2025-2026学年广东汕头高考信息归集与命题预测：数学试题试卷含解析.doc

2025-2026学年广东汕头高考信息归集与命题预测：数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

3．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．72种
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
5．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
6．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
7．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）
A．P1•P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P2
8．把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．给出下列四个命题
①的值域为
②的一个对称轴是
③的一个对称中心是
④存在两条互相垂直的切线
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在中，角的对边分别为，若．则角的大小为(　　)
A． B． C． D．
10．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
11．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在中，内角的对边分别是，若，，则____.
14．已知，满足，则的展开式中的系数为______.
15．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是__
16．已知随机变量服从正态分布，，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．
18．（12分）已知是等腰直角三角形,．分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥．

(Ⅰ)求证：平面平面．
(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值．
19．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：
加工1个零件用时（分钟）
20
25
30
35
频数（个）
15
30
40
15
以加工这100个零件用时的频率代替概率.
（1）求的分布列与数学期望；
（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.
20．（12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且.
（Ｉ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求面积的取值范围.
21．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：
AQI

空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
重度污染
天数
6
14
18
27
25
10
（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；
（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
22．（10分）已知
（1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围；
（2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.
【详解】
为定义在上的奇函数，.
当时，，，
为奇函数，，
由得：或；
综上所述：若，则的解集为.
故选：.
本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.
2．B
【解析】
画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.
【详解】
由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.

故选：B
本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.
3．C
【解析】
先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.
【详解】
不同分配方法总数为种.
故选：C
此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.
4．D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
5．D
【解析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
6．A
【解析】
逐一考查所给的函数：
，该函数为偶函数，周期 ；
将函数 图象x轴下方的图象向上翻折即可得到 的图象，该函数的周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
函数的最小正周期为 ；
综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.
本题选择A选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．　
7．C
【解析】
将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.
【详解】
三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321
方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；
方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；
所以P1+P2＝
故选C.
本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数属于基础题.
8．C
【解析】
由图象变换的原则可得,由可求得值域；利用代入检验法判断②③；对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.
【详解】
由题,,
则向右平移个单位可得,
,的值域为,①错误；
当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确；
当时,,所以的一个对称中心是,③正确；
,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个.
故选:C
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
9．A
【解析】
由正弦定理化简已知等式可得，结合，可得，结合范围，可得，可得，即可得解的值．
【详解】
解：∵，
∴由正弦定理可得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选A．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
10．C
【解析】
取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.
【详解】
解：如图，取中点，连接，，

由于正三棱柱，则底面，
而底面，所以，
由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，
所以，且,
所以平面，
而平面，则，
则//，，
∴即为异面直线与所成角，
设，则，，，
则，
∴.
故选：C.
本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.
11．C
【解析】
由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．
【详解】
连接，，如图：

又，则为异面直线与所成的角.
因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，
∴，
又，，∴，
∴，解得.
故选C
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
12．B
【解析】
求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.
【详解】

根据正弦定理：
可得
根据余弦定理：
由已知可得：
故可联立方程：
解得：.
由

故答案为：.
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
14．1
【解析】
根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．
【详解】
由题意，．
∴的展开式中的系数为．
故答案为：1．
本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．
15．
【解析】
根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.
【详解】
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
解得.
故答案为：
本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.
16．0.22.
【解析】
正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。
【详解】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
，

要使,需使,即,所以,所以又,
所以,所以,即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,,,
所求的圆为,此时圆的切线都满足或,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系．
点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理．存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备．（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性．
18． (Ⅰ)见解析. (Ⅱ) .
【解析】
(I)证明平面得出平面，根据面面垂直的判定定理得到结论；(II)当平面时，棱锥体积最大，建立空间坐标系，计算两平面的法向量，计算法向量的夹角得出答案．
【详解】
(I)证明：
分别为的中点
，，又
平面
平面，又平面
平面平面
(II)，为定值
当平面时，三棱锥的体积取最大值
以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系

则
，
设平面的法向量为，则
即，令可得
平面 是平面的一个法向量

平面与平面所成角的正弦值为
本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算关键是能够根据体积的最值确定垂直关系，从而可以建立起空间直角坐标系，利用空间向量法求得二面角，属于中档题．
19．（1）分布列见解析，；（2）0.8575
【解析】
（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.
（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.
【详解】
（1）的分布列如下：

20
25
30
35

0.15
0.30
0.40
0.15
.
（2）设，分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，

则

.
本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ｉ）根据，利用二倍角公式得到，再由辅助角公式得到，然后根据正弦函数的性质求解.
（Ⅱ）根据（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.
【详解】
（Ｉ）因为，
所以，
，
，
或，
或，
因为，
所以
所以；
（Ⅱ）由余弦定理得： ，
所以，
所以，当且仅当取等号，
又因为，
所以，
所以
本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析
【解析】
（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.
（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.
（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.
【详解】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，
则P（ξ＝2），P（ξ＝3），
则这3天中空气质量至少有2天为优的概率
为；
（2）（i），
，
，
X的分布列如下：
X
0
220
1480
P

（ii）由（i）可得：
E（X）＝02201480302（元），
故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），
即30E（X）＝9060元，
设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，
可得：，
，，
E（Y）＝02201480320（元），
所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），
由19840+9060＝28900＞28800，
即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成
经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.
本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。
22．（1）（2）函数有两个零点和
【解析】
试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。
解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，
所以当时，恒成立．[来源:Z&X&X&K]
函数的对称轴为．
①，即时，，
即，解之得，解集为空集；
②，即时，
即，解之得，所以
③，即时，
即，解之得，所以
综上所述，当 函数在区间 上单调递增．
（2）∵有两个极值点，
∴是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减．
∵
∴函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减
∵，∴是函数的一个零点．
由题意知：
∵，∴，∴∴，∴又

∵是方程的两个根，
∴，,
∴
∵函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
∴当时，，当时，当时，
∴函数有两个零点和．