广东省广州市增城一中2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题（理A）试题含解析.doc

广东省广州市增城一中2025-2026学年高三下学期第三次月考数学试题（理A）试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知锐角满足则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）
A．2 B． C． D．
5．在中，为边上的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）

A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（　　　 ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若函数的图象恒在轴的上方，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．函数在上单调递减的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，且由的最大值是_________
14．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则的值为__．

15．已知向量，，且，则实数m的值是________．
16．某校名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以人一组或者人一组.如果人一组，则必须角色相同；如果人一组，则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，现在新加入名学生，将这名学生分成组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）已知存在实数使得恒成立，求实数的最大值.
18．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）证明函数存在唯一的极大值点，且.
19．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求点的坐标.
21．（12分）如图，在三棱柱中，、、分别是、、的中点.

（1）证明：平面；
（2）若底面是正三角形，，在底面的投影为，求到平面的距离.
22．（10分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
时间（小时）
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”

男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时

每周平均体育锻炼时间超过2小时

总计

附：K2.
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
利用代入计算即可.
【详解】
由已知，，因为锐角，所以，，
即.
故选：C.
本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.
2．C
【解析】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，
如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；
当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，

则，解得.
故选：C.
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
3．A
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.
【详解】
解：，
在复平面内对应的点的坐标是.
故选：A.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
4．C
【解析】
将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.
【详解】
解：

，
得，
则向量在上的投影为.
故选：C.
本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.
5．A
【解析】
由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模.
【详解】
解：为边上的中点，
，

故选：A
在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.
6．B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
7．A
【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.
【详解】
因为 ,
所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;
因为,故排除,
因为由图象知,排除.
故选:A
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
8．B
【解析】
函数的图象恒在轴的上方，在上恒成立.即，即函数的图象在直线上方，先求出两者相切时的值，然后根据变化时，函数的变化趋势，从而得的范围．
【详解】
由题在上恒成立.即，
的图象永远在的上方，
设与的切点，则，解得，
易知越小，图象越靠上，所以.
故选：B．
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．
9．C
【解析】
先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，，
令，则，故在上恒成立；
结合图象可知，，解得
故.
故选：C.
本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
10．C
【解析】
先求得的渐近线方程，根据没有公共点，判断出渐近线斜率的取值范围，由此求得离心率的取值范围.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由于双曲线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，所以双曲线的离心率.
故选：C
本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.
11．B
【解析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．D
【解析】
集合．为自然数集，由此能求出结果．
【详解】
解：集合．为自然数集，
在A中，，正确；
在B中，，正确；
在C中，，正确；
在D中，不是的子集，故D错误．
故选：D．
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值
【详解】
由化简得，又实数，图形为圆，如图:
，可得，
则
由几何意义得，则，为求最大值则当过点或点时取最小值，可得
所以的最大值是
本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。
14．
【解析】
，
由余弦定理，得，
得，，，
所以，所以．
点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到，所以本题转化为求长度，利用余弦定理和面积公式求解即可．
15．1
【解析】
根据即可得出，从而求出m的值．
【详解】
解：∵；
∴；
∴m＝1．
故答案为：1．
本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
16．
【解析】
对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
【详解】
依题意，名学生分成组，则一定是个人组和个人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这个人分组如下；名士兵；士兵、排长、连长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这个人分组如下：名士兵；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这个人分组如下：名士兵；士兵、排长、连长各名；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名团长.所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演种角色.
故答案为：.
本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）4
【解析】
（1）分类讨论，求解x的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解；
（2）转化原不等式为：，利用均值不等式即得解.
【详解】
（1）当时不等式可化为
当时，不等式可化为；
当时，不等式可化为；
综上不等式的解集为.
（2）由（1）有，，
，
，
即
而
当且仅当：，即，即时等号成立
∴，综上实数最大值为4.
本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，可得（1），（1），结合已知切线方程即可求得，的值；
（2）利用导数可得，，再构造新函数，利用导数求其最值即可得证．
【详解】
（1）函数的定义域为，，
则（1），（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为，
又曲线在点，（1）处的切线方程为，
，
（2）证明：由（1）知，，则，
令，则，易知在单调递减，
又，（1），
故存在，使得，
且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
由于，（1），（2），
故存在，使得，
且当时，，，单调递增，当，时，，，单调递减，
故函数存在唯一的极大值点，且，即，
则，
令，则，
故在上单调递增，
由于，故（2），即，
．
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．
19．（1），；（2）.
【解析】
（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；
（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
也适合上式，所以，.
设数列的公比为，则，由，
两式相除得，，解得，，；
（2）设数列的前项和为，则，
.
本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）；（2）
【解析】
（1）由题意得，求出，进而可得到椭圆的方程；
（2）由（1）知点，坐标，设直线的方程为，易知，可得点的坐标为，联立方程，得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，可用表示的坐标，进而由三点共线，即，可用表示的坐标，再结合，可建立方程，从而求出的值，即可求得点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知点，，
由题意可设直线的斜率为，则，所以直线的方程为，则点的坐标为，
联立方程，消去得：.
设，则，所以，
所以，所以.
设点的坐标为，因为点三点共线，所以，即
，所以，所以.
因为，所以，即，
所以，解得，
又，所以符合题意，
计算可得，，
故点的坐标为.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，利用中位线的性质得出，，利用空间平行线的传递性可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；
（2）推导出平面，并计算出，由此可得出到平面的距离为，即可得解.
【详解】
（1）连接，连接、交于点，并连接，则点为的中点，
、分别为、的中点，则，同理可得，.
平面，平面，因此，平面；
（2）由于在底面的投影为，平面，
平面，，
为正三角形，且为的中点，，
，平面，且，
因此，到平面的距离为.

本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．（1）男生人数为人，女生人数55人2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，
所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，
（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，
联表如下：

男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
7
18
25
每周平均体育锻炼时间超过2小时
38
37
75
总计
45
55
100
因为3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.