2026届江苏省苏州大学高三3月份网上考试数学试题含解析.doc

2026届江苏省苏州大学高三3月份网上考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）

A． B． C． D．
2．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）
A．－1 B．1 C． D．
3．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）

A． B． C． D．
4．已知集合A，B=,则A∩B=
A． B． C． D．
5．已知双曲线的焦距为，过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点，若线段的中点在圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．7
7．已知下列命题：
①“”的否定是“”；
②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号为（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
8．已知是双曲线的左右焦点过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（ ）

A． B．
C． D．
10．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）
A． B． C． D．
11．复数（ ）．
A． B． C． D．
12．已知是的共轭复数,则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．己知双曲线的左、右焦点分别为，直线是双曲线过第一、三象限的渐近线，记直线的倾斜角为，直线，，垂足为，若在双曲线上，则双曲线的离心率为_______
14．已知，满足约束条件则的最小值为__________.
15．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_______．
16．在四棱锥中，底面为正方形，面分别是棱的中点，过的平面交棱于点，则四边形面积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知x∈R，设，，记函数.
（1）求函数取最小值时x的取值范围；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值.
18．（12分）已知，，分别是三个内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，，求，．
19．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．
20．（12分）贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
市场：
需求量（吨）
90
100
110
频数
20
50
30
市场：
需求量（吨）
90
100
110
频数
10
60
30
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.
（1）求的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.
21．（12分）已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于两点连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.
设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
画出直观图，由球的表面积公式求解即可
【详解】
这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为.
故选：C

本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.
2．D
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：

因为是△的中位线，
所以到的距离等于△的边上高的一半，
所以，
由此可得，
当且仅当时，即为的中点时，等号成立，
所以，
由平行四边形法则可得，，
将以上两式相加可得，
所以，
又已知，
根据平面向量基本定理可得，
从而.

故选：D
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
3．A
【解析】
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.
【详解】
由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,
所以每个等腰三角形的面积为,
所以圆的面积为,即,
所以当时,可得,
故选:A
本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.
4．A
【解析】
先解A、B集合，再取交集。
【详解】
,所以B集合与A集合的交集为，故选A
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
5．C
【解析】
设线段的中点为，判断出点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.
【详解】
设线段的中点为，由于直线的斜率是，而圆，所以.由于是线段的中点，所以，而，根据双曲线的定义可知，即，即.
故选：C

本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
6．B
【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.
【详解】
在等差数列的前项和为，则
则
故选：B
本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.
7．B
【解析】
由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．
【详解】
“”的否定是“”，正确；
已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；
“”是“”的必要不充分条件,错误；
“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.
故选：B．
本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．
8．D
【解析】
根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率．
【详解】
由题意，，又，
∴，∴，
在中，
即，∴．
故选：D．
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式．
9．B
【解析】
由图象的顶点坐标求出，由周期求出，通过图象经过点，求出，从而得出函数解析式.
【详解】
解：由图象知，，则，
图中的点应对应正弦曲线中的点，
所以，解得，
故函数表达式为．
故选：B.
本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.
10．B
【解析】
设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．
【详解】
由题意设四面体的棱长为，设为的中点，
以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则可得，，取的三等分点、如图，
则，，，，
所以、、、、，
由题意设，，
和都是等边三角形，为的中点，，，
，平面，为平面的一个法向量，
因为与平面所成角为定值，则，
由题意可得，
因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，
，可得，此时，则，.
故选：B.
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
11．A
【解析】
试题分析：，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
12．A
【解析】
先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析
由，则，所以点， 因为，可得，点坐标化简为，代入双曲线的方程求解.
【详解】
设，
则，即，
解得，
则，
所以，
即，
代入双曲线的方程可得，
所以
所以
解得.
故答案为：
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
14．
【解析】
画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知：
可行域是由三点，，构成的三角形及其内部，当直线过点时，取得最小值.
故答案为：

本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
15．
【解析】
由焦点坐标得从而可求出，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.
【详解】
解：因为一个焦点坐标为，则，即，解得或
由表示的是椭圆，则，所以，则椭圆方程为
所以.
故答案为:.
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略，从而未对 的两个值进行取舍.
16．
【解析】
设是中点，由于分别是棱的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形.由于平面，所以，而，，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四边形是矩形.
而.
从而.
故答案为：.

本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出，根据三角形的面积公式即可求出答案.
【详解】
（1）.
令，k∈Z，即时，，取最小值，
所以，所求的取值集合是；
（2）由，得，
因为，所以，所以，.
在中，由余弦定理，
得，即，当且仅当时取等号，
所以的面积，
因此的面积的最大值为.
本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题.
18．（1）； （2），或，.
【解析】
（1）利用正弦定理，转化原式为，结合，可得，即得解；
（2）由余弦定理，结合题中数据，可得解
【详解】
（1）由及正弦定理得
．
因为，所以，代入上式并化简得
．
由于，所以．
又，故．
（2）因为，，，
由余弦定理得即,
所以．
而，
所以，为一元二次方程的两根．
所以，或，．
本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
19．．
【解析】
试题分析：，所以．
试题解析：
B．因为，
所以．
20．（1）；（2）吨，理由见解析
【解析】
（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，由题可得，，，，，，代入，计算可得答案；
（2）可取180，190，200，210，220，求出吨和吨时的期望，比较大小即可.
【详解】
（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，则
，，，
，，，

；
（2）可取180，190，200，210，220，

当时，
当时，
.
，
时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量吨.
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.
21．（1）（2）直线恒过定点,详见解析
【解析】
（1）依题意由椭圆的简单性质可求出，即得椭圆C的方程；
（2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标，同理可求出点的坐标，根据的坐标可求出直线的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．
【详解】
（1）由题有，.∴，∴.∴椭圆方程为.
（2）设直线的方程为：，则
∴或，∴，同理，
当时，由有.∴，同理，又
∴，
当时，∴直线的方程为

∴直线恒过定点，当时，此时也过定点..
综上:直线恒过定点.
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．
22．见解析
【解析】
根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.
【详解】
∵在等差数列中，，
∴，
∴公差，
∴，
∴，
若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，
若选①，∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，满足成立.
若选②，∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程无正整数解，
∴不存在正整数使得成立.
若选③，∵，
∴，
∴，
∴，
∴解得或（舍去），
∴，
∴当时，满足成立.
本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.