河南省南阳市重点中学2026届招生全国统一考试（5月模拟）数学试题含解析.doc

河南省南阳市重点中学2026届招生全国统一考试（5月模拟）数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
4．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：
①②③④点为函数的一个对称中心
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
5．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．函数在上单调递减
B．函数在上单调递增
C．函数的对称中心是
D．函数的对称轴是
7．已知函数，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
．）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
9．已知为虚数单位，若复数，则
A． B．
C． D．
10．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．36种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．
14．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________.
15．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．

16．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
18．（12分）数列的前项和为，且.数列满足，其前项和为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线和圆的普通方程；
（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.
21．（12分）已知函数．
（1）解不等式：；
（2）求证：．
22．（10分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
组别

男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；
②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
红包金额（单位：元）
10
20
概率

现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
试题分析：由题意可得：. 共轭复数为，故选A.
考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系
2．C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
3．A
【解析】
利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】
双曲线：的焦点到渐近线的距离为，
可得：，可得，，则的渐近线方程为．
故选A．
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
4．B
【解析】
首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；
【详解】
解：由题意可得，
又∵和的图象都关于对称，∴，
∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，
∴①③④正确，②错误.
故选：B
本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.
5．B
【解析】
求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.
【详解】
由，
所以，
故选：B.
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.
6．B
【解析】
根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.
【详解】
由图象可得，函数的周期，所以.
将点代入中，得，解得，由，可得，所以.
令，得，
故函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，故A正确；
令，得，
故函数在上单调递增.
当时，函数在上单调递增，故B错误；
令，得，故函数的对称中心是，故C正确；
令，得，故函数的对称轴是，故D正确.
故选：B.
本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

7．C
【解析】
求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．
【详解】
由得，
在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数，
∴由得，解得．
故选：C.
本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．
8．B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
9．B
【解析】
因为，所以，故选B．
10．D
【解析】
通过列举法可求解，如两角分别为时
【详解】
当时，，但，故充分条件推不出；
当时，，但，故必要条件推不出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D.
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题
11．A
【解析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.
【详解】
解：设双曲线的半个焦距为，由题意
又，则，，，所以离心率，
故选：A.
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
12．B
【解析】
分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.
【详解】
如果甲单独到县，则方法数有种.
如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.
故总的方法数有种.
故选：B
本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.
【详解】
由题意作出区域，如图中阴影部分所示，

易知，故 ，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
14．
【解析】
由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案.
【详解】
因为为偶函数，在上有唯一零点，
所以，∴，∴，
∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，.
故答案为：
本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.
15．1
【解析】
试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，
．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
16．
【解析】
两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.
【详解】
解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在区间上有解，
即方程在区间上有解，
设函数，其导数，
又由，可得：当时， 为减函数，
当时， 为增函数，
故函数有最小值，
又由；比较可得： ，
故函数有最大值，
故函数在区间上的值域为；
若方程在区间上有解，

必有，则有，
即的取值范围是；
故答案为：；
本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）见解析
【解析】
（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；
【详解】
解：（1）设数列的公差为，∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴
，
∴.
本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.
18．（1），；（2）.
【解析】
（1）令可求得的值，令，由得出，两式相减可推导出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式；
（2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得.
【详解】
（1）当时，，所以；
当时，，得，即，
所以，数列是首项为，公比为 的等比数列，.
；
（2）由（1）知数列是首项为，公差为的等差数列，
.
，
.
所以.
本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
19．（1）；
（2）.
【解析】
(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；
（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.
【详解】
（1），，
∴，
又，
∴切线方程为，即.
（2）令，
，
①若，则在上单调递减，又，
∴恒成立，∴在上单调递减，又，
∴恒成立.
②若，令，
∴，易知与在上单调递减，
∴在上单调递减，，
当即时，在上恒成立，
∴在上单调递减，即在上单调递减，
又，∴恒成立，∴在上单调递减，
又，∴恒成立，
当即时，使，
∴在递增，此时，∴，
∴在递增，∴，不合题意.
综上，实数的取值范围是.
本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，第二问的难点是构造函数后二次求导问题，对分类讨论思想及化归与等价转化思想要求较高，难度较大，属拔高题.
20．（1），；（2）
【解析】
分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.
详解：（1）直线的参数方程为，
普通方程为，
将代入圆的极坐标方程中,
可得圆的普通方程为，
（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为 可得：
（*），
且由题意 ，,
.
因为方程（*）有两个不同的实根，所以，
即，
又，
所以.
因为，所以
所以.
点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式；
（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式；
（3）过的直线的参数方程为（为参数）中参数具有几何意义：直线上任一点对应参数，则.
21．（1）； （2）见解析.
【解析】
（1）代入得，分类讨论，解不等式即可；
（2）利用绝对值不等式得性质，，
，比较大小即可.
【详解】
（1）由于，
于是原不等式化为，
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得．

综上所述，不等式解集为．
（2）由已知条件，
对于，可得
．
又，
由于，
所以．
又由于，
于是．
所以．
本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
22． (1)不能；(2) ①；②分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及数学期望E（X）即可；
【详解】
(1)由图中表格可得列联表如下:

非“环保关注者”
是“环保关注者”
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.
(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为，
①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
；
②的取值为10，20，30，40.
,
,
,
,
所以的分布列为

10
20
30
40

.
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．