2026届山东省青岛市实验高中高三高考考前适应性模拟卷（三）数学试题试卷含解析.doc

2026届山东省青岛市实验高中高三高考考前适应性模拟卷（三）数学试题试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,则 (　　)
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）

A． B． C． D．
4．函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
5．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）

A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住
B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%
C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%
D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%
6．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）

A． B． C． D．
7．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ）

A． B． C． D．
8．在的展开式中，的系数为( )
A．-120 B．120 C．-15 D．15
9．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）

A． B． C． D．
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（ ）
A． B． C． D．
12．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则的取值范围是__
14．如图，椭圆：的离心率为，F是的右焦点，点P是上第一角限内任意一点，，，若，则的取值范围是_______．

15．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，则的面积为________．
16．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，，，且.
（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）已知函数，.
（1）若不等式的解集为，求的值.
（2）若当时，，求的取值范围.
19．（12分）已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
20．（12分）已知函数，其中.
（Ⅰ）若，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值.
21．（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.
22．（10分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.

（1）证明：平面；
（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
【详解】
，

本题正确选项：
本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
2．B
【解析】
因为,所以,所以或.
若，则,满足.
若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
3．B
【解析】
由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.
【详解】
由题意可知，
框图的作用是求分段函数的值域，
当；
当
综上：.
故选：B
本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
4．D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
5．D
【解析】
A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可. B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.
【详解】
A. CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.
B. CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.
C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.
D. 猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.
故选：D
本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
6．C
【解析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序：
第一次，，；
第二次，，；
第三次，，，
…；
第九十八次，，；
第九十九次，，，
此时要输出的值为99.
此时.
故选：C.
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.
7．B
【解析】
先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.
【详解】
若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；
若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.
对函数求导得，由得，
由图象可知，满足不等式的的取值范围是，
因此，函数的单调递减区间为.
故选：B.
本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.
8．C
【解析】
写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．
【详解】
的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C
本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
9．B
【解析】
根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
10．B
【解析】
先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.
【详解】
设直线与圆相切于点，
因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，
又因为圆与直线的切点为，所以，
又，所以，
因此，
因此有，
所以，因此渐近线的方程为.
故选B
本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型
11．D
【解析】
根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.
【详解】
设，
所以 ，
因为当时，，
即，
所以，在上是增函数，
在中，因为，所以，，
因为，且，
所以，
即，
所以，
即
故选：D
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．C
【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直角三角形的斜边长为，
利用等面积法，可得其内切圆的半径为，
所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.
故选：C.
本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
14．
【解析】
由于点在椭圆上运动时，与轴的正方向的夹角在变，所以先设，又由，可知，从而可得，而点在椭圆上，所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果．
【详解】
设，，，则，
由，得，代入椭圆方程，
得，化简得恒成立，
由此得，即，故．
故答案为：
此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率，综合性强，属于难题 ．
15．.
【解析】
利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.
【详解】
，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.
16．3
【解析】
根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，正数a、b满足，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为3，此时.
故答案为：3；.
本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和
【详解】
（1）已知
则，
且，则为以3为首相，3为公比的等比数列，
所以，.
（2）由（1）得：，
，①
，②
①－②可得，
则
即.
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.
18．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）求得的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解的值；
（2）①当时，恒成立，②当时，转化为，设，求得函数的最小值，即可求解的取值范围.
试题解析：
（1）由，得，
因为不等式的解集为，所以，故不等式可化为，
解得，所以，解得.
（2）①当时，恒成立，所以.
②当时，可化为，设，则，所以当时，，所以.
综上，的取值范围是.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）要证明，只需证明即可；
（2）有3个根，可转化为有3个根，即与有3个不同交点，利用导数作出的图象即可.
【详解】
（1）令，则，当时，，
故在上单调递增，所以，
即，所以.
（2）由已知，，
依题意，有3个零点，即有3个根，显然0不是其根，所以
有3个根，令，则，当时，，当
时，，当时，，故在单调递减，在，上
单调递增，作出的图象，易得.
故实数的取值范围为.

本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
20．（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值.
【详解】
（Ⅰ）函数的定义域为.
当时，.
令，解得（舍去），.
当时，，所以，函数在上单调递减；
当时，，所以，函数在上单调递增.
因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）由题意，可知在上恒成立.
（i）若，，，
，
构造函数，，则，
，，.
又，在上恒成立.
所以，函数在上单调递增，
当时，在上恒成立.
（ii）若，构造函数，.
，所以，函数在上单调递增.
恒成立，即，，即.
由题意，知在上恒成立.
在上恒成立.
由（Ⅰ）可知，
又，当，即时，函数在上单调递减，
，不合题意，，即.
此时
构造函数，.
，
，，

，
恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立.
综上，实数的最大值为
本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.
（Ⅱ）设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.
【详解】
（Ⅰ）设,,则,
又,,故,即,
故,又,故.
故椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为,,
由 ,故,
又,故,因为处的切线相互垂直故.
故直线的方程为.
联立
故.
故,代入韦达定理有
设,则.当且仅当时取等号.
故的面积的最大值为.
本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】
（1）证明：取中点，连接，
因为四边形为菱形且.
所以，
因为，所以，
又，
所以平面，因为平面，
所以.
同理可证，
因为，
所以平面.
（2）解：由（1）得平面，
所以平面平面，平面平面.
所以点到直线的距离即为点到平面的距离.
过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，
因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则
所以
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则即
取，则，
，
所以，
所以面与面所成二面角的正弦值为.
本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.