2026届广东省广州市仲元中学高三5月高考模拟考试（一）数学试题含解析.doc

2026届广东省广州市仲元中学高三5月高考模拟考试（一）数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
4． 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
6．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则( )
A． B． C． D．
9．已知集合，定义集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
10．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（ ）
A． B． C． D．
11．设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是( )
A．，， B．，
C．， D．，
12．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系中,点在曲线：上,且在第四象限内．已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________．
14．已知数列满足，则________．
15．已知函数，若函数有个不同的零点，则的取值范围是___________．
16．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，，其前n项和为.
（1）通过计算，，，猜想并证明数列的通项公式；
（2）设数列满足，，，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.
18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设直线上的定点在曲线外且其到上的点的最短距离为，试求点的坐标.
19．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）使得，求实数的取值范围.
20．（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：

第一周
第二周

第三周
第四周
第一周期

第二周期

第三周期

（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；
（Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；
（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.
22．（10分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.
【详解】
圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.
故选：A
本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.
2．B
【解析】
根据偶函数性质，可判断关系；由时，，求得导函数，并构造函数，由进而判断函数在时的单调性，即可比较大小.
【详解】
为定义在上的偶函数，
所以
所以;
当时，，
则，
令
则，当时，，
则在时单调递增，
因为，所以，
即，
则在时单调递增，
而，所以
，
综上可知，
即，
故选：B.
本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.
3．C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CEEA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以

故选：C
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
4．A
【解析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.
【详解】
由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.
故选：A
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
5．C
【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.
【详解】
由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，
侧棱长为，如图：

由底面边长可知，底面三角形的顶角为，
由正弦定理可得，解得，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，
所以，
该几何体外接球的表面积为：.
故选：C
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
6．C
【解析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.
【详解】
将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，
由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，由，得，
函数在区间上单调递增，则，得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.
7．C
【解析】
根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.
【详解】
由题意，，，又，则，
由余弦定理可得.
故.
故选：C.
本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.
8．D
【解析】
先求出集合B，再与集合A求交集即可.
【详解】
由已知，，故，所以.
故选：D.
本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.
9．C
【解析】
根据定义，求出，即可求出结论.
【详解】
因为集合，所以，
则，所以.
故选:C.
本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.
10．D
【解析】
首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小
【详解】
因为偶函数在减，所以在上增，
，，，∴.
故选：D
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
11．B
【解析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，当，，时，由于不在平面内，故无法得出.
对于B选项，由于，，所以.故B选项正确.
对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出.
对于D选项，当，时，无法得出.
综上所述，的一个充分条件是“，”
故选：B
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.
12．D
【解析】
利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．
【详解】
已知，赋值法讨论的情况：
（1）当时，令，，则，，排除B、C选项；
（2）当时，令，，则，排除A选项.
故选：D.
比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.
【详解】
解:依题意设切点,
因为,
则,
又因为曲线在点处的切线为,
,解得,
又因为点在第四象限内,则,
.则
又因为点在切线上.
所以.
所以.
故答案为:
本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.
14．
【解析】
项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解
【详解】
当时，由已知，可得，
∵，①
故，②
由①-②得，
∴．
显然当时不满足上式，
∴
故答案为：
本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.
15．
【解析】
作出函数的图象及直线，如下图所示，因为函数有个不同的零点，所以由图象可知，，，所以．

16．
【解析】
建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，设，，，，
根据，即，，，则，
，即，，，则，，
所以，
，
，，，
，且，
故，
设，，易知二次函数的对称轴为，
故函数在，上的最大值为，最小值为，
故的取值范围为．
故答案为：．

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），证明见解析；（2）
【解析】
（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围．
【详解】
（1）数列满足，，其前项和为．
所以，，
则，，，
所以猜想得：．
证明：由于，
所以，
则：（常数），
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
所以，整理得．
（2）数列满足，，
所以，
则，
所以．则，
所以，
所以，整理得，
由于，所以，即．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．
18．（1）的普通方程为．的直角坐标方程为 （2）（-1，0或（2，3）
【解析】
（1）对直线的参数方程消参数即可求得直线的普通方程，对整理并两边乘以，结合，即可求得曲线的直角坐标方程。
（2）由（1）得：曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆，设点P的坐标为，由题可得：，利用两点距离公式列方程即可求解。
【详解】
解：（1）由消去参数，得．
即直线的普通方程为．
因为
又，
∴曲线的直角坐标方程为
（2）由知，曲线C是以Q（1,1）为圆心，为半径的圆
设点P的坐标为，则点P到上的点的最短距离为|PQ|
即，整理得，解得
所以点P的坐标为（-1，0）或（2，3）
本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。
19．（1）；（2）或 .
【解析】
（1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集；
（2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为 ，
所以当时，；
当时， 无解；
当时，；
综上，不等式的解集为；
（2），
又，
或 .
本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.
20．（1）见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.
（2设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.
【详解】
解析：（1）取中点，连接，，

由已知可得，，，
∵侧面是菱形，∴，，，
即，∵，∴平面，∴平面平面.
（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，
则，令得.
同理可求得平面的法向量，∴.
本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析.
【解析】
（Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可；
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为，利用列举法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可；
（Ⅲ）结合表中的数据判断即可.
【详解】
（Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数
.
（Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为，总的基本事件为共15种，
事件所包含的基本事件为共10种，
由古典概型概率计算公式可得，.
（Ⅲ）两次活动效果均好.
理由：活动举办后，“水站诚信度'由和看出，后继一周都有提升.
本题考查平均数公式和古典概型概率计算公式；考查运算求解能力；利用列举法正确列举出所有的基本事件是求古典概型概率的关键；属于中档题、常考题型.
22．（1） ： ， ：；（2）
【解析】
（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.
（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.
【详解】
（1）消去参数，得直线的普通方程为，
将两边同乘以得，，
∴圆的直角坐标方程为；
（2）经检验点在直线上，可转化为①，
将①式代入圆的直角坐标方程为得，
化简得，
设是方程的两根，则，，
∵，∴与同号，
由的几何意义得.
本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.