2026年安徽省青阳县一中高三“一诊”模拟考试数学试题含解析.doc

2026年安徽省青阳县一中高三“一诊”模拟考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于(　　)
A． B．2
C．3 D．6
3．若集合，，则
A． B． C． D．
4．在中所对的边分别是，若，则（ ）
A．37 B．13 C． D．
5．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（ ）

A．2 B． C． D．
6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）
A． B． C． D．
7．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（　　）
A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．
8．在的展开式中，的系数为( )
A．-120 B．120 C．-15 D．15
9．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C． D．3
12．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
14．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.
15．函数在的零点个数为_________.
16．已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）.
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值.
18．（12分）已知函数（其中是自然对数的底数）
（1）若在R上单调递增，求正数a的取值范围；
（2）若f（x）在处导数相等，证明：；
（3）当时，证明：对于任意，若，则直线与曲线有唯一公共点（注：当时，直线与曲线的交点在y轴两侧）.
19．（12分）已知在中，内角所对的边分别为，若，，且.
（1）求的值；
（2）求的面积.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
21．（12分）已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和.求证：.
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.
【详解】
因为，，
故.
又，故.
因为当时，函数是单调递减函数，
所以.
因为为偶函数，故，
所以.
故选：D.
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.
2．A
【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.
【详解】
双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝.
答案：A
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.
3．C
【解析】
解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.
【详解】
因为或，，所以，故选C
本题考查集合的交运算，属于容易题.
4．D
【解析】
直接根据余弦定理求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．
5．D
【解析】
选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．
【详解】
由题意是的重心，

，
∴，，
∴，
故选：D．
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．
6．C
【解析】
试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.

考点：三视图
7．B
【解析】
根据函数单调性逐项判断即可
【详解】
对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；
对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确
对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误；
对D, 因为在为减函数，故 ，错误
故选B．
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．
8．C
【解析】
写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．
【详解】
的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
9．D
【解析】
以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹进而得到关于a的二次函数，可得最小值．
【详解】
以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得，设，
由，
可得，即，
则

，
当时，的最小值为．
故选D．

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．
10．D
【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
11．A
【解析】
直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可.
【详解】
解：将两边同时乘以，得

故选：A
考查复数的运算及其模的求法，是基础题.
12．A
【解析】
由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决.
【详解】
由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以，
即，解得.
故选：A.
本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0.08
【解析】
先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.
【详解】
首先求得，
．
故答案为：0.08.
本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
14．
【解析】
直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，故，当时，，
故，解得.
故答案为：；.
本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
15．1
【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题.
在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：

由图象可知：当时，两个函数只有一个交点.
故答案为：1
本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.
16．
解析】
求出抛物线焦点坐标，由，结合向量的坐标运算得，直线方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，，从而可求得，得斜率．
【详解】
由得，即
联立得
解得或，∴．
故答案为：．
本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）16.
【解析】
（1）将极坐标方程化为直角坐标方程即可；
（2）利用极径的几何意义，联立曲线，直线，直线的极坐标方程，得出，利用三角形面积公式，结合正弦函数的性质，得出的面积最小值.
【详解】
（1）曲线：，即
化为直角坐标方程为：；
（2），即
同理
∴
当且仅当，即（）时取等号
即的面积最小值为16
本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用，属于中档题.
18．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）需满足恒成立，只需即可；（2）根据的单调性，构造新函数，并令，根据的单调性即可得证；
（3）将问题转化为证明有唯一实数解，对求导，判断其单调性，结合题目条件与不等式的放缩，即可得证．
【详解】
；
令，则恒成立；
，；
的取值范围是；
（2）证明：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增；
；
令
则；
令，则；
；
；
（3）证明：，，要证明有唯一实数解；
当时，；
当时，；
即对于任意实数，一定有解；
；
当时，有两个极值点；
函数在，，上单调递增，在上单调递减；
又；
只需，在时恒成立；
只需；
令，其中一个正解是；
，；
单调递增，，（1）；
；
；
综上得证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题．
19．（1）；（2）
【解析】
（1）将代入等式，结合正弦定理将边化为角，再将及代入，即可求得的值；
（2）根据（1）中的值可求得和，进而可得，由三角形面积公式即可求解.
【详解】
（1）由，得，
由正弦定理将边化为角可得，
∵，
∴，
∴，化简可得，
∴解得.
（2）∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
本题考查了正弦定理在边角转化中的应用，正弦差角公式的应用，三角形面积公式求法，属于基础题.
20．（1）：，：；（2），此时.
【解析】
试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
21．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用求得数列的通项公式.
（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.
【详解】
（1）∵，令，得.
又，两式相减，得.
∴.
（2）∵
.
又∵，，∴.
∴
.
∴.
本小题主要考查已知求，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22．（1）l： ，C方程为 ；（2）＝
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【详解】
(1)曲线C的参数方程为（m为参数），
两式相加得到，进一步转换为．
直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，则
转换为直角坐标方程为．
（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），
代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），
所以，，
所以＝．
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．