，
可得时，，不成立；
当时，，即，
解得（舍去），
则；
（2），
前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得.
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．