2026年四川省绵阳市三台中学高三下学期入学考试试数学试题理试卷含解析.doc

2026年四川省绵阳市三台中学高三下学期入学考试试数学试题理试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设复数满足，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）

A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B．10年来全球新增装机容量连年攀升

C．10年来中国新增装机容量平均超过
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
4．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的定义域为，命题：，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A． B．
C． D．
7．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．

8．的展开式中的系数为( )
A．－30 B．－40 C．40 D．50
9．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C．或 D．
10．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
11．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）

A．年该工厂的棉签产量最少
B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C．三年累计下来产量最多的是口罩
D．口罩的产量逐年增加
12．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在边长为的菱形中，点在菱形所在的平面内．若，则_____．
14．已知，，，则的最小值是__．
15．数据的标准差为_____．
16．已知实数满足（为虚数单位），则的值为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知分别是的内角的对边，且．
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若，，求的面积．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值．
18．（12分）是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中最小的项.
19．（12分）已知函数.
（1）若，且，求证：；
（2）若时，恒有，求的最大值.
20．（12分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；
（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.
21．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶

若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.
（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；
（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.
组别
分组
频数
频率

1

2

3

4

①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②若从所有员工中任选3人，记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望.
22．（10分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.
（Ｉ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.
【详解】
若，根据线面平行的性质定理，可得；
若，根据线面平行的判定定理，可得.
故选：C.
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
2．B
【解析】
利用复数的四则运算即可求解.
【详解】
由.
故选：B
本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.
3．D
【解析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.
【详解】
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
累计装机容量
158.1
197.2
237.8
282.9
318.7
370.5
434.3
489.2
542.7
594.1
新增装机容量

39.1
40.6
45.1
35.8
51.8
63.8
54.9
53.5
51.4
中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.
故选：D
本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．B
【解析】
可判断函数在上单调递增，且，所以.
【详解】
在上单调递增，且，
所以.
故选：B
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.
5．D
【解析】
根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】
因为：，是全称命题，
所以其否定是特称命题，即，.
故选：D
本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．D
【解析】
设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，
该金字塔的侧棱长为，
所以需要灯带的总长度约为，故选D．
7．D
【解析】
求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解
【详解】
由于
故集合
或
故集合

故选：D
本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
8．C
【解析】
先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.
【详解】
对二项式，
其通项公式为
的展开式中的系数
是展开式中的系数与的系数之和.
令，可得的系数为；
令，可得的系数为；
故的展开式中的系数为.
故选：C.
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.
9．D
【解析】
先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.
【详解】
，
若在上不单调，令，
则函数对称轴方程为
在区间上有零点（可以用二分法求得）.
当时，显然不成立；
当时，只需
或，解得或.
故选:D.
本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.
10．A
【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.
【详解】
由，，可知平面．
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．

由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
记的外心为，由为等边三角形，
可得．又，故在中，，
此即为外接球半径，从而外接球表面积为．
故选：A
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
11．C
【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；
由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.
故选：C.
本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
12．D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.
【详解】
解：连接设交于点以点为原点,
分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则：
设

得,
解得,
,
或,
显然得出的是定值,
取
则,
．
故答案为：．
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.
14．．
【解析】
因为，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
由，得，
所以，当且仅当，取等号.
故答案为：
本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.
15．
【解析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可.
【详解】
解：样本的平均数,
这组数据的方差是

标准差,
故答案为：
本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.
16．
【解析】
由虚数单位的性质结合复数相等的条件列式求得，的值，则答案可求．
【详解】
解：由，，，
所以，
得，．
．
故答案为：．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位的性质，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，；
（Ⅱ）由余弦定理可得，，
整理可得，，
解可得，，
因为，
所以；
（Ⅲ）由于，．
所以．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.
【详解】
（1）对任意的，由得，
两式相减得，
因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则.
当时，，即，；
当时，，即，.
所以，数列的最小项为.
本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）利用导数分析函数的单调性，并设，则，，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；
（2）构造函数，对实数分、、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.
【详解】
（1），，所以，函数单调递增，
所以，当时，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增.
要证，即证.
不妨设，则，，
下证，即证，
构造函数，
，所以，函数在区间上单调递增，
，，即，即，
，且函数在区间上单调递增，
所以，即，故结论成立；
（2）由恒成立，得恒成立，
令，则.
①当时，对任意的，，函数在上单调递增，
当时，，不符合题意；
②当时，；
③当时，令，得，此时，函数单调递增；
令，得，此时，函数单调递减.
.
.
令，设，则.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数在处取得最大值，即.
因此，的最大值为.
本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.
20．（1），；（2）1.
【解析】
（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线的直角坐标方程；先写出曲线的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；
（2）先求出的直角坐标，据此求得中点的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线的极坐标方程，即可求得两点的极坐标，则距离可解.
【详解】
（1）：可整理为，
利用公式可得其直角坐标方程为：，
：的普通方程为，
利用公式可得其极坐标方程为
（2）由（1）可得的直角坐标方程为，
故容易得，，
∴，∴的极坐标方程为，
把代入得，.
把代入得，.
∴，
即，两点间的距离为1.
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.
21．（1）；（2）①82，②分布列见解析，
【解析】
（1）从20人中任取3人共有种结果，恰有1人成绩“优秀”共有种结果，利用古典概型的概率计算公式计算即可；
（2）①平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面积乘积的和；②要注意服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.
【详解】
（1）设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件，
则，所以，恰有1人“优秀”的概率为.
（2）
组别
分组
频数
频率

1

2

0.01
2

6

0.03
3

8

0.04
4

4

0.02

①，
估计所有员工的平均分为82
②的可能取值为0、1、2、3，随机选取1人是“优秀”的概率为，
∴；
；
；
；
∴的分布列为

0
1
2
3

∵，∴数学期望.
本题考查古典概型的概率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均数的估计值等知识，是一道容易题.
22．（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.
（Ⅱ），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
所以，
即，
所以.
因为是等差数列.，
所以， ，
令，，，
所以，
即；
（Ⅱ），
所以，
，
令，
所以 ，
，
即，
所以数列是递增数列，
所以，
即.
本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.