2026届四川省开江中学高三最后一模（5月月考）数学试题含解析.doc

2026届四川省开江中学高三最后一模（5月月考）数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（
A．－2 B．－4 C．3 D．－3
2．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
3．若复数满足（是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．i是虚数单位，若，则乘积的值是( )
A．－15 B．－3 C．3 D．15
8．函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
9．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则“”是“是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．若，则， ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C．13 D．
12．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=__________．
14．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________．
15．设，若关于的方程有实数解，则实数的取值范围_____．
16．（5分）已知函数，则不等式的解集为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，.
（1）若，求线段的中点的坐标；
（2）设点，若，求直线的斜率.
18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）点是曲线上的一点，试判断点与曲线的位置关系．
19．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数的最小值为，求的最小值.
20．（12分）一张边长为的正方形薄铝板（图甲），点，分别在，上，且（单位：）.现将该薄铝板沿裁开，再将沿折叠，沿折叠，使，重合，且重合于点，制作成一个无盖的三棱锥形容器（图乙），记该容器的容积为（单位：），（注：薄铝板的厚度忽略不计）

（1）若裁开的三角形薄铝板恰好是该容器的盖，求，的值；
（2）试确定的值，使得无盖三棱锥容器的容积最大.
21．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男

女

10
55
合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：.
P(K2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635

22．（10分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表.

（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率：
（2）从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列；
（3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
设，，设：，联立方程得到，计算
得到答案.
【详解】
设，，故.
易知直线斜率不为，设：，联立方程，
得到，故，故.
故选：.
本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键 .
2．B
【解析】
根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.
【详解】
由于，函数最高点与最低点的高度差为，
所以函数的半个周期，所以，
又，，则有，可得，
所以，
将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，
所以的最小值为1，
故选：B.
该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.
3．B
【解析】
利用复数乘法运算化简，由此求得.
【详解】
依题意，所以.
故选：B
本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.
4．B
【解析】
首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.
【详解】
由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为
,
设的内切圆的半径为,则,
故选：B

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.
5．C
【解析】
根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.
【详解】
依题意得，，
当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，
，即，
故选：C.
本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.
6．C
【解析】
先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为为等比数列所以，故即，
由可得或，因为为递增数列，故符合.
此时，所以或（舍，因为为递增数列）.
故，.
故选C.
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
7．B
【解析】
，∴，选B．
8．D
【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.
详解：令，
因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9．A
【解析】
求出函数的解析式，由函数为偶函数得出的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】
将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为，
若函数为偶函数，则，解得，
当时，.
因此，“”是“是偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
10．D
【解析】
因为，所以，
因为，，所以,.
综上；故选D.
11．C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即

点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
12．C
【解析】
判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得．
【详解】
如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴，
设，则，，∴,．
故选：C．

本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解.
【详解】
等比数列的各项都是正数，且成等差数列，
则，
由等比数列通项公式可知，
所以，
解得或（舍），
所以由对数式运算性质可得

，
故答案为：.
本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题.
14．
【解析】
∵复数且
∴
∴
∴
∴，
故答案为，
15．
【解析】
先求出，从而得函数在区间上为增函数；在区间为减函数．即可得的最大值为，令，得函数取得最小值，由有实数解，，进而得实数的取值范围．
【详解】
解：，
当时，；当时，；
函数在区间上为增函数；在区间为减函数．
所以的最大值为，
令，
所以当时，函数取得最小值，
又因为方程有实数解，那么，即，
所以实数的取值范围是：．
故答案为：
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.
16．
【解析】
易知函数的定义域为，且，则是上的偶函数．由于在上单调递增，而在上也单调递增，由复合函数的单调性知在上单调递增，又在上单调递增，故知在上单调递增．令，知，则不等式可化为，即，可得，又，是偶函数，可得，由在上单调递增，可得，则，解得，故不等式的解集为．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）由l参数方程与椭圆方程联立可得A、B两点参数和，再利用M点的参数为A、B两点参数和的一半即可求M的坐标；
（2）利用直线参数方程的几何意义得到，再利用计算即可，但要注意判别式还要大于0.
【详解】
（1）由已知，曲线的参数方程为为参数），其普通方程为，
当时，将 （为参数）代入得，设
直线l上A、B两点所对应的参数为，中点M所对应的参数为，则，
所以的坐标为；
（2）将代入得，
则，因为即，
所以，故，由
得，所以.
本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道中档题.
18．（1）（2）点在曲线外．
【解析】
（1）先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；
（2）由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即
（2）由题,点是曲线上的一点,
因为,所以,即,
所以点在曲线外.
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.
19．（1）（2）
【解析】
（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；
（2）由（1）得的最小值为4，则由，代换后用基本不等式可得最小值．
【详解】
解：（1）
讨论：
当时，，即，此时无解；
当时，；
当时，.
所求不等式的解集为
（2）分析知，函数的最小值为4

，当且仅当时等号成立.
的最小值为4.
本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类讨论思想．
20．（1），；（2）当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大.
【解析】
（1）由已知求得，求得三角形的面积，再由已知得到平面，代入三棱锥体积公式求的值；
（2）由题意知，在等腰三角形中，，则，，写出三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．
【详解】
解：（1）由题意，为等腰直角三角形，又，
，
恰好是该零件的盖，，则，
由图甲知，，，
则在图乙中，，，，
又，平面，平面，
；
（2）由题意知，在等腰三角形中，，
则，，
．
令，
，
，．
可得：当时，，当，时，，
当时，有最大值．
由（1）知，平面，
该三棱锥容积的最大值为，且．
当时，取得最大值，无盖三棱锥容器的容积最大．
答：当值为时，无盖三棱锥容器的容积最大．
本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．
21． (1)无关；(2) ，.
【解析】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：

非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将22列联表中的数据代入公式计算，得
.
因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P

E(X)＝np＝＝.D(X)＝np(1－p)＝
22．（1）（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长
【解析】
（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；
（3）由图表直接判断结果.
【详解】
（1）100名学生中共有男生48名，
其中共有20人参加公益劳动时间在，
设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的事件为，
那么；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3.
∴；；
；.
∴随机变量的分布列为：

（3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长.
本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.